tiennent pas exactement leur conféquent, pourvu que ces antécédens contiennent exactement & le même nombre de fois les aliquotes pareilles de leur conféquent. Il peut arriver que deux raifons foient égales, quoique ni les conféquens entiers, ni les aliquotes pareilles de ces conféquens ne foient pas contenus exactement ou fans refte dans les antécédens: c'est ce que nous * allons voir dans le troifiéme cas.

23. 3°. Enfin deux raifons font égales: lorfque les antécédens ne contenant pas exactement les conféquens ni leurs aliquotes pareilles, ils contiennent cependant ces aliquotes le même nombre de fois avec des reftes qui ont entr'eux une raifon égale à celle des aliquotes pa reilles par exemple,, parce que les antécédens 81 & 27 contiennent chacun deux fois 30 & 10, qui font les aliquotes pareilles des conféquens, & d'ailleurs les reftes des antécédens, fçavoir 2 1 & 7 ont entre eux une raison égale à celle des aliquotes pareilles 30 &

10.

A la place de 30 & de 10, on pourroit prendre d'autres aliquotes pareilles plus petites comme is & s qui font contenues cinq fois chacune dans leur antécédent avec les reftes 6 & 2, dont la raison est égale à celle des aliquotes pareilles 15 & 5.

Si au lieu de prendre les aliquotes pareilles 30 & 10, ou is & 5, comme nous avons fait, on choififfoit ; pour aliquote du premier conféquent 120, & 1 pour aliquote pareille de l'autre conféquent 40, ces deux aliquotes 3 & 1 feroient contenues chacune vingt-fept fois fans refte dans leur antécédent : ce qui reviendroit au fecond cas.

I

24. Mais on démontre en Géométrie qu'il y a des grandeurs ; fçavoir, des lignes, des furfaces, &c. qui font telles qu'aucune aliquote de l'une ne peut être aliquote de l'autre ; en forte que fi l'une eft antécédent & l'autre conféquent d'une raison, il fera impoffible de

trouver

ouver une aliquote du conféquent, fi petite qu'elle foit, qui puiffe être contenue fans refte dans l'antécédent: ces fortes de grandeurs s'appellent incommenfura-, Bles; c'eft-à-dire, qu'elles n'ont point de mefure com. mune, & la raifon qui fe trouve entr'elles eft nommée fourde, ou rapport incommenfurable, on dit auffi que ces grandeurs ne font pas entr'elles comme nombre à nombre, parce qu'il n'y a point de nombres qui n'aient au moins l'unité pour mefure commune, fi ce font des nombres entiers ; & fi ces nombres font des fractions, ils auront toujours une mesure commune ; fçavoir,quelque partie de l'unité.

Nons ne nous arrêterons pas à démontrer l'égalité des raifons dans ce troifiéme cas, parce que cela n'eft pas néceffaire pour la fuite.

25. Une raifon géométrique n'étant que la maniere dont l'antécédent contient fon conféquent, il eft clair qu'on peut connoître la valeur d'une raison en divifant l'antécédent par le conféquent, puisque c'est en divifant une grandeur par une autre, que l'on connoît combien la premiére contient la feconde, ou, ce qui eft la même chofe, combien la feconde eft contenue dans la premiére : par exemple, pour fçavoir combien 30 contients, il faut divifer 30 par 5, & le quotient 6 marque que 30 contient 5 fix fois; ainfi la valeur de la raifon eft le quotient 6 : ce que l'on marque en cette maniere, 6. On peut donc dire en général que la valeur d'une raifon en le quotient de l'antécédent divifé par le conféquent. On appelle ce quotient expofant parce qu'il expofe ou fait connoître la valeur de la raifon. L'expofant marque donc combien de fois l'antécédent contient fon conféquent.

26. Il fuit de-là que la raifon de 30 à 5 eft fort différente de celle de fà 30. Car on vient de dire que la va leur de la raifon de 30 à 5 eft exprimée par 6: au lieu que la valeur de la raifon de 5 à 30 eft la fraction qui

I. Partie.

1

marque le quotient des divifé par 30, puifques ne contient que la fixième partie de 30. Ainfi cette raifon de 5 à 30 eft 36 fois plus petite que celle de 30 à 5, parce que le quotient eft feulement la trente-fixiéme partie de l'autre quotient 6.

27. Il fuit auffi que deux raifons font égales, lorfque les expofans ou les quotiens des antécédens divifés par les conféquens font égaux: & réciproquement, les expofans ou quotiens font égaux lorfque les raifons font égales.

28. Il arrive fort fouvent qu'on ne peut faire exactement la divifion de l'antécédent par le conféquent, foit parce que ce conféquent eft plus grand que l'antécédent foit parce qu'il n'y eft pas contenu fans refte: pour lors le quotient ou expofant peut être marqué par quelque lettre que l'on fuppofe repréfenter la valeur de la raifon par exemple, la valeur de la raifon ne peut être exprimée par un nombre entier qui foir le quotient de Pantécédent divifé par le conféquent. De même la raifon ne peut être exprimée par un nombre entier, par

ce que 9 n'est pas contenu fans refte dans 20: cependant on peut fuppofer dans l'un & l'autre exemple que la raifon eft exprimée par une lettre qui défigne le quotient; ainfi on peut fuppofer que e, & que 2=f. que, En général la raifone, en fuppofant que la lettre e repréfente le quotient de 4 divifé par b.

b

28 B. Nous avons prouvé (Liv. 1. art. 163) que le produit du quotient multiplié par le divifeur est égal au dividende: ainfi e étant fuppofé le quotient de a divifé par b, le produit be eft égal à l'antécédent a qui eft le dividende ; par conféquent fi e, on peut en conclure que abe; de même fif, il s'enfuit que df.

DES PROPORTIONS.

29. Deux raifons égales forment une proportion qui n'eft autre chofe que l'égalité de deux raifons, ou la comparaifon de deux raifons égales : & comme il y a deux fortes de raifons, il y a auffi deux fortes de propor tions, la géométrique & l'arithmétique.

30. La proportion géométrique eft une comparaifon de deux raifons géométriques égales par exemple, la raifon géométrique de 15 à 5 étant égale à celle de 21 à7, ces deux raifons forment une proportion géométrique que l'on marque fouvent comme nous avons dit,

& plus ordinairement, en mettant quatre points entre les deux raifons, & un point entre l'antécédent & le conféquent de chacune en cette maniere, 15.5:21.7. En général s'il y a proport. entre les quatre grandeurs a, b, c & d, on la marque ainfi, a.b::c. d, ou bien, . Lorsqu'il s'agit d'énoncer une proportion comme la prémiére qu'on a apportée pour exemple, on dit la raifon de 15 à 5 eft égale à celle de 21 à 7, ou bien, 15 eft à 5 comme 21 à 7. On dit encore : 15 & 5 font entr'eux comme 21 & 7, & quelquefois 15, 5, 21 & 7 font proportionnels.

31. La proportion arithmétique eft une comparaifon de deux raifons arithmétiques égales: par exemple, les raisons arithmétiques de 5 à 3 & de 8 à 6 étant egales, elles forment une proportion arithmétique qui fe marque en cette maniere, 5.3:8.6, en mettant feulement deux points au lieu de quatre entre les raifons.

32. Pour connoître fi deux raifons arithmétiques, telles que celle de 5 à 3 & de 8 à 6 font égales, il faut fe fouvenir que la raifon arithmérique n'eft que la maniere dont une grandeur furpaffe l'autre, ou autrement l'excès de l'une fur l'autre ; d'où il fuit, que les raifons arithmétiques font égales, quand les antécédens furpaffeng

:

également les conféquens, ou lorfque les conféquens furpaffent également les antécédens dans l'exemple propofé, les deux antécédens 5 & 8 furpaffant également leurs conféquens 3 & 6, fçavoir de 2, les deux raifons arithmétiques de 5 à 3, & de 8 à 6 font égales.

Voici un exemple de la proportion arithmétique en lettres: fi a furpaffe autant b que c furpaffe d, on aura la proportion arithmétique a.bc.d. On énonce la proportion arithmétique comme la géométrique.

33. Il n'y a point de grandeurs, foit nombres, étendues, mouvemens, viteffes, &c. entre lesquelles il n'y ait une raifon géométrique & une raifon arithmétique: par exemple, entre 12 & 3 il y a une raifon géométrique que l'on exprimeroit par 4, parce que l'antécédent 12 contient 4 fois le conféquent 3; il y a auffi entre les mêmes nombres 12 & 3 une raifon arithmétique que l'on marqueroit par 9, parce que l'antécédent furpaffe le conféquent de 9: ce qui fait voir qu'il y a bien de la différence entre la raifon géométrique & l'arithmétique; c'eft pourquoi quatre grandeurs peuvent être en proportion géométrique, quoiqu'elles ne foient pas en proportion arithmétique : par exemple, il y a une proportion géométrique entre ces quatre nombres, 12, 3, 20, 5: mais il n'y a point de proportion arithmétique, parce que 12 ne furpaffe pas autant 3, que 20 furpasse 5: il faudroit mettre 1 1 à la place de 5, & on auroit 12. 3:20.11; c'est une proportion arithmétique, parce 12 furpaffe autant 3, que 20 furpaffe 11.

34. Dans une proportion, foit géométrique, foit arithmétique, il y a quatre termes; fçavoir, l'antécédent & le conféquent de la premiére & de la feconde raifon : par exemple, dans la proportion, 4.b:: c.d, a & b font l'antécédent & le conféquent de la premiére raifon ; & d font l'antécédent & le conféquent de la feconde raifon.

35. Le premier & le dernier terme s'appellent les