tion eft égal au dividende, c'eft une marque qu'on a trouvé le véritable quotient: mais fi le produit elt différent du dividende, la divifion n'a pas été bien faite. Cela a été prouvé ailleurs ( 83 ).

177. Nous ne nous arrêterons pas davantage à expliquer la divifion des quantités complexes, d'autant que cela n'eft pas néceffaire pour entendre les Elémens de Géométrie. Nous remarquerons cependant qu'il arrive fouvent qu'on ne peut faire une divifion fans refte: par exemple, fi on vouloit divifer ab+ ac b2 beg bd parab, la divifion ne pourroit le faire exactement, c'eft-à-dire, fans refte dans ce cas on fe contente d'écrire le divifeur au deffous du dividende en ab+ac b2bcbd

cette maniere,2

ou bien on

fait la divifion en partie, & on écrit enfuite le divifeur au-deffous du refte du dividende: ainfi dans l'exemple propofé, on trouve d'abord pour quotient bc, & il refte+bd au-deffous du quel il faut écrire le divifear. Le quotient entier de cette divifion eft donc b

DES PUISSANCES ET DES RACINES des Quantités.

178. La puiffante d'une grandeur eft le produit de cette grandeur multipliée par l'unité ou par elle-même une fois, deux fois, trois fois, &c. De-là viennent la premiere, la feconde, la troifiéme, & la quatrième puiffance, &c.

1

179. La premiere puiffance d'une grandeur eft le produit de cette grandeur multipliée par l'unité; d'où il fuit que la premiere puiffance d'une quantité eft la quantite elle-même; parce que le produit d'une grandeur par

l'unité n'eft pas différent de la grandeur même ; ainfi la premiere puiffance de 3 eft 3; celle de a eft a ; celle de

ab eft ab.

180. La feconde puissance, qu'on appelle plus ordinairement quarré, est le produit d'une grandeur par ellemême par exemple, 9 eft le quarré de 3, parce que 9 eft le produit de 3 par 3. 16 eft le quarré de 4, parce que 16 eft le produit de 4 par 4. aa ou a' eft le quarré de a, parce que a eft le produit de a par a.

181. La troifiéme puiffance, qu'on appelle plus ordinairement cube, eft le produit de la feconde puiffance multipliée par la premiere. La quatrième puissance est le produit de la troifiéme multipliée par la premiere. La cinquiéme puiffance eft le produit de la quatrième multipliée par la premiére. La fixiéme eft le produit de la cinquième multipliée par la premiére; ainfi de fuite. Voici des exemples. La troifiéme puiffance ou le cube de 3 eft 27, produit de la feconde puiffance 9 par la premiere 3. La quatrième puiffance de 3 eft 81, produit de 27 par 3. La cinquiéme puiffance de 3 eft 243, produit de 81 par 3. De même la troifiéme puiffance ou le cube de 4 eft 64, produit de la feconde puissance 16 par la premiére 4. La quatrième puiffance de 4 eft 2563 produit de 64 par 4. La cinquiéme puiffance de 4 eft 1024, produit de 256 par 4. Pareillement la troifiéme puiffance de a eft a3, produit de la feconde puiffance a par la premiére a. La quatrième puiffance de a est a*, produit de a3 para. La cinquième puiffance de a eft a3, produit de a par a, &c.

I

at

I

182. Remarquez qu'aucune des puiffances de 1 ne différe de la premiere. Ainfi le quarré de 1 eft ; le cube de 1 eft ; la quatriéme puiffance eft 1, ainfi de fuite. Cela vient de ce qu'en multipliant 1 par i le produit eft toujours 1.

I

I

183. La grandeur qu'il faut multiplier par l'unité ou par elle-même, afin d'avoir fes différentes puiffances eft

appellée racine de ces puiffances: par exemple, 3 est la racine de 9, de 27 & de 81. 4 eft la racine de 16 & de 64. 4 eft celle de a2, de a3, de a*, de a3, &c.

184. Une racine prend différens noms felon les puiffances dont elle est la racine. La racine de la premiere puiffance eft appellée racine premiere. Celle de la feconde eft appellée racine feconde, & plus fouvent racine quarrée. Celle de la troifiéme puissance,racine troifiéme, & plus fouvent racine cubique. Celle de la qua triéme puiffance eft appellée racine quatrième ; ainfi de fuite. Exemples. 3 eft la racine premiére de 3, la racine feconde ou quarrée de 9, la racine troifiéme ou cubique de 27, la racine quatriéme de 81. Pareillement 4 eft la racine premiére de a, la racine quarrée de a2, la racine cubique de 43, la racine quatrième de 4, la cinquiéme de as, &c.

A

185. Remarquez que la premiere puiffance & la racine premiere d'une grandeur font la même chofe; parce que l'une & l'autre font la grandeur elle-même : par exemple, la premiere puiffance de a eftia, & la racine premiére de a eft auffi 4. La premiére puissance de 4 eft 4, & la racine premiére de 4 eft auffi

4.

186. Remarquez encore que lorfqu'il s'agit d'un quarré, & qu'on parle de fa racine, il faut toujours entendre la racine quarrée. De même quand il s'agit d'un cube, fi on parle de fa racine, on doit entendre la racine cubique. Il en eft de même des autres puiffances.

187. Pour marquer la racine d'une grandeur, on met le Vavant cette grandeur, & on écrit au - deffus du figne le chifre qui marque la racine que l'on veut défigner: par exemple, Vamarque la racine troifiéme de 4. ab marque la racine feconde ou quarrée de ab. Il faut prendre garde que quand le figne radical se trouve fans shifre écrit au-deffus,il exprime toujours la racine quar

rée ; ainfi ab marque la racine quarrée de ab auffi-bien

que ab.

On fe fert auffi du même figne pour défigner la racine des quantités complexes: par exemple,

Va2+2ab+b2 exprime la racine feconde de la quan tité a2+2ab+b.Laligne tirée au-deffus de la quantia té, marque que l'on veut défigner la racine de la quantité entière qui fe trouve fous cette ligne.

188. Quand on parle de la racine quelconque, troifiéme, quatrième, cinquième d'une grandeur, il faut toujours concevoir que cette grandeur eft une puiffance femblable: par exemple, fi on parle de la racine troifié me de 4, il faut concevoir que a eft la troifiéme puiffance de la racine dont on parle. S'il s'agit de la racine quarrée de ab, il faut regarder ab comme un quarré.

189. Pour élever une grandeur à une puiffance, il faut multiplier cette grandeur par elle-même autant de fois moins une, qu'il y a d'unités dans l'expofant de la puiffance. Ainfi afin d'éléver une grandeur à la quatriéme puiffance, il faut multiplier la grandeur par elle-même quatre fois moins une, c'eft-à-dire, trois fois, par ce que 4 eft l'expofant de la quatriéme puiffance. Pareillement fi on veut élever une grandeur à la fixiéme puiffance, il faut la multiplier par elle-même fix fois moins une, c'est-à-dire, 5 fois. Exemples. Pour élever à la quatrième puiffance, je multiplie d'abord 5 par lui-même, c'est-à-dire, par s ; cette premiere multiplication donne 25 qui eft la feconde puiffance des je multiplie enfuite 25 par 5 ; cette feconde multiplication donne 125 qui eft la troifiéme puiffance des enfin je multiplie 125 pars ; cette troifiéme multiplication donne 625 qui eft la quatriéme puiffance de 5. Pour éléver ab à la troifiéme puiffance, je multiplie d'abord ab par ab; cette premiére multiplication donne ab2 qui eft la feconde puiffance de ab ; après quoi je multiplie a'b2 par

ab

ab: cette feconde multiplication donne a3 b3 ; ce dernier produit eft la troifiéme puiffance de ab.

Cette regle pour élever une grandeur à une puiffance quelconque, eft fondée fur les définitions qu'on a données des différentes puiffances; car fuivant ces définitions, il paroît d'abord que pour avoir la feconde puiffance, il ne faut faire qu'une multiplication, puifque la feconde puiffance eft le produit d'une grandeur multipliée par elle-même. 2°. Quand on a la feconde puiffance, il ne faut plus faire qu'une multiplication afin d'avoir la troifiéme; parce que la troifiéme puiffance eft le produit de la feconde par la premiére; par conféquent il ne faut faire en tout que deux multiplications pour avoir la troifiéme puiffance. On prouvera de même, que pour la quatrième puiffance, il ne faut que trois multiplications; parce que la troifiéme puiffance étant une fois trouvée, il ne faut plus qu'une multiplication, afin d'avoir la quatrième, & ainfi de fuite.

190. La regle qu'on vient de donner eft commune aux quantités incomplexes, & à celles qui font compléxes: par exemple, fi on cherche les différentes puiffances de ab, on trouvera après les réductions faites que la feconde puiffance eft a2+2ab+b2; que la troifiéme puiffance eft a3 + 3a2b+3ab2 + b3 ; que la quatriéme eft at + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + ba.

194. Il faut bien prendre garde quels font les produits qui entrent dans la compofition du quarré d'une quantité complexe : nous allons en faire l'énumération : le quarré d'une quantité compléxe renferme donc 1°. celui du premier terme. 2°. Le quarré des deux premiers termes contient de plus le double du premier multiplié par le fecond, avec le quarré du fecond. 3°. Le quarré des trois premiers termes contient de plus les produits fuivans: fçavoir, le double des deux premiers multiplié par le troifiéme avec le quarré du troifiéme. 4°. Le quarré des quatre premiers termes contient encore de

I. Partie.

i