deux quantités foient femblables, il n'eft pas néceffaire qu'elles aient les mêmes fignes, ni les mêmes coefficiens; mais il faut qu'elles contiennent les mêmes lettres, & que ces lettres foient écrites autant de fois dans une quantité que dans l'autre ; c'eft pourquoi aab & ab ne font pas femblables, parce que la lettre a eft écrite deux fois dans la premiere quantité, & une fois feulement dans la feconde. Tout cela doit auffi s'entendre des termes des quantités complexes.

131. Lorsqu'il y a plufieurs termes femblables dans une quantité complexe, on les réunit en un feul terme: c'eft ce qu'on appelle réduire les quantités femblables à leurs plus fimples expreffions. Or cette réduction fe fait en deux manieres, ou en ajoutant les coefficiens, ou en ôtant l'un de l'autre. Lorfque les termes femblables ont les mêmes fignes, afin de faire la réduction, il faut ajouter les coefficiens, & écrire la fomme avec le figne des termes qu'on réduit : ainsi dans la quantité 3 abb→→ 4abb2ab, les deux premiers termes étant femblables, & ayant le même figne +, pour en faire la réduction, j'ajoute les coefficiens 3 & 4, & j'écris la fomme 7 avec le figne qui eft celui des termes femblables: ainfi la quantité réduite eft+7abb→2ab0u 7 abb +2ab. De même pour faire la réduction des trois derniers termes de la quantité sbb-3bd-4bdbd, j'ajoute les trois coefficiens, 3, 4 & 1, & j'écris la fomme qui eft 8 avec le figne en cette maniere sbb8bd. [On a pris l'unité pour coefficient du dernier terme-bd, parce qu'il n'en a point qui foit marqué ] (129).

Mais fi les termes femblables ont des fignes différens, pour lors il faut ôter le plus petit coefficient du plus grand, & écrire le refte avec le figne du plus grand coefficient: par exemple, afin de faire la réduction de la quantité 3ab+sab+7aa, dont les deux premiers termes font femblables, il faut ôter 3 de 5, & écri

--

re 2 avec le figne+qui eft celui du plus grand coefficient s; ainfi la quantité réduite eft +2ab+7aa ou 2ab7aa. Pareillement afin de faire la réduction de la quantité 3cx—7xx+5xx, dont les deux derniers termes font femblables, il faut ôter 5 de 7, & écrire le refte 2 avec le figne- en cette maniere, 3cx-2xx. Lorfque les termes femblables ont des fignes différens & les mêmes coefficiens, ces termes fe détruisent entieremént: ainfi la quantité 3cx-xx-5xx fe réduit à 3x, parce que les deux autres termes fe détruifent.

DE L'ADDITION.

132. L'Addition eft une opération par laquelle on cherche la fomme de plufieurs quantités : par exemple: fi ayant les trois nombres 6, 9 & 10, je les joins enfemble pour en avoir la fomme, qui eft 25; cela s'appelle

faire l'addition de ces trois nombres.

133. Afin d'ajouter les quantités algébriques, il n'y a qu'à les écrire telles qu'elles font, fans rien changer aux fignes qui les précédent : pár exemple, fi on veut ajouter bou+b avec a, on écrit 4-+6: mais fi on vouloir ajouter b avec a, il faudroit mettre a-b. Pour ajouter cd avec a+b, on écrira a+b+cd... Pour ajouter-3aab2ad avec saab 7ad + 3cd on écrira saab-7 ad3cd3aab → 2ad.

134. Lorfqu'après l'addition il y a des quantités femblables dans la fomme, il faut faire la réduction; ainfi dans le dernier exemple qu'on vient de propofer, la fomme qu'on a trouvée fe réduit à 2aab-5ad +3cd. Souvent dans la pratique on fait la réduction en mêmetems que l'addition.

135. Cette opération porte fa démonstration avec elle, étant évident que la fomme de 4 & de best a+b; a & que celle de 4 & deb est ab: ainfi des autres exemples.

A

DE LA SOUSTRACTION.

136. La Soustraction est une opération par laquelle on ôte une grandeur d'une autre. Ainfi, fi on ôte 4 de 7, c'eft une fouftraction. La grandeur qui réfulte après la fouftraction eft appellée refte ou différence. Dans l'exemple propofé 3 eft le refte ou la différence.

:

137. Pour ôter une quantité algébrique d'une autre, il faut changer les fignes de la quantité à fouftraire, & laiffer ceux de la quantité dont on veut fouftraire. Exemples pour ôter bou+b de a; il faut écrire ab: mais pour ôterb de a, il faut écrire a+b. Pour fouftraire c-d de a+b, on écrira a+b-c+d. Pour fouftraire-3aab2ad de saab-7ad3cd, on écrira saab-7ad3cd3aab2ad.

1.38. Lorfqu'après la fouftraction il y a des quantités femblables dans le refte, il faut faire la réduction ; ainsi dans le dernier exemple qu'on vient de propofer, le refte qu'on a trouvé fe réduit à 8aab9ad3cd. Souvent dans la pratique on fait la réduction en même-tems la fouftraction.

que

On entend facilement pourquoi dans la quantité à fouftraire on change le figne de plus en moins par exemple, fi on veut ôter b de a, il eft évident que le refte fera a-b. Mais on ne voit pas d'abord pourquoi on change le figne de moins en plus : par exemple, fi on veut ôter bdea, b de a, & qu'on écrive 4+b felon la regle prescrite, il femble que l'on aura fair le contraire de ce que l'on fe propofoit; parce que ab eft plutôt une fomme qu'un reste.

139. Pour faire comprendre la raifon de la regle dans le cas où il y a des fignes de moins dans la quantité à fouftraire, nous allons prendre un exemple en nombre. Suppofons donc qu'il s'agiffe de fouftraire 7-3 de 12: je dis qu'il faut écrire 12-7+: car fi on écrit 12

0

-7, il est évident qu'on a trop ôté de 12, parce qu'on ne veut pas ôter 7 de 12, mais feulement 7-3, qui et moindre que 7; par conféquent il faut ajouter 3 qu'on a ôté de trop en mettant 12-7, c'est-à-dire, qu'il faut écrire 127438.

Que s'il s'agit d'ôter une quantité négative toute feule, il eft encore évident qu'il faut changer le figne de moins en plus: per exemple, fi on veut fouftrairede, il faut écrire ab. Car ôter une quantité négative, c'est en ajouter une pofitive; comme fi un homme devant cent écus, on lui ôte, c'est-à-dire, qu'on lui remette cette derte, qui eft une quantité négative, c'est la même chofe que fi on lui donnoit cent écus; par confé quent afin de faire la fouftraction, il faut changer les fignes de la quantité à fouftraire, en mettant moins à la place de plus, & plus à la place de moins.

D'ailleurs on vient de faire voir que pour fouftraire b- de a il faut écrire ab+c. Cela pofé, il faur mettre pour retrancher de a: car en ajoutant la même grandeur b aux deux autres 4 & - le refte des deux fommes a+b & bc doit être le même que celui des deux premieres quantités a &c (28). Or en ôtant b de a+b le refte eft abb+cou ac donc fi on retranche de a le refte fera auffi 4-+-c..

DE LA MULTIPLICATION.

140. Multiplier une grandeur par une autre, c'est prendre la premiere autant de fois qu'il eft marqué par la feconde par exemple, multipliers par 3, c'eft pren dres autant de fois qu'il eft marqué pai 3 ; c'est-à-dire, trois fois : ce qui fait 15. Il y a trois chofes à diftinguer dans la multiplication; fçavoir, le multiplicande, le multiplicateur & le produit.

Le multiplicande ou le multiplié, c'eft la grandeur qu'on multiplie. Le multiplicateur eft celle

par laquelle

on multiplie, & le produit eft la quantité qui réfulte de la multiplication: dans l'exemple propofé, s eft le multiplicande ou le multiplié, 3 eft le multiplicateur, & 15 eft le produit.

Cette notion de la multiplication convient aux quantités littérales ou algébriques auffi-bien qu'aux nombres, en forte que multiplier a par b, c'eft prendre la grandeur 4 autant de fois qu'il eft marqué par b.

141. On peut donc définir la multiplication,une opération par laquelle on cherche une grandeur qu'on nomme produit qui contienne autant de fois le multiplié, que le multiplicateur contient l'unité : par exemple, fi on multiplie 6 par 4, on trouvera pour produit un nombre, fçavoir 24, qui contient 6 quatre fois, de même que 4 contient i quatre fois. Cela eft évident par l'expreffion même dont on fe fert dans la multiplication des nombres, puifque pour multiplier 6 par 4, on dit quatre fois 6; le produit doit donc contenir 6 quatre fois, c'est-à-dire, autant de fois que 4 contient l'unité. Cette définition convient également aux quantités littérales.

142. Le produit de deux grandeurs algébriques fe marque en mettant l'une à côté de l'autre ; ainfi ab défigne le produit de a par b aa fignifie pareillement le produit de a par 4. Pour marquer la multiplication, on fe fert auffi du figne X en le mettant entre les deux grandeurs qu'on multiplie : par exemple, axb exprime le produit de a par b: axa marque auffi le produit de a par a. Ce figne x veut donc dire, multiplié par : ainfi axb fignifie a multiplié par b. Il eft plus ordinaire de placer une lettre à côté de l'autre fans mettre aucun figne entre deux, comme nous l'avons dit d'abord.

143. Le multiplicande & le multiplicateur font fouvent appellés les racines du produit: par exemple, a & b font les racines du produit ab ; & lorfque les deux racines d'un produit font égales, on les appelle racines