quarrées. Ainfi a eft la racine quarrée du produit aa. Dans la fuite nous parlerons plus au long des racines. On diftingue deux fortes de multiplications algébriques, celle des quantités incomplexes & celle des quantités complexes. Nous en traiterons féparément. Mais avant d'expliquer les regles de l'une & de l'autre multiplication, il eft néceffaire de démontrer que quand en multiplie plufieurs grandeurs, comme a, b, c, les unes par les autres, le produit ett toujours le même quelque ordre qu'on obferve dans la multiplication; c'eft-à-dire, que les produits abc, acb, bac, bca, cab, dba, font égaux : & de même tous les produits qu'on peut former de quatre grandeurs font égaux : pareillement tous les produits qu'on peut faire de cinq grandeurs font égaux: ainfi de fuite.

144. Remarquez que deux grandeurs a & b peuvent recevoir deux arrangemens différens, ab, ba Trois grandeurs a, b, c, peuvent recevoir trois fois deux ou 6 arrangemens: car chacune des trois étant mife dans le premier rang, les deux autres peuvent recevoir deux arrangemens : ce qui fait trois fois deux ou 6 arrangemens que voici abc, acb; bac, bca ; cab, cba. Quatre grandeurs, a, b, c, d, peuvent recevoir 4 fois 6 ou 14 arrangemens : car chacune étant mife au premier rang,les trois autres peuvent recevoir fix arrangemens, ce qui fait 4 fois 6 où 24, que voici : abcd, abdc, acbd, adb, adbc, adcb; bacd, badc, bcad, bcda, bdac, bdca; cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba ; dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, deba. De même cinq grandeurs peuvent recevoir cinq fois 24 ou 120 arrangemens: fix en peuvent recevoir 6 fois 120 ou 720; ainfi de fuite.

chofe

Dans le Lemme fuivant nous fuppoferons quelque que nous allons établir ici, 1°. que le produit de deux grandeurs eft le même, de quelque maniere que ces deux grandeurs foient multipliées; par exemple, que le produit des nombres 5 & 4 est toujours le S

même, foit qu'on multiplies par 4, ou 4 par 5. 2° Que le produit de trois grandeurs eft toujours le même, pourvu que l'on conferve le même ordre dans la fuite de ces grandeurs; en forte que le produit abc, par exemple, eft le même, foit qu'il défigne celui de a par be, ou celui de ab par ; pareillement que le produit de quatre grandeurs eft toujours le même quand on conferve le même ordre de ces grandeurs, c'est-à-dire, que le produit abcd, par exemple, eft le même, foit qu'il défigne le produit axbcd, ou bien abxcd, ou bien abcxd. Il en eft de même des produits qui font compofés d'un plus grand nombre de racines.

Afin de prouver les deux chofes énoncées ci-deffus, nous fuppoferos a=5 › b4, cx3, d=2.

145. Je dis donc 1°. que le produit de 5 par 4 ou de a par b est égal à celui de 4 par ́s ou de b par 4. Concevons quatre rangées paralleles de cinq points chacune, telles que ei; elles compoferont cinq colomnes comme ef de quatre points chacune. Ces points étant conçus difpofés en cette maniere on pourra raisonner ainfi :multipliers par 4 c'eft prendre 4 fois la rangée ei qui contient 5 points ou prendre 4 rangées égales à ei, & multiplier 4 par 5 c'eft prendre 5 fois la colomne ef, ou prendre colomnes égales à ef. Or le produit eft le même dans l'un & dans l'autre cas, c'est le

nombre des points contenus dans l'efpace efmi, puif que cet efpace contient précisément 4 rangées égales à ei, ou s colomnes égales à ef, ni plus ni moins. Ainfi le produit de a par b eft égal à celui de b

par a.

146. Je dis en fecond lieu que a xbc abx c : car fi d'une part le multiplicande a eft 4 fois moindre que le multiplicande ab, auffi le multiplicateur bc eft 4 fois plus grand que le multiplicateur. De même les trois

produits de abcd, fçavoir axbcd, abxcd, abexd qui se forment fans changer l'ordre des lettres font égaux : car 1o. 4xbcd—abxcd, puifque fi le multiplicande 4 eft 4 fois plus petit que le multiplicande ab, auffi le multiplicateur bed eft quatre fois plus grand que la multiplicateur cd. 2°. ab X cd=abcx d par la même raifon. Il eft donc évident que tous les produits qu'on peut faire de quatre grandeurs font égaux entr'eux fi on ne change point la fuite des grandeurs.

On peut donc prendre indifféremment abc ou pour 4xbc ou pour abxc. De même abed peut être pris indifféremment pour axbcd, ou pour abxed, ou pour abcxd. Cela fuppofé, on prouvera aifément le Lemme fuivant.

LEMME.

147. Les produits qui naiffent de la Multiplication des mêmes grandeurs font égaux en quelque ordre qu'on multiplie ces grandeurs.

DEMONSTRATION.

1o. Tous les produits des trois grandeurs a, b, c, font égaux : car fi entre les fix produits qui peuvent venir de la multiplication des trois grandeurs, a, b, c, on prend les deux abc & acb où la lettre a eft la premiere, il eft facile de faire voir qu'ils font égaux, puifque les deux produits bc & cb étant égaux, comme on l'a prouvé, il s'enfuit qu'en multipliant a par bc & par cb, les deux nouveaux produits axbc & axcb ou abc & ach font auffi égaux. Par la même raifon les deux produits bat & bea dans lesquels la lettre b eft la premiere, font encore égaux. Enfin les deux autres produits cab & cha qui commencent par c font pareillement égaux entr'eux. Il ne s'agit donc plus que de faire voir qu'un des produits égaux abc & acb dont la lettre a occupe le premier rang, est égal à un des produits dont chacune des

deux autres lettres b & c tient la premiere place: or; cela eft manifefte par l'article 145, pourvu que l'on confidére be comme une feule quantité, de même que le produit cb : car alors on aura les deux égalités axbc =bcxa, & axcb=cbxa, qui font les mêmes que les fuivantes abc—bca, acbcba: par conféquent les 6 produits qu'on peur former des trois grandeurs a, b, c, font égaux.

2°. Les 24 produits qu'on peut former des quatre grandeurs a, b, c, d, font égaux. Car entre ces 24 produits, il eft clair que les fix ou la lettre a eft la premiere font égaux entr'eux, puifque les fix produits des trois grandeurs b, c, d, étant égaux, il faut que les fix produits fuivans axbcd, axbdc, axcbd, axcdb, axdbc,axdcb, foient auffi égaux entr'eux. Par la même raison les fix produits où chacune des trois autres lettres b, c, d, occupe la premiere place font égaux entr'eux. Il refte donc à démontrer qu'il y a un produit dans les fix dont a occupe la premiere place, égal à un des fix produits, où chacune des trois autres lettres b, c, d, est la premiere : ce qui fe prouve de la même maniere que dans la premiere partie ; il fuffit d'expofer les égalités fuivantes, axbcd-bcdxa ; a×cbd—cbd×a ; a×dbcdbcxa.

Il eft vifible qu'en fe fervant de la même méthode, on fera voir que tous les produits qui viennent de la multiplication des cinq grandeurs, a, b, c, d, e, font égaux; ainfi de fuite.

148. Quoique l'on puiffe donner quel rang on veutaux différentes lettres d'un produit, cependant il eft bon de les écrire toujours fuivant le rang qu'elles ont dans l'Alphabet par exemple, dans un produit compofé des trois lettres a, b, c, il faut toujours écrire abc, & non pas bac, ou cab, &c. la pratique de cette remarque fait éviter des fautes de calcul.

DE LA MULTIPLICATION DES QUANTITÉS

incomplexes.

Il y a trois regles à obferver dans la Multiplication de l'Algébre : la premiere regarde les fignes de plus & de moins qui précédent les quantités qu'il faut multiplier l'une par l'autre, la feconde eft pour les coefficiens: & la troisième pour les lettres qui défignent les gran

deurs.

149. I. REGLE. Lorfque le multiplicande & le multiplicateur ont le figne, on doit mettre au pro duit. Lorfque l'un a le figne +, & l'autre le figne, il faut mettre au produit. Enfin lorfque le multipli cande & le multiplicateur ont tous les deux le figne, il faut mettre au produit. Voici des exemples pour ces trois cas. Premier cas. a multiplié par +b donne +ab. Second cas.+a multiplié par b donne-ab, & de mêmea multiplié+b donne-ab. Troifiécas. Enfin a multiplié par-b donne +ab. Nous nous fervirons dans la fuite du figne de la multiplication, afin d'abréger ; ainfi au lieu d'écrirea multiplie parb donne +ab, nous mettrons ax-b donne-ab, ou bien-ax⋅ -bab. Pareillement, au lieu d'écrirea multiplié par-b donne —ab, nous mettrons+ax—b donne-ab, ou bien +ax—b——ab.

—a

On peut réduire les trois cas de cette regle à deux feulement, en difant que quand le multiplicande & le multiplicateur ont des fignes femblables, foit qu'ils aient tous les deux ou tous les deux, on doit metteau produit mais au contraire, lorfque ces fignes font différens, c'est-à-dire, que l'un eft & l'autre —, il faut mettre au produit.

150. II. REGLE. On multiplie les coefficiens comme tous les autres nombres : mais il faut fe fouvenir que