le dividende & le divifeur n'avoient aucune lettre com→ mune, on indiqueroit la divifion de la même maniere: ainfi pour marquer la divifion de 4 par b, on écrit 2. III. 169, Quand il fe trouve une même lettre dans le dividende & dans le divifeur, alors pour faire la divifion on ôte l'expofant du divifeur de l'expofant du dividende, Cette remarque qui fuit évidemment de la troifiéme regle répond à une autre remarque que nous avons faite fur la multiplication en pareil cas (155), & dans laquelle nous avons dit qu'il falloit ajouter les expofans de la lettre commune au multiplicande & au multipli cateur. 170. La premiere regle (164) qui eft celle des fignes, eft fondée fur ce que le produit du divifeur par le quotient, doit être le même que le dividende. Or afin que ce produit ne différe pas du dividende, il est nécessaire d'obferver la regle que nous avons propofée : car, par exemple, fi le dividende ayant le figne, & le divifeur le figne -on mettoit au quotient, il est évident qu'en multipliant le divifeur, qu'on fuppofe avoir le figne par le quotient, qui auroit le figne, le produit devroit avoir -, parce que. X+donne 3 par conféquent le figne du produit feroit différent de celui du dividende : ce qui eft impoffible. 171. La feconde regle, qui eft celle des coefficiens ne renferme aucune difficulté particuliere : car les coefficiens étant des nombres, il eft clair qu'on doit opérer fur eux, comme on fait dans la divifion des autres nombres. 172. La troifiéme regle eft encore une fuite de la re marque que nous avons faite en difant que le produit du divifeur par le quotient, ou du quotient par le divifeur eft la même grandeur que le dividende : car la multipli cation du quotient par le divifeur fe fait en écrivant le divifeur à côté du quotient ; & par conféquent afin que le produit de cette multiplication ne différe pas du dividende, il faut qu'en faifant la divifion on ait effacé dans le dividende les lettres qui font aufli dans le divifeur. En un mor, dans la divifion on efface du dividende les lettres qui fe trouvent dans le divifeur ; & le refte eft le quotient; au contraire, dans la multiplication du quotient par le divifeur, on remet dans le quotient les lettres du divifeur qui avoient été effacées; ainfi le produit de cette multiplication eft la même grandeur que le dividende : par exemple, fi on divife abc par be, on efface be du dividende abc, & il reste a pour quo tient : & dans la multiplication du quotient a par le divifeur be, on remet be avec a ; & pat conféquent le pro duit eft la même grandeur que le dividende. DE LA DIVISION DES QUANTITÉS complexes. 173. Si le dividende eft complexe, & le divifeur incomplexe, voici les opérations qu'il faut faire afin de pratiquer la divifion. 1o. Divifer le premier terme du dividende par le diviseur, en obfervant les trois regles prefcrites pour la divifion des quantités incomplexes; & ensuite écrire le quotient à part. 1o. Multiplier le divifeur par le terme qu'on vient d'écrire au quotient. 3°. Souftraire le produit qui eft venu de la multipli cation, le fouftraire, dis-je, du dividende : ce qui fe fait en changeant le figne du produit. 4°. Enfin faire la réduction des termes femblables. qui fe préfentent après la fouftraction. Ces quatre opérations doivent être appliquées fur les autres termes du dividende fucceffivement. De ces quatre opérations les trois premieres ont lieu dans la divifion des nombres, il n'y a que la quatrième qui foit particuliere à la divifion algébrique. EXIMPLI I. Soit la quantité 44′ ba ——— 6a3 b2 ——— 2a2 b3 à divifer par 242 b. Ayant écrit le divifeur à la droite du dividende & tiré une ligne au-deffous de l'un & de l'autre, ayant auffi tiré une feconde ligne qui fépare le dividende du divifeur comme on le voit: 1o. Je divise le premier terme 44' b du dividende par le diviseur 24 b, le quotient eft zab3 ; j'écris donc le quotient 243 b3 fous le divifeur, comme il paroît dans cet exemple. 2°. Je multiplie le divifeur 24' b par le quotient 243b3, le produit eft +44 b. 3°. Je fouftrais ce produit du dividende en écrivant 445 b* fous le terme femblable 4a b*. 4°. Enfin je fais la réduction, en effaçant les deux termes 4a b*—4a3 ba qui se détruiba. fent. Au lieu d'effacer les termes, on a mis au-deffous un zero pour la commodité de l'impreffion. ---- Je fais enfuite les quatre mêmes opérations fur le fecond terme — 6a3 b2 du dividende, & après fur le troiGéme2a2 b3. La divifion étant achevée, on trouvera que le quotient entier fera 243 b3 3 ab + b2. · 174. Lorfque le diviseur eft une quantité complexe auffi-bien que le dividende, on fait les quatre mêmes opérations fur le premier membre du dividende; & fi après la réduction il y a encore des termes qui ne foient pas effacés dans le dividende, on fait auffi les quatre opérations fur les termes du dividende qui n'ont pas été effacés dans la réduction, & on continue de même jufqu'à ce qu'il ne reste plus rien dans le dividende, fi cela eft poffible. 175. Il faut remarquer qu'en faifant la premiere des quatre opérations qui eft la divifion, on ne fe fert que du premier terme du divifeur: mais dans la feconde opération, on multiplie tous les termes du divifeur par celui qu'on a écrit au quotient en faifant la premiere opération ; & tous les termes du produit doivent être fouftraits du dividende. On entendra cela par un exemple. EXEMPLE I. Soit la quantité a3 — 3 a2 b—— 3 ab2 — 3a2 b→ zab2 — b3 à divifer par a2 — 2ab+b2. Après avoir difpofé ces deux quantités comme dans l'exemple précédent. - Je divife d'abord le premier terme a3 du dividende. par le premier terme a "du divifeur, & j'écris a au quotient.2°. Je multiplie le divifeur entier par le quotient 4. 3°. Je fouftrais du dividende le produit a3 — 2a2 b+ -- ab: ce qui fe fait en changeant les fignes & en écrivant — a3 + 2a2 b ab' fous les termes semblables du dividende. 4°. Je fais la réduction après laquelle je trouve que le refte du dividende eft ab+2ab2 b3. Il faut faire fur ce refte les quatre mêmes opérations, Je divife donc 1o, le premier termeab par le premier terme 4' du divifeur, & j'écris le quotient bà la fuite du terme 4 que j'ai déja trouvé, 2o. Je multiplie le divifeur entier parb. 3°. Je fouftrais le produit en changeant les fignes, & en écrivant ab 2ab2 b3fous les termes femblables. 4°. Je fais la réduction, après laquelle il ne me refte plus rien ; & par conféquent la divifion eft achevée, & le quotient eft ab En pratiquanr la méthode dont on s'eft fervi dans l'exemple précédent, on trouvera que le quotient eft 44 -sc. Après avoir fait les exemples précédens une ou plu fieurs fois, il eft bon d'en faire quelques autres, que l'on choifira de la maniere fuivante: Il faut prendre deux quantités algébriques complexes, que l'on multipliera l'une par l'autre : & fi on divife le produit de cette multiplication par une des grandeurs que l'on a multipliées, on doit trouver l'autre au quotient. 176. Lorfque l'on veut voir fi on ne s'eft pas trompé en faifant la divifion, on multiplie le divifeur entier -le quotient entier ; & fi le produit de cette multiplica par |