ponde au premier rang de la feconde tranche : & même quand on dit que les derniers chifres de ces produits fe trouvent à certains rangs ou y répondent, on n'entend pas que ces chifres y font en leur propre forme: par exemple, il n'y a point de 9 au fecond rang de la premiére tranche dans le quarré de 7654. De même il n'y a point de 4 au premier rang de la feconde tranche. Cela vient de ce qu'il fe trouve d'autres chifres qui répondent aux mêmes rangs, & que dans l'addition des produits de laquelle réfulte le quarré, il faut ajouter enfemble les chifres d'un même rang. Cela paroît par l'exemple de l'art. 214. 218. Il fuit encore de la troifiéme remarque, que dans le nombre 58583716, qui eft le quarré de 7654, il y a un rang de moins après le quarré de 6, qu'après le double de 7 multiplié par 6 ; qu'il y a auffi un rang de moins après le quarré des, qu'après le double de 76 multiplié par 5, & qu'enfin il n'y a plus de rang aprés le quarré de 45 au lieu qu'il y a encore un rang après le double de 765 multiplié par 4: en forte qu'il y a toujours un rang de moins après le quarré d'un chifre qu'après le double des caractères précédens multiplié par ce chifre. Tout ce qu'on vient de dire convient généralement aux nombres qui furpaffent dix. Dans la démonstration fuivante, nous fuppoferons qu'il n'y a plus de reste après la derniére fouftraction, & nous appellerons le nombre dont on tire la racine, le nombre propofé, & celui qu'on trouve à la racine fera nommé le nombre trouvé. Il s'agit donc de prouver, que le nombre trouvé en fuivant les regles prefcrites, eft la racine du nombre propofé, ou, ce qui eft la même chofe, que ce nombre propofé eft le quarré de celui qu'on a trouvé. DÉMONSTRATION DE L'EXTRACTION des Racines quarrées. 219. Afin que le nombre propofé foit le quarré de ces lui qu'on a trouvé, il fuffit que le premier contienne tous les produits qui compofent le quarré du fecond. Or le nombre propofé contient tous les produits qui forment le quarré du nombre trouvé. Car ces produits font (212) le quarré du premier chifre, plus le double du premier chifre multiplié par le fecond avec le quarré du fecond, &c. Or en fuivant les regles de la méthode, on eft affuré que le nombre propofé contient tous ces produits; puifque felon cette méthode, on retranche d'abord du premier membre, le quarré du premier chifre du nombre trouvé : 2°. On retranche du fecond membre le divifeur, c'eft-à-dire le double du per chifre multiplié par le fecond avec le quarré du second. 3°. On retranche du troifiéme membre le diviseur, c'est-à-dire, le double des deux premiers chifres multiplié par le troifiéme avec le quarté du troifiéme, &c. Donc le nombre propofé contient tous les produits qui compo fent le quarré du nombre trouvé ; ainfi le premier eft le quarré du fecond. 220. S'il y avoit un refte après la derniere fouftraction , ce feroit une marque que le nombre propofé ne feroit pas un quarré parfait, ainfi le nombre trouvé ne feroit pas la racine exacte du nombre propofé: mais ce feroit la racine du plus grand quarré contenu dans ce nombre; ainfi dans le premier exemple le nombre trouvé, fçavoir 457, n'eft pas la racine "exacte du nombre propofé 209254: mais 457 eft la racine de 208849, qui eft le plus grand quarré contenu dans 309254; car fi on prend 458 plus grand feulement d'une unité que 457, on trouvera que le quarré de la racine 458 eft plus grand que le nombre 209254. C'est une fuite de la mé thode de l'extraction, puifque fi le quarré de 458 étoit contenu dans 209254, on auroit pu mettre 8 à la place de 7, quand on a opéré fur le dernier membre. 221. Il reste encore à faire voir pourquoi à chaque membre on prend pour dividende le premier chifre de la tranche abbaiffée avec le refte de la fouftraction, & pour divifeur le double de ce qu'on a déja trouvé à la racine: ainfi au fecond membre du nombre 58583716, on doit prendre 95 pour dividende, & pour divifeur le double de 7. La raison de ces deux regles paroît affez par ce qui a été dit avant la démonstration de la méthode de l'extraction. Car, puifque le double de 7 multiplié par 6 fe trouve au premier rang de la feconde tranche ab→ baiffée (216), il s'enfuit que pour trouver 6, il faut divifer ce produit par le double de 7. 221 B. Il eft facile de voir préfentement pourquoi on partage en tranches de deux chifres chacune le nombre dont on veut extraire la racine quarrée. Cela paroît par les remarques qui précédent la démonftration, puifque felon les deux premieres (212 & 213) le quarré d'un nombre contient deux produits pour chaque chifre de ce nombre, fçavoir le double du produit des chifres précédens par le chifre dont il s'agit, plus le quarré de ce chifre, & que d'ailleurs fuivant la troifiéme remarque ces deux produits doivent occuper deux rangs qui fe fuivent. 222. Lorfqu'un nombre entier n'eft pas un quarré parfait, c'est-à-dire, qu'il n'y a point de nombre entier qui multiplié par lui-même donne un produit égal au nombre entier dont on cherche la racine, on peut bien approcher de plus en plus de la racine exacte de ce nom bre; mais on démontre qu'il n'eft pas poffible d'y arriver: dans ce cas on indique la racine du nombre propofé, en fe fervant du figne radical: par exemple, fi on a befoin de la racine quarrée de so, lequel hombre eft un quarré imparfait, on la marque en cette maniere so, ou fimplement Vso. Pareillement les racines quarrées de 18 & de 15 fe marquent ainfi,√18 &√15. Ĉes racines font appellées incommenfurables. 223. Si un quarré imparfait eft le produit d'un quarré parfait par un autre nombre, pour lors on exprime quelquefois la racine du quarré imparfait d'une autre maniere; par exemple, so eft un quarré imparfait; mais c'eft le produit de 25 par 2. Or 25 eft un quarré parfait. Cela pofé, puifque so eft égal à 25 multiplié par 2, il faut que la racine de que la racine de so foit égale à la racine de 25 multiplié par la racine de 2. Or la racine de 25 eft 5, & la racine de 2 eft V2;par conféquent la racine de so eft égale à 5 multiplié par V2; ce qui fe marque en cette maniere, so5XV 2,0u plutôt V50=5V2. Pareillement 18 étant égal au produit de 9 par 2,il s'enfuit que la racine de 18 est égale à la racine de 9 multipliée par la racine de 2 : mais 9 eft un quarré parfait dont 3 eft la racine ; par conféquent la racine de 18 peut être marquée en cette maniere, 3V2. Il n'en eft pas de même de la racine de 15, parce que 15 n'eft pas le produit d'un quarré parfait multiplié par un autre nombre: fi on veut donc fe fervir du figne radical pour exprimer la racine de 15, on ne peut la marquer qu'en cette maniere, VIS ou V15. De l'Extraction de la Racine quarrée des quantités littérales. 235. La méthode pour extraire la racine quarrée des quantités littérales, eft la même que celle qu'on a employée pour les nombres; excepté premiérement qu'il n'y a point de rang à garder dans les différens produits qu'on veut fouftraire, & qu'il ne faut pas divifer la quantité littérale en tranches comme on fait les nombres : & en fecond lieu, qu'après chaque fouftraction il faut faire la réduction des quantités femblables. Il fuffira de donner un exemple pour faire entendre l'application de la méthode fur les quantités algébriques. Soit la quantité 9cc———12cdx+4d2x2+24cfy 16dfxy+16f y' dont il faut extraie la racine quarrée. gcc — 12cdx — 4d3 x3 → 24cfy — 16dfxy → 16ƒa ya· -2d.x + 457 - 24cfy + 16dfxy — 16ƒay2 66 -4dx26 Après avoir tiré une ligne au-deffous & une autre à droite de la quantité propofée, j'opére fur le premier terme 9cc, qui eft le premier membre: ainfi je prends la racine quarrée de 9cc, c'ett 3c, & j'écris cette racine à droite de la quantité propofée : enfuite j'éléve 3c au quarré, il vient+9cc, qu'il faut fouftraire en l'écrivant au-deffous du premier terme avec le figne oppofé: enfin je fais la réduction, & j'écris un o fous les quantités qui fe détruifent. - J'opére enfuite comme fur le fecond membre d'un nombre dont on tire la racine; ainfi je prends pour dividende le fecond terme 12cdx, & pour divifeur le double de ce que j'ai trouvé à la racine; ce divifeur eft donc 6c; c'eft pourquoi je divife12cdx par 6c, le quotient eft 2dx que je pofe à la fuite de 3c. Après cela je multiplie le divifeur 6c par- 2dx, & j'ajoute le quarré de 2dx, la fomme fera- 1 2cdx + 4d2x2 laquelle doit être ôtee de la quantité propofée ; je fais donc la fouftraction en écrivant la fomme avec des figgnes contraires: enfuite je fais la réduction, & il ne refte plus dans la quantité propofée, que ces trois termes +24cfy 16dfxy + 16ƒ2 y2, fur lefquels j'opére de la même maniere que fur les deux termes précédens ; je prens donc 24cfy pour dividende, & pour divifeur 6e 4dx, c'eft le double de ce qui eft à la racine je di vife enfuite 24cfy par 66 premier terme du divifeur, & |