j'écris le quotient +4fy à la racine : après cela je multiplie le divifeur entier par 4fy, le produit eft 24cfy 16dfxy auquel j'ajoute 16f quarré du terme que je viens de mettre à la racine,la fomme eft 24cfy-16dfxy

16fy que j'écris fous les trois derniers termes de la quantité propofée, avec des fignes contraires à ceux de cette fomme: enfin je fais la réduction, & il ne reste rien; c'est pourquoi l'opération eft achevée. La racine de la quantité propofée eft donc 36 2 dx +4fy. Pour s'affurer fi on a bien opéré, on fait la la même maniere que pour les nombres.

preuve

de

236. Remarquez qu'il n'y a point d'épreuve à faire dans l'extraction de la racine des quantités littérales, non plus que dans la divifion de ces quantités.

que

237. Remarquez encore que le terme qui fert de premier membre, doit être un quarré parfait; de forte fi le premier terme de la quantité n'eft pas un quarré, il en faut choisir un autre qui foit quarré, fur lequel on commencera l'opération par exemple, fi le premier terme de la quantité propofée avoit été 12cdx, il auroit fallu prendre un autre terme pour commençer l'opération.

ISI

LIVRE SECOND, CONTENANT UN TRAITÉ

DES RAISONS, DES PROPORTIONS &des Fractions.

L n'y a point de partie dans les Mathématiques qui foit fi utile & fi néceffaire, que celle qui traite des proportions: on les emploie fouvent dans les démonftrations, & elles font le fondement de la plupart des opérations que l'on fait, telles que font les Regles de trois, de compagnie, d'alliage, de fauffes pofitions, &c. C'eft par le moyen des proportions, que l'on découvre la folution d'une infinité de queftions & de problêmes que l'on ne pourroit réfoudre fans leur fecours : c'eft pourquoi ceux qui ont deffein de faire quelque progrès dans la Science des Mathématiques, doivent s'appliquer d'une maniere particuliére à cette partie, qui eft la clef des autres.

ART. 1. Une Raifon, comme on prend ici ce terme eft le rapport ou la comparaifon de deux grandeurs, foit

nombres, étendues, vîteffes, temps, &c. Or on peur comparer deux grandeurs en deux manieres différentes, ou en confidérant de combien l'une furpaffe l'autre, ou en examinant comment l'une contient l'autre. La premiére maniere de confidérer deux grandeurs, eft appellée Raifon arithmétique, & la feconde, Raifon géométrique.

2. La raifon arithmétique eft donc une comparaifon de deux grandeurs, dans laquelle on confidére de combien l'une furpaffe ou eft furpaffée par l'autre : par exem ple, fi je confidére que 6 furpaffe 2 de 4 ; cette comparaifon des nombres 6 & 2, eft une raifon arithmétique,

3. La raifon géométrique eft une comparaifon de deux grandeurs, dans laquelle on confidére la maniere dont l'une contient l'autre, ou, ce qui revient au même la raifon géométrique eft la maniere dont une grandeur en contient une autre : par exemple, fi je confidére que 6 contient 2 trois fois, cette comparaison est une raifon ou rapport géométrique,

4. Remarquez qu'une grandeur en peut contenir une autre ou en entier ou en partie : par exemple,6 contient 2 entiérement trois fois: mais 5 ne contient 20 qu'en S partie ; c'eft-à-dire, que 5 contient feulement une partie de 20, fçavoir le quart; de même 12 contient en partie 18, parce qu'il en renferme deux tiers.

5. Il y a deux termes dans toute raifon, foit arithmétique, foit géométrique, l'antécédent & le conféquent ; l'antécédent eft celui qui eft comparé à l'autre ; le conféquent eft celui auquel l'antécédent eft comparé. L'antécédent est toujours le premier terme de la raifon, & le conféquent eft le fecond : dans l'exemple propofé 6 eft l'antécédent, & 2 eft le conféquent.

6. C'est par la fouftraction que l'on découvre de combien une grandeur furpaffe l'autre ; c'eft pourquoi on connoît la valeur d'une raifon arithmétique, en ôtant le conféquent de l'antécédent, ou l'antécédent du confé

quent par exemple, on connoît la valeur de la raifon arithmétique de 6 à 2, en ôtant 2 de 6: mais on verra dans la fuite que la valeur de la raison géométrique fe connoît en divifant toujours l'antécédent par le conféquent.

Quand on parle de raison, fans déterminer l'arithmétique ou la géométrique, il faut toujours entendre la géométrique; c'eft la même chofe quand on fe fert du terme de rapport.

:

7. Plufieurs Auteurs définiffent la raifon géométrique en difant que c'eft la maniere dont une grandeur, c'eft l'antécédent, en contient une autre, fçavoir le conféquent, on y eft contenu; ils ajoutent ces termes ou y eft contenu, pour exprimer le cas dans lequel l'antécédent eft plus petit que le conféquent mais cette définition n'est pas exacte. Car fi dans ce cas la raison étoit la maniere dont l'antécédent eft contenu dans fon conféq plus il y feroit contenu, plus la raifon feroit grande, puifqu'alors cette maniere feroit plus grande. Or cela n'eft pas vrai: car, comme nous le verrons bien-tôt dans le quatrième principe, la raifon de 6 à 12 eft plus grande que celle de 4 à 12, quoique l'antécédent de cette derniere foit contenu plus de fois dans fon conféquent que celui de la premiere ne l'eft dans le fien.

On peut comparer une raifon avec une autre, pour voir fi elle est égale, ou plus grande ou plus petite. Nous allons donner quelques définitions, & enfuite nous expoferons plufieurs principes qui ferviront beaucoup pour cette comparaifon, & pour l'intelligence de ce que

nous dirons dans la fuite.

Il faut diftinguer deux fortes de parties d'un tout; fçavoir, les parties aliquotes & les parties aliquantes.

8. Les parties aliquotes font celles qui répétées un certain nombre de fois, mefurent leur tout exactement, c'est-à dire, fans refte : prr exemple, 3 eft partie aliquote de 12, parce qu'étant répété quatre fois, il mesure

exactement 12; ou, ce qui eft la même chofe, il eft contenu quatre fois exactement dans 12: de même 6 est partie aliquote de 30, parce qu'il eft contenu cinq fois fans refte dans 30.

9. Les parties aliquotes font appellées fou-multiples & le tout eft appellé multiple par rapport aux parties aliquotes: ainfi 6 eft fou-multiple de 30, & 30 eft multiple de 6. Pareillement 3 eft fou-multiple de 12, & 12 eft multiple de 3. En général quand une grandeur en contient exactement une autre, la premiére eft multiple, & la feconde fou-multiple.

10. Les parties aliquantes font celles qui ne font pas contenues exactement dans leur tout; par exemple, s eft partie aliquante de 12, parce qu'il y eft contenu deux fois avec un refte qui eft 2. 8 eft auffi partie aliquante de 30, parce qu'il y eft contenu trois fois avec un refte qui eft 6.

11. Lorsque l'on compare les parties, foit aliquotes foit aliquantes, d'un tout, avec celles d'un autre tour, il y en a que l'on appelle femblables ou pareilles. Les parties femblables ou pareilles, font celles qui font contenues chacune de la raême maniére dans leur tout: ainfi 5 & 7 font des parties femblables de 15 & de 21, parce que s eft contenu trois fois dans 15, comme 7 eft contenu trois fois dans 21. De même 4 & 6 font des parties femblables de 10 & de 15, parce que 4 eft autant contenu dans 10, que 6 dans 15; fçavoir deux fois & demi. 3 & 6 font auffi des parties femblables de 14 & de 28, parce que 3 eft autant contenu dans 14, que 6 dans 28, fçavoir, quatre fois & deux tiers,

PRINCIPE I.

12. Si deux raifons font égales chacune à une troifiême, elles font égales entr'elles. De même, fi de plufieurs raifons, la premiére eft égale à la feconde, la feconde à

1