EXEMPLI IIL Soit encore le nombre 9048576 dont on veut tirer la racine quarrée. Il faut d'abord le partager en 4 tranches en commençant vers la droite la premiére ne contiendra qu'un feul caractére, fçavoir 9. On opérera enfui 9,04, 85,76 (3008 048576 6=za 6024 48064 600===24 512 te fur ce nombre, comme on a fait fur les autres, & on trouvera 1°. que le premier chifre de la racine eft 3. 2°. que lefecond chifre de la racine eft o, parce que le divifeur 6 eft plus grand que le divid. du fecond membre: ce fecond membre eft la feconde tranche 04, & le dividende eft o. 3°. Que le troifiéme chifre de la racine est encore zero, parce que le divifeur 60 eft plus grand que le dividende du troifiéme membre: ce troifiéme membre eft 485, & le dividende eft 48. 4°. Que le quatriéme chifre de la racine eft 8, à caufe qu'en opérant à l'ordinaire fur le dernier membre 48 576 & fur le dividende 4857, on trouve que le 8 eft bon. On peut abréger un peu cette méthode en fupprimant l'addition du quarré du chifre éprouvé avec le produit du divifeur par le chifre éprouvée. Pour cela il faut écrire ce chifre à la fuite du divifeur, & multiplier par le même chifre le diviseur ainfi augmenté, le produit fera égal à la fomme qu'on auroit trouvée par l'addition prefcrite dans l'article 204. Nous allons faire l'application de cet abbrégé au fecond exemple : le divifeur pour le fecond membre eft 10, & le chifre éprouvé eft 6: j'écris donc 6 à la fuite de 10; ce qui donne 106 : enfuite je multiplie 106 par 6 ; & je trouve le produit 636 qui peut être ôté du fecond membre 640 ; d'où je conclus que le 6 eft bon. Quant au troifiéme membre,le divifeur n2 eft plus grand que le dividende 46 ; ainsi il faut mettre un zero à la racine ; & il n'y a ni multiplication ni soustraction à faire. Enfin pour le quatrième membre, le divifeur eft 1120, & le chifre éprouvé eft 4, que j'écris à la fuite du divif. : enfuite je multiplie par 4 le divifeur augmenté 11204, le produit eft 44816 qui peut être retranché du 4me membre 46857 : ainfi le 4 eft bon. Il eft vifible que le produit qu'on trouve par-là eft néceffairement égal à la fomme prefcrite dans l'article 204: ainfi cet abbrégé ne change rien au fond de la méthode. 211. Pour faire la preuve de l'extraction de la racine quarrée, il faut chercher le quarré du nombre qu'on a trouvé á la racine, & y ajouter le reste de la derniere fouftraction. Ainfi dans le premier exemple, il faut éléver 457 au quarré, c'eft-à-dire, qu'il faut multiplier 457 par lui-même, & enfuite ajouter le reste 405 au quarré 208849: & comme la fomme est égale au nombre propofe 209254 ; c'est une marque que l'opération a été bien faite ; mais fi la fomme n'avoit point été égale au nombre propofé, c'auroit été une marque qu'on auroit fair quelque faute de calcul dans l'extraction de la racine. Lorfqu'il n'y a point de reste après la derniere fouftraction, il faut, afin que l'opération foit bonne, que le quarré du nombre qu'on a trouvé à la racine foit égal au nombre propofé. La raifon de cette pratique eft évidente;car puifqu'on cherche la racine, il faut, fi l'on a bien opéré, que le quarré du nombre qu'on a trouvé à la racine foit égal au nombre propofé, lorfqu'il n'y a point de reste après l'opération; mais s'il y a un refte, il eft clair que ce refte ajouté au quarré de la racine, doit faire une fomme égalean nombre propofé. Afin qu'on entende les raifons fur lefquelles la méthode de l'extraction de la racine quarrée eft fondée nous allons encore faire quelques remarques fur la com pofition du quarré d'un nombre. REMARQUES. I. 212. Le quarré d'une quantité complexe contient le quarré du premier terme; plus le double du premier terme multiplié par le fecond avec le quarré du fecond; plus le double des deux premiers termes multiplié par le troisième avec le quarré du troifiéme ; plus le double des trois premiers termes multiplié par le quatrième, avec le quarré du quatriéme; ainfi de fuite fi la tité complexe a plus de quatre termes (194). I I. quan 213. Tout nombre au-deffus de dix, peut être confi déré comme une quantité complexe compofée d'autant de termes, qu'il y a de caracteres dans le nombre; par exemple, 7654 eft une quantité complexe de quatre termes, puifque ce nombre eft égal à 7000 + 600+ 30+4. Par conféquent le quarré d'un nombre plus grand que ro, contient les produits énoncés dans la remarque précédente. Il y en a fept dans le quarré de 7654; fçavoir le quarré de 7 (on dit ici 7 & non pas 7000, parce que l'on ne prend que les chifres pofitifs); plus le double de 7 multiplié par 6, avec le quarré de 6; plus le double de 76 multiplié par 5 avec le quarré de 3; plus le double de 765 multiplié par 4, avec le ré de 4. quar 214. Si on fait attention aux deux premiers corollaires que nous avons déduits (58 & 59), après avoir parlé de la multiplication des nombres qui contiennent des zeros à la fin, on verra que fi on multiplie un nom. bre, par exemple, 7654, par lui-même, il y aura fix rangs dans le quarré total après le quarré de 7, cinq tangs après le double de 7 multiplié par 6, quatre rangs après le quarré de 6, trois rangs après le double de 76 multiplié par 5, deux rangs après le quarré de 5, un rang après le double de 765 multiplié par 4:enfin le quarré de 4 finira au dernier rang. : 58583716 quarré de 7654 215. Il eft encore clair par les deux mêmes corollaites (58 & 59) que le quarré d'un nombre doit avoir autant de tranches, que ce nombre contient de caractéres, ni plus ni moins par exemple, le quarré de 7654 contient quatre tranches; car le quarré de 7 doit avoit après lui le double des rangs qui fe trouvent après ce chifre dans le nombre 7654, & par conféquent le quar ré de 7 doit avoir trois tranches de deux rangs après lui: mais d'ailleurs le quarré de 7 fait encore une tranche; ainfi le quarré de 7654 doit avoir quatre tranches. Cela peut encore fe prouver de la maniere fuivante. 1o. Un nombre de quatre caractéres ne peut avoir moins de quatre tranches à fon quarré : car le plus petit nombre de quatre caractéres eft 1000. Or le quarré de 1000 eft compofé de quatre tranches, puifque pour multiplier 1000 par 1000, il faut ajouter les trois zeros du multiplicateur au multiplié. 2o. Un nombre de quatre caractéres ne peut avoir plus de quatre tranches à fon quarré: car 9999 eft le plus grand nombre de quatre caractéres. Or le quarré de 9999 ne peut avoir que quatre tranches: car 100000000, qui eft le quarré de 10000, eft le plus petit de tous les nombres de cinq tranches; & par conTéquent le quarré de 9999, qui eft moindre que celui de 10000, ne peut avoir que quatre tranches. Donc un nombre de quatre caractéres caractéres ne peut avoir plus de quatre tranches å fon quarré : d'ailleurs on vient de faire voir qu'il n'en peut avoir moins de quatre; ainfi un nombre de quatre chifres doit avoir précisément quatre tranches à fon quarré. On prouveta de la même maniere que le quarré de tout autre nombre a autant de tranches que le nombre a de chifres. En parlant de la racine quarrée nous fuppofons toujours que chaque tranche contient deux chifres, excepré la premiere à gauche, qui peut n'en contenir qu'un feul. 216. Il fuit de la troifiéme remarque, que dans le quarré total de 7654, les différens produits doivent fe trouver dans les rangs que nous allons marquer; 1o. le quarré de 7, dans le dernier rang de la premiere tranche; 2°. le double de 7 multiplié par 6 au premier rang de la feconde tranche ; 3°. le quarré de 6, au fecond rang de la même tranche ; 4°. le double de 76 multiplié par 5, au premier rang de la troifiéme tranche ; 5o. le quarré de, au fecond rang de la même tranche ; 6°.le double de 765 multiplié par 4, au premier rang de la quatriéme tranche, 7°. Enfin le quarré de 4, au fecond rang de la même trance. 217. Lorfqu'on dit que chacun de ces produits fe trouve au premier ou au fecond rang de quelqu'une des tranches, cela doit toujours s'entendre du dernier chifre de ces produits, comme il paroît par la manière dont les produits du quarré de 7654 ont été placés après la troifiéme remarque par exemple, le premier produit 49 n'eft pas tout entier au fecond rang de la premiére tranche, il n'y a que le dernier chifre 9. Pareillement, il n'y a que le dernier chifre 4 du fecond produit 84 qui ré ponde |