extrêmes, le fecond & le troifiéme les moyens dans notre exemple, a & d font les extrêmes, b & font les

moyens.

36. Quelquefois le même terme eft conféquent de la premiére raison, & antécédent de la feconde; on l'appelle moyen proportionnel: comme dans cette proportion géométrique, s. 10:: 10. 20; ou bien dans cette proportion arithmétique, 5. 10:10. 15; dans l'une & l'autre 10 eft moyen proportionnel, & la proportion eft appellée continue: on la marque fouvent en cette forte : 5.10.20, pour la proportion géométrique, & de cette maniere, 5.10.15, pour la proportion arithmétique.

37. Lorfqu'il y a plus de trois termes dans l'une ou l'autre proportion continue, on la nomme progression: voici une progreffion géométrique, 5.10.20.40. 80.160, &c. & voici une progreffion arithmétique. +5.10.15.20.25. 30, &c. Une progreffion eft donc une fuite de raifons égales, dont chacun des termes, excepté le premier & le dernier, eft conféquent d'une raifon & antécédent de la fuivante : nous difons, excepté le premier & le dernier terme : car il eft clair que premier n'eft qu'antécédent de la première raifon, & que le dernier n'eft que conféquent de la derniere. Pour énoncer la premiére progreffion, on dit : 5 eft à 10 comme 10 eft à 20, comme 20 eft à 40, comme 40 eft à 80, comme So eft à 160, &c. La feconde progreffion, qui eft l'arithmétique, s'énonce de la même maniere, en exprimant les termes, 5, 10, 15, 20, 25, 30, &c. à la place de ceux de la progreffion géométrique.

le

38. Il paroît par ce qui a été dit, que fi les deux premiers termes d'une proportion géométrique font égaux, les deux derniers font auffi égaux entr'eux. Pareillement fi les antécédens font égaux, les conféquens font auffi égaux entr'eux:& réciproquement fi les conféquens font égaux, il faut que les antécédens le foient auffi: par

xemple, fi dans la proportion 4. b::c.d, les deux ter mes a & b font égaux, les deux autres c & d font auffi égaux entr'eux ; mais il n'eft pas néceffaire qu'ils foient égaux aux deux premiers, Pareillement fi les antécédens a & c font égaux, les conféquens b & d font encore égaux ; & fi les conféquens font égaux, les antécédens le font auffi. Tout cela eft une fuite de la notion de la proportion géométrique:car afin que deux raifons foient égales, il faut que chaque antécédent contienne fon conféquent de la même maniere. Or cela pofé, tout ce que l'on vient de dire eft vrai.

39. De ce que chaque antécédent d'une proportion géométrique doit contenir fon conféquent de la même maniere, il fuit encore que fi un des antécédens eft plus grand que fon conféquent, l'autre antécédent doit être auffi plus grand que fon conféquent. Et fi un des antécédens eft moindre que fon conféquent, l'autre fera pareillement moindre que le fien. Ces deux derniers articles peuvent auffi s'appliquer à la proportion arithméti

que.

Nous avons averti que quand on parloit des raifons fans fpécifier la géométrique ou l'arithmétique, il falloit entendre la géométrique: on doit de même entendre la proportion géométrique quand on parle de proportion, moins qu'on ne fpécifie l'arithmétique. Nous allons traiter de la proportion géométrique, & enfuite nous dirons quelque chofe de la proportion arithmétique.

La propriété fondamentale de la proportion géométrique, eft l'égalité du produit des extrêmes à celui des moyens. Il n'y a point de propofition dans toutes les Mathématiques d'un ufage auffi étendu ; nous allons en faire le Théorême fuivant.

THEORÊME I. ET FONDAMENTAL,

40. Dans toute proportion géométrique, le produit des extrêmes eft égal au produit des moyens.

Soit la proportion 8:4:: 6.3, dont les deux extrê mes font 8 & 3, & les deux moyens 4 & 6 ; il faut prou ver que le produit de 8 par 3 eft égal au produit de 4 par 6.

DEMONSTRATION.

Si on multiplie 8 & 4 par 3, le produit de 4 pár 3 fera la moitié du produit de 8 par 3, puifque 4 eft la moitie de 8 : mais fi au lieu de multiplier 4 par 3 on le multiplioit par un nombre double de 3, le produit qui en viendroit feroit double du produit de 4 par 3, & par conféquent égal au produit de 8 par 3. Or le fecond moyen 6 est nécessairement le double de 3, parce que le premier antécédent 8 étant le double de fon conféquent 4, il faut auffi que le fecond antécédent 6 foit le double de fon conféquent 3; autrement il n'y auroit pas de proportion: donc le produit de 4 par 6 eft égal au produit de 8 par 3, c'eft-à-dire, què le produit des moyens eft égal au produit des extrêmes. Ce qu'il fall loit démontrer.

Il eft évident que la même démonstration peut s'ap pliquer à toute autre proportion, en changeant feulement les termes de moitié & de double, lorfque cela eft néceffaire; fi, par exemple, il s'agiffoit d'une proportion dont les antécédens fuffent trois fois plus grands que leurs conféquens, comme dans celle-ci, 15.5:3 12.4, il faudroit mettre dans la démonftration tiers à la place de moitié, & triple à la place de doublé : ainfi des autres proportions.

Ce raifonnement fait entendre la raifon pourquoi le produit des extrêmes eft égal au produit des moyens : on appelle ces fortes de démonftrations métaphyfiques: nous allons donner une autre démonftration par lettres

AUTRE DEMONSTRATION.

Soit la proportion a.b:: c.d, ou bien, la

le peut représenter toutes les autres, à caufe des lettres qui peuvent défigner toutes les grandeurs poffibles. Il faut démontrer que ad produit des extrêmes, eft égal à be produit des moyens.

Si on multiplie les deux termes de la premiére raifon qui font a & b, par d conféquent de la feconde, les produits ad & bd qui viendront de cette multiplication, auront entr'eux une raifon égale à celle des racines a & b (18); ainfi on aura la proportion ad: de même,

bd

fi on multiplie les deux termes & d de la feconde raifon par b conféquent de la premiére, les produits be & bd feront encore entr'eux comme les racines c &d, ou, ce qui eft la même chofe, les racines & d auront entr'elles une raison égale à celle des produits bc & bd, on aura donc cette feconde proportion

bc

bd

id

premiére proport.

C

bc

feconde proport.

d

bd

qui font ad

-3
bd

b'a bd

Ces deux droportions contiennent quatre raifons 4. La premiére de ces raifons eft égale à la feconde par la premiére proportion, la feconde eft égale à la troifiéme par l'hypothéfe, & la troifiéme eft égale à la quatrième par la feconde proportion: d'où il fuit que la premiére ad & la quatriénie font égales

bd

bd

(12). Or ces deux raifons égales ont le même conféquent; ainfi les deux antécédens ad & bc font égaux (14), puifqu'ils ont un même rapport à une troifiéme grandeur, fçavoir, au conféqueut bd ; donc ad—be, c'est-à-dire, que le produit des extrêmes eft égal à celui des moyens. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE.

41. Dans une proportion continue, le produit des extrêmes eft égal au quarré de la moyenne proportionnelle. Soir la proportion continue, a. b::b.c; je dis que ac—bb ou bbac. C'est une fuite évidente du précédent Théorême; car, puifque le quarré de la moyenne proportionnelle eft le produit des moyens, il doit par conféquent être égal au produit des extrêmes.

Nous venons de faire voir que quand quatre grandeurs font proportionnelles, le produit des extrêmes eft égal au produit des moyens, on peut auffi démontrer la propofition inverfe ou réciproque; c'est ce que nous allons faire dans le Théorème fuivant.

THEORÊME II.

42. Lorfque le produit des extrêmes eft égal au produit des moyens, les quatre grandeurs font proportionnelles. Soient les quatre nombres 8,4,6,3 dont le produit des des extrêmes, 8x3, foit égal au produit des moyens 4X6: il faut prouver que 8.4::6.3.

DEMONSTRATION.

Le premier multiplicande 8 étant double du fecond multiplicande 4, il faut que le multiplicateur de 4 foit double du multiplicateur de 8 : autrement les produits ne feroient pas égaux, ce qui eft contre l'hypothèse, par conféquent le premier multiplicande eft au fecond, comme le fecond multiplicateur eft au premier, ou, ce qui eft la même chofe, 8.4::6.3. Ce qu'il falloit démontrer.

On démontrera la même chofe toutes les fois que deux produits feront égaux : car pour lors fi le premier