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unes des methodes qui ont servi à les découvrir. Pour les posseder , il faut se mettre en état de faire de pareilles découvertes ; & ce n'est que depuis peu de temps que l'on a vû des regles du calcul integral dans l'ouvrage de Monsieur Cheinée Ecoflois, de Methodo fluxionum inversá, ( les Anglois donnent après Monsieur Newton , au calcul differentiel, le nom de calcul des fluxions,) & dans le petit traité de quadraturis curvarum , que Monsieur Newton a mis à la fin de son ouvrage sur les couleurs.

On a toujours regardé les Mathematiques comme très utiles pour la perfection de la Physique

& des Arts , & pour former l'esprit des jeunes gens,

en les accoutumant à apporter aux sujets de leurs applications toute l'attention qu'ils demandent, à mettre, dans toutes les démarches que doit faire leur esprit dans la recherche de la verité, l'ordre qu'il faut pour y arriver ; à ne donner leur consentement entier qu'à l'évidence dans les sciences naturelles: en leur rendant familiere la pratique des regles qui font découvrir , dans toutes les occasions où ils peuvent se trouver , le parti le plus raisonnable : & enfin en leur faisant acquerir la sagacité necessaire pour trouver dans les questions difficiles les moyens les plus propres

à les résoudre. Cette utilité des Mathematiques, & l'habitude de les mettre à la portée des commençans acquise pendant vingt-deux années de temps que je les ai enseignées publiquement, m'ont porté à mettre toutes les methodes que nous avons re. çues de Monfieur Descartes & de ses Disciples & celles qui ont été découvertes par les sçavans

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Geometres de notre temps , dans leur ordre naturel, de maniere qu'elles s'éclaircissent mutuellement,

& fussent toutes démontrées dans cet Ouvrage ; que je nomme à cause de cela l'Analyse montrée. Je me suis proposé de rendre, par le moyen de ces methodes , les Mathematiques faciles à ceux qui commencent , & qui veulent les sçavoir à fond; en leur découvrant les voyes qui les conduiront des premiers principes à tout ce qu'ils peuvent desirer d'en connoître, sans se fatiguer l'imagination, sans être obligez de lire de gros volumes, sans qu'il faille charger leur memoire d'un grand nombre de propositions: en leur ôtant par là ce qu'il y avoit de

y rebutant & de plus pénible dans l'étude des Mathematiques : en les faisant entrer dans l'invention naturelle de ces sciences, qui les menera sur chaque fujet à des résolutions simples & generales : en les mercant enfin en état d'entendre toutes les nouvelles découvertes; & de faire eux-mêmes celles qu'ils voudront entreprendre.

Cet ouvrage est partagé en huit Livres : l’Analyfe est expliquée & démontrée dans les sept premiers, Livres, qui font le premier Volume;& le huitiéme, qui est comme une seconde partie de l'Ouvrage , & qui en est le second Volume , fait voir les usages de l'Analyse , & apprend aux Lecteurs qui commençent, la maniere d'en appliquer les methodes à la Geometrie simple &composée , & à la resolution des Problêmes des sciences Physico-Mathematiques, en fe servant du calcul ordinaire de l'Algebre , du calcul differentiel & du calcul integral: ces nouveaux calculs y sont aussi expliquez & démontrez, comme on

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le dira dans la Préface de ce huitiéme Livre.

Le premier Livre contient l'Analyse simple , & la resolution de plusieurs Problèmes qui n ont befoin

que de l'Analyse simple. Les six Livres suivans expliquent & démontrent l'Analyse composée. Le fecond & le troisiéme enseignent les premiers principes de l'Analyse , & les préparations qu'il faut donner aux équations composées pour les resoudre.

La methode de réduire les Problêmes aux équations qui en expriment toutes les conditions , est expliquée dans le second Livre avec plusieurs préparations qu'il faut faire sur les équations, pour en rendre la resolution plus facile ; comme la maniere d'en ôter les fractions & les incommensurables, & la maniere de trouver le plus grand diviseur com. mun à plusieurs équations d'un même Problême.

à On explique dans le troisiéme Livre la formation des équations : elle sert à faire concevoir clairement leur nature aux Lecteurs qui commencent. On leur apprend à distinguer le nombre & les qualitez des valeurs de l'inconnue de chaque équation; & on leur enseigne les differentes transfor

& mations des équations avec leurs usages. Après avoir appris les premiers principes de l'Analyse dans les trois premiers Livres, qui sont comme des préparations pour resoudre les équations & les Problêmes, qu'elles expriment, on enseigne la resolution des équations dans les quatre Livres fuivans.

Le quatriéme Livre contient plusieurs methodes pour résoudre toutes les équations de quelque degré qu'elles puissent être , lorsque les valeurs de l'inconnue sont commenfurables ; & les méthodes ge

nerales

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nerales de réduire les équations composées aux plus simples qu'il est possible. Les regles qu'a données Münsieur Hudde dans la lettre intitulée de . duftione aquationum , qui est à la fin du premier Vo- . lume de la Geometrie de Monsieur Descartes, y font mises en ordre & démontrées. Là methode d'employer les grandeurs indéterminées qui re. presentent toutes les grandeurs particulieres, pour découvrir celles que l'on cherche , eft expliquée dans ce quatriéme Livre, & mise en usage dans tous les suivans. Les Lecteurs qui commencent, doivent se rendre familiere cette methode de Monsieur Descartes : elle est comme la clef qui ouvre l'entrée presque à toutes les découvertes. On explique dans le même Livre tout ce qui regarde les valeurs égales des inconnues des équations ; ce qui est de grand usage dans la resolution de plusieurs Problemes

. On a mis dans le cinquième Livre les Methodes de resoudre les équations composées en particulier du second degré, du troisiéme, du quatriéme , &c. On tâche de faire entrer les commençans dans ces refolutions , qui font la plûpart de l'invention du Pere: Preftet., comme s'ils les découvroient eux-mê mes. Ils y remarqueront qu'il y a dans l’Analyse, aussi bien que dans la Geometrie simple, des Pro. blêmes dont l'on n'a pû jusqu'à present démontrer l'impossibilité, ni trouver des methodes qui en donnassent la resolution exacte ; qu'on n'a pas laissé cependant de trouver des methodes qui en don nassent des resolutions si approchantes, que les Mathematiques practiques & les Arts en tirent les

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Tome 1.

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mêmes avantages qu'ils auroient des resolucions exactes : & comme l'on a trouvé dans la Geometrie des valeurs di approchantes de la longueur de la circonference & de la quadrature du cercle, que leur difference d'avec les valeurs exactes eft insen. fble; on a de même trouvé des methodes d'appro

cher de Les près des valeurs des inconques des équasions datas les cas con l'Analyse n'en a pas encore pâ trouver d'exprelltons exactes , qu'on en peut cendre la difference plus petite qu'aucune grandeur que l'on voudra. Les mechodes d'approximation font le sujet du lixiéme & du septiéme Livre.

On explique & l'on démontre dans le fixiéme Livre la methode de trouver les grandeurs qui Lont les limites des valeurs de l'inconnue dans les équations numeriques de tous les degrés ; ( Monsieur

Rolle.et l'Auteur de cette methode ;)& l'on donne ploLieurs manieres de trouver , par le moyen de ces limites, les valeurs des inconnues des équacions mu meriques aulli peu differences des valeurs exactes qu'on le peut delirer.

La maniere de faire une formule generale pour élever une grandeur complexe de tant de termes qu'on voudra à une puissance quelconque, dont l'exposant indéterminé represente an nombre quel conque entier ou rompu, policif ou négatif, eft expliquée & démontrée pour tous les cas dans le feptiénze Livre. Elle est de grand ufage pour form mer toute farte de paillances, pour extraire toute forte de racines, par de simples substitutions; pour faire des formulesgenerales dans la refolution des

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