plus le double des quatre premiers termes multiplié par le quatrième avec le quarré du quatrième. 5°. Le quarré des cinq premiers termes contient encore de plus le double des quatre premiers multiplié par le cinquième avec le quarré du cinquième, ainfi de fuite : foit, par exemple, la quantité complexe c+d+f+g+b; on trouvera que le quarré de cette quantité eft c2+2cd +d2 ; + 2¢f + 2df +ff ; + 2cg+ 2dg+ 2fg +g2 ;+2ch +2db2fb2gb+b2. Or ce quarré renferme tous les produits que nous venons de marquer: car c'eft celui qui eft indiqué dans le premier article;+2cddd, font les produits marqués dans le fecond article; 2cf2df f2 font ceux qui font énoncés dans le troifiéme article ; 2cg+2dg+2fg+g', font marqués dans le quatrième enfin tous les autres produits qui restent fort énoncés dans le cinquiéme article.

195. Les quarrés de toutes les quantités complexes peuvent être répréfentés par a2+2ab+b2 qui eft le quarré de ab. S'il s'agit, par exemple, du quarré dec+d, il pourra être répréfenté par a2+ 2ab+ b, pourvû que l'on conçoive que a eft égal à c, & que beft égal à d. Le même quarré pourra répréfenter celui dec+d+f, fi on conçoit à égal à c+d, & b égal à f. Par la même raifon le quarré de a+b répréfentera celui de c+d+f+g, fi on fuppofe a égal à c+ d+f, & bégal à g. En général, le quarré de a+b répréfentera celui de toutes fortes de quantités compléxes, pourvû que l'on fuppofe a égal à tous les termes de cette quantité, excepté le dernier, & b égal à ce dernier terme. Ainfi a'+2ab+b2 eft une formule, c'eft-àdire, une expreffion générale qui peut défigner tous les quarrés poffibles des grandeurs complexes, même ceux des nombres; car les nombres marqués par plufieurs chifres peuvent être confidérés comme des quantités compléxes: par exemple 5463 est égal à 5000+400+

Co, & par conféquent c'eft une quantité complexe de quatre termes.

196. L'opération par laquelle on éléve une quantité à quelque puiffance, eft appellée formation des puiffances: après en avoir donné la regle, nous allons parler d'une autre opération oppofée, qu'on appelle résolution des puiffances, & plus fouvent extraction des racines: elle confifte à chercher la racine d'une quantité propofée : par exemple, fi ayant le nombre 100, j'en tire la racine quarrée qui eft 10, cela s'appelle extraire la racine de 100. On peut faire l'extraction de la racine feconde, troifiéme, quatrième, cinquième, &c. tant fur les nombres que fur les quantités littérales. Nous ne parlerons ici que de l'extraction de la racine quarrée, parce qu'elle eft la feule dont nous aurons befoin dans lafuite.

DE L'EXTRACTION DE LA RACINE quarrée des nombres:

197. Afin de tirer la racine quarrée d'un nombre, il faut d'abord partager ce nombre en tranches, en commençant vers la droite ; en forte que chaque tranche contienne deux chifres, excepté la premiére à gauche qui peut n'en contenir qu'un feul : ce partage en tranches fe fait en écrivant une virgule entre deux : par exemple, fion vouloit extraire la racine quarrée de ce nombre 54123786, il faudroit tirer une virgule entre 8 & 7, une autre entre 3 & 2, & une troifiéme entre 1 & 4 en cette maniére 54, 12, 37, 86. Il paroît affez que fi le nombre des chifres eft impair, la premiére tranche à la gauche ne contiendraqu'un feul caractére:ainfi file nombre propofé étoit 4123786, la premiére tranche à la gauche ne contiendroit que 4, la feconde 12, la troifiéme 37, la quatriéme 86.

Pour tirer la racine quarrée, nous nous fervirons de la formule a'+2ab+b2 qui eft le quarré de a+b; & afin que l'on entende comment elle peut fervir pour

faire l'extraction de la racine quarrée, nous mettrons ici les remarques fuivantes.

I.

198. La lettre a de la formule défigne pour chaque tranche qui fuit la premiére, le chifre ou les chifres de la racine que l'on a déja trouvés, & la lettre b répréfente celui que l'on cherche. Ainfi quand on opére fur la feconde tranche, a défigne le premier chifre de la racine, lequel vient de la premiere tranche, & b répréfente le fecond que l'on cherche. Si on opére fur la troifiéme tranche, a marque les deux premiers chifres de la racine que l'on a déja trouvés, & b exprime le troifiéme. Si on opére fur la quatrième tranche, a réprésente les trois premiers chifres de la racine déja trouvés, & b défigne le quatrième que l'on cherche, ainfi de fuite.

I I.

199. Comme l'extraction de la racine fe fait par la divifion, il y a un nombre qui doit fervir de divifeur: mais il n'est pas le même pour toutes les tranches. Il eft toujours défigné par 2a, qui eft la première partie de 2ab fecond terme de la formule. Or za fignifie le double des chifres qu'on a déja trouvés à la racine.

III.

200. Le premier terme a2 de la formule ne fert que pour la premiére tranche, & marque qu'il faut fouftraire de cette tranche le quarré du premier chifre de la racine. Les deux autres 2ab+bfervent pour chacune des autres tranches, & font connoître qu'il faut fouftraire de chacune deux produits qui font pour la feconde tranche, le double du premier chifre de la racine multiplié

par le fecond; plus le quarré de ce fecond chifre. Pour la troifiéme tranche ces deux produits font le double des deux premiers chifres de la racine multiplié par le troifieme, plus le quarré de ce troifiéme. Pour la quatriémo tranche les deux produits font le double des trois premiers termes de la racine multiplié par le quatrième,plus le quarré de ce quatrième. Ainfi de fuite, comme il eft marqué dans l'art. 194. Revenons préfentement à la prarique.

Après avoir partagé le nombre en tranches de deux chifres chacune, on peut tirer une ligne au-deffous & la couper par un crochet, comme dans la divifion. Ces préparations étant faites, on doit opérer fur la premiere tranche.

201. Il faut 1°. chercher le plus grand quarré contenu dans la premiére tranche à gauche: il ne peut être plus grand que celui de 9, parce que le quarré de 1 contient trois chifres. 2°. Prendre la racine de ce quarré, & l'écrire à la droite du nombre propofé. 3°. Soustraire de la premiére tranche le plus grand quarré qui y eft contenu, & écrire le refte au-deffous. Le quarré qu'il faut ôter de la premiére tranche eft défigné par a' de la formule.

EXEMPLE PREMIER.

Soit, par exemple, le nombre 209254 dont on cherche la racine quarrée. Après l'avoir partagé en tranches, 1°. je cherche quel eft le plus grand quarré contenu dans zo, qui eft la premiére tranche à gauche c'eft 16. 2°. J'en prends la racine 4,

& je l'écris à la droite du nombre propofé. 3°. Je foufurais le quarré 16 de la premiére tranche, & j'écris le refte 4 au-deffous. Ces trois opérations étant faites, il

faut appliquer les regles fuivantes fur la feconde tran che.

202. 1°. Abbaiffer cette feconde tranche à côté du refte de la premiére, & mettre un point fous le premier chifre de la tranche abbaifiée, pour marquer que ce chifre, joint avec le refte de la premiére tranche, eft le dividende: dans l'exemple propofé, j'abbaiffe la feconde tranche 92 à côté du 4 qui eft le refte de la premiére, & je mets un point fous le premier chifre 9, pour marquer que 49 eft le dividende.

203. 2°. Prendre pour divifeur le double de ce qui a déja été trouvé à la racine, & l'écrire fous cette racine. Dans notre exemple, ayant déja trouvé 4 à la racine, 8 fera le divifeur ; je l'écris donc fous 4. Ce divifeur 8, qui eft le double de 4, eft défigné par 2a, parce que a repréfente le chifre 4 que l'on a mis à la racine.

zab

204.3 Divifer le dividende par le divifeur, en obfervant que quoique le chifre éprouvé fait bon felon la divifion, il ne doit pas être mis pour cela à la racine, à moins qu'il ne foit bon auffi felon l'épreuve propre l'extraction de la racine quarrée. Or cette épreuve confifte à ajouter ensemble les produits marqués par +b, c'eft-à-dire, le produit du divifeur par le chifre éprouvé, & le quarré de ce chifre éprouvé : & fi la fom me qui vient de cette addition peut être ôtée de la feconde tranche jointe au refte de la premiére, c'eft une marque que le chifre éprouvé eft bon; auquel cas il fau dra l'écrire à côté de celui qu'on a déja trouvé à la racine: mais fi la fomme qui eft venue de l'addition ne peut être fouftraite de la feconde tranche jointe au refte de la premiére; alors il faudra diminuer le chifre éprouvé d'une unité, & recommencer l'épreuve avec le nouveau chifre ; & fi la fomme eft encore trop grande, on diminuera encore le chifre éprouvé d'une unité, jufqu'à co qu'on puiffe faire la fouftraction.

105. Il faut remarquer que quand on veut ajouter le