Les logarithmes (1) font des nombres proportion arithmétique, correfpondans à d'autres en proportion géomé→

trique.

Une proportion eft la comparaifon de deux raifons égales. Il y en a de deux fortes, l'arithmétique & la géométrique. La proportion arithmétique eft une comparaifon de deux raifons arithmétiques égales, 3 eft à 5 comme 6 eft à 8. La différence 2, qui fe trouve par la fouftraction entre les deux premiers termes, eft la même entre les derniers. Dans cette proportion qui s'écrit ainfi, 3,56, 8, la fomme des extrêmes eft égale à celle des moyens. Le premier & le dernier terme s'appellent les extrêmes; le fecond & le troifieme font les

moyens.

La proportion géométrique eft une comparaifon de deux raifons géométriques égales. s eft à 15 comme 7 à 21. 5 L'expofant qui fe trouve par la divifion eft 3, qui fignifie que le premier terme eft contenu trois fois dans le fecond comme le troifieme dáns le quatrieme,

(1) Logarithme. Atyw, dico, je dis, aproμòs? numerus, nombre.

Dans cette proportion marquée ainfi 5, 157, 21, le produit des extrêmes eft égal à celui des moyens. La doctrine de la proportion géométrique eft d'une utilité univerfelle dans toutes les parties des mathématiques. On l'appelle fimplement proportion.

Dans une proportion il y a quatre termes. Lorfque le même terme eft conféquent de la premiere raifon, & antécédent de la feconde, on l'appelle moyen proportionnel, comme dans la proportion arithmétique 5, 10: 10, 15, ou dans la proportion géométriques, 10 :: 10, 20, 10 eft le moyen proportionnel; & on appelle ces proportions, continues. On les marque communément ainfi,5, 10, 15 pour la proportion arithmétique, & 5, 10, 20 pour la proportion géométrique.

Lorfqu'il y a plus de trois termes dans une proportion continue, on la nomme progreffion. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, &c. est une progression arithmétique. La différences eft la même entre tous les termes. Dans cette progreffion la fomme des extrêmes eft toujours égale à celle de deux autres termes quelconques, qui font également éloignés des

extrêmes,

où au double du terme du milieu, fi le nombre des termes eft impair. Ainfi, 5 & 35 font 40, comme 10 & 30, 15 & comme deux fois 20.

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5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, &c. eft une progreffion géométrique. L'expofant eft, c'eft-à-dire que le nombre qui précede eft conftamment la moitié de celui qui le fuit. Dans cette progreffion, le produit de deux extrêmes quelconques eft toujours égal au produit de deux moyens quelconques à diftance égale des extrêmes, ou au carré du terme du milieu, lorfque le nombre des termes eft impair. Ainfi, cinq fois 320 font 1600, comme dix fois 60, vingt fois 80, & quarante fois

40.

De ces notions il fuit que ce qui s'opere par la multiplication & la divifion dans la proportion géométrique, fe fait par l'addition & la fouftraction dans la proportion arithmétique : ce qui eft beaucoup plus court & plus facile.

Dans les tables, on prend la progreffion géométrique 1. 10. 100. 1000, &c. c'est-à-dire, 1 eft à 10, comme ro eft à 100, comme 100 eft à 1000, &c.; &la progreffion arithmétique Tome II,

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10000000. 20000000. 30000000, &c. Comme les logarithmes font la progreffion arithmétique des nombres naturels, 0, 1, 2, 3, &c. placés à côté de la progreffion géométrique décuple, 1, 10, 100, 1000, &c. le nombre i eft véritablement le logarithme de 10; le nombre 2 eft celui de 100; & les zéro que l'on trouve à la fuite des logarithmes 1, 2, 3, &c. y feroient inutiles, fi on ne raitoit que des nombres de la progreffion géométrique décuple, 1, 10, 100, &c. Mais on a befoin des logarithmes intermédiaires. Or, pour les avoir, par exemple, ceux des nombres compris entre 1 & 10, on ajoute des fractions décimales à chacun de ces deux nombres, & à leurs deux logarithmes o & 1. L'on établit une progreffion géometrique enrre 1 & 10, & une progreffion arithmétique correfpondante entre o & 1 ; & les termes de cette derniere progreffion font les logarithmes des termes de la premiere. On prend de fi grands nombres pour les termes de la progreffion arithmétique, afin d'avoir d'autant plus de nombres intermédiaires, que les termes de la progreffion géométrique font plus éloignés du premier. On prend zéro pour

logarithme de l'unité, parce qu'autrement on feroit obligé de faire, pour la multiplication, la divifion, &c. une opération de plus que l'on ne fait.

Lorfqu'on a deux nombres à multiplier, on cherche dans la table leurs logarithmes, , que l'on ajoute ensemble : feur fomme eft le logarithme du produit, & fe trouve dans la table, vis-à-vis de cette fomme.

Pour trouver le quotient d'un nombre à divifer par un autre, on retranche le logarithme du divifeur de celui du dividende: le refte eft le logarithme du quotient.

Pour une regle de trois, on ajoute enfemble les logarithmes des deux moyens termes connus, & on retranche de cette fomme le logarithme du premier terme : le refte eft le logarithme du quatrieme terme cherché,

Pour trouver la racine carrée d'un nombre, on prend la moitié de fon logarithme: cette moitié eft le logarithme de la racine que l'on cherchoit.

Pour élever un nombre à fon carré' on prend le double de fon logarithme': ce double eft le logarithme du carré que l'on veut avoir.