ment la Nature dans fes productions; car les unités côtés dont nous traitons font indivifibles c'eft la raison pourquoi les côtés. de ces quarrés vont toûjours en augmentant d'une unité, & de même en diminuant. De ce principe fuit celui-ci, la différence du quarré un à celui quatre étant trois, & celle de quatre à neuf étant cinq, il eft certain que cette différence eft le nombre de quarrés qu'il faut ajouter au quarré fim ple, pour avoir le plus prochain quarré fimple fupérieur.

La différence d'un quarré fimple à un autre est une progreffion qui aug mente ou diminuë de deux..

Donc cette différence eft une progreffion fuivie qui augmente ou diminuë de deux, puifque un &-deux font trois, & que trois & deux font cinq, ce qui étant reconnu & établi, nous voyons clairement que fi nous ajoutons à la

différence cinq, la différence de la progreffion qui eft deux, nous aurons fept pour la différence du quarré neuf au plus prochain quarré fimple fupérieur ; & en effet neuf & fept font 16. dont le côté eft quatre voyons ce que nous produira ce quarré feize. (Figure neuvième.)

A. C. = feize, puifque A. B.

ou B. C.quatre, donc le quar

X

ré B. D. trente-deux; car la diagonale B. D. = huit B. C. fa moitié quatre produit trente-deux.

O.

=

quarré long de huit fur deux= feize; car B. D. — huit D. O. deux produit feize, or feize eft nombre quarré, puifque feize eft une fuperficie quarrée comme A. C. dont les côtés A. B, B. C. chacun quatre unités côtés de quarré.

Donc entre deux & huit il y a le nombre proportionnel quatre, lequel multiplié par lui mêine

produit un quarré égal au quarré long de huit fur deux; donc c'eft une régle certaine que tout quarré long dont la fomme eft quarrée, peut fe réduire en quarré parfait ou fimple.

REGLE NEU VIE' ME.

Tout quarré long dont la fomme eft quarrée, peut feréduire en quarré (imple, ou en quarré double, la fomme eft un quarré double.

Nous avons vû précédemment que le quarré long dont la fomme eft un quarré double, fe réduit auffi en un quarré dont le côté eft la diagonale de fon quarré fimple; par exemple I. B. quarré long de huit eft B. D. fur quatre eft B.A. foit B. D. huit B. A. X quatre, le produit deux;pour connoître fi trente-deux est une fomme ou fuperficie quarrée, je cherche un nombre qui multiplié par lui-même produi

trente

fe trente-deux, n'en trouvant

point, parce qu'il n'y en a pas;

feulement

tren:

car cinq cinq vingt-cinq, & fix fix X te-fix, je prends donc la moitié de trente-deux qui eft feize, & je reconnois que quatre

quatre seize; donc trente-deux étant une fomme qui contien deux fois feize, & feize étant un quar ré dont le côté eft quatre; je dis que trente-deux eft un quarré double dont le côté eft la diagonale du quarré de feize, ou autrement quatre unitez diagonales.

Nous fommes forcez ici de reconnoitre que les nombres font les certificateurs indubitables des opérations Géométriques, & que ces dernieres ne valent rien quand elles n'y font pas conformes, que même elles y font affervies & affujeties; car je vois que la Géométrie doit fuivre immédiatement les opérations numériquement Géométriques que je viens de fai

re, & fuivant cet ufage certain, je multiplie la ligne B. D. par la ligne D. O. pour avoir la ligne B. H. feize & je trouve cette progreffion 2. 4. 8. 16. dans le diamétre d'un cercle; pareillement je découvre que la Nature me donne le demi rayon B. C. quatre pour la moyenne proportionnelle que je cherche, je m'aperçois auffi que je puis me fervir dans tous les cas pareils de la façon ufitée dans la Géométrie d'Euclide pour abréger l'opération que je viens de faire pour l'inftruction, & qu'elle eft bonne dans les cas où la fomme d'un quarré long eft quarrée; car elle est fauffe dans les autres cas. L'opération Euclidienne confifte àlajouter O.D. deux avec B. D. huit pour avoir B. N.

-dix, dont je fais le diamétre d'un cercle, alors je reconnois évidemment que I. D. perpendiculaire, tombant fur le point D.