multiplicande eft le triple du fecond, le fecond multiplicateur fera le triple du premier ; fi le premier multiplicande eft cent fois plus grand que le fecond, le second multiplicateur fera cent fois plus grand que le premier, &c. On entend ici par fecond multiplicateur, celui par lequel on multiplie le second multiplicande.

AUTRE DÉMONSTRATION,

Soient les quatre grandeurs a, b, c, d, dont le produit des extrêmes qui eft ad foit égal à be produit des moyens ; il faut prouver qu'il s'enfuit que

.

En multipliant les deux premiéres grandeurs a & b par la quatriéme d, les produits ad & bd qui viennent de la multiplication, font en même raifon que les racines a & b (18), ou, ce qui eft la même chofe, les racines & bont entr'elles une raison égale à celle des produits ad & bd ; ce qui donne la proportion. De même en multipliant les deux grandeurs c & d par b, les produits bc & bd font encore en même raifon que les racines & d. On a donc cette feconde proportion,

Ces deux proportions contiennent quatre raifons, qui font,,, . La premiére de ces raifons est égale à la feconde par la premiére proportion; la feconde eft égale à la troifiéme, parce que les deux antécédens ad & be étant égaux par l'hypothese, ils ont même rapport à une troifiéme grandeur telle que bd (13): enfin

la troifiéme raison est égale à la quatriéme - par la feconde proportion ; d'où il fuit que la premiére raifon ¿est égale à la quatriéme (12), c'est-à-dire,que a. b: : .d. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I

42 B. Si on a trois grandeurs, comme a, b, c, qui foient telles que le produit ac des extrêmes foit égal au quarré bb de la feconde b, cette feconde fera moyenne proportion. entre a & 6, en forte qu'on aura,.b::b.c: c'eft une fuite évidente du Théorême, puifque le produit des extrêmes eft fuppofé égal à celui des moyens.

42 C. Il paroît par ce Corollaire, que fi on veut avoir une moyenne proportionnelle entre deux grandeurs, il n'y a qu'à tirer la racine quarrée du produit de ces deux grandeurs : car ce produit eft égal au quarré dont la ra→ cine eft moyenne proportionnelle entre les deux grandeurs. Si, par exemple, on a les deux nombres 84 & 362, entre lefquels on veuille trouver un moyen proportionnel, il faudra multiplier 362 par 84, & tirer la racine quarrée du produit 30408; on trouvera que c'est un peu plus de 174. Cette racine eft donc le moyen proportionnel cherché. Si on ne veut que défigner la raci-ne, ou qu'on ne puiffe la tirer, on fe fert du figne radical: ainfi ac eft moyen proportionnel entre 4 &

43. Toutes les fois que le produit de deux grandeurs eft égal au produit de deux autres, on peut toujours faire une proportion des quatre grandeurs qui compofent ces deux produits, en prenant pour extrêmes les deux racines d'un produit, & pour moyens les deux racines de l'autre produit: par exemple, fi adbe on en peut

faire la proportion, a.b::c.d, en prenant pour extrêmes les racines 4 & d du premier produit, & pour moyens les racines b & c du fecond. Il eft clair par le fecond Théorême que cette proportion a.b::c. d eft vraie, puifque l'on fuppofe que le produit des extrêmes eft égal au produit des moyens. De même fi abcdfg, on en peut tirer la proportion a.d::fg. bc. Dans ce dernier exemple, quoique chacun des produits égaux abc & dfg foit compofé de trois racines, on le regarde comme n'en ayant que deux ; fçavoir, a & bc pour le premier produit, & d & fg pour le fecond, confidérant be comme une feule racine dans abc, & fg comme une feule racine dans dfg. De cette même égalité abcdfg on auroit pû tirer cette autre proportion, ab.df::g.c. En un mot, deux produits étant égaux, on peut toujours conclure que les deux racines qui compofent le premier, peuvent être les extrêmes d'une proportion dont les deux racines qui compofent l'autre produit, foient les moyens, telles que foient les deux facines qui compofent l'un & l'autre produit.

46. On voit par-là que pour connoître fi quatre grandeurs font proportionnelles, il n'y a qu'à chercher fi le produit des extrêmes eft égal à celui des moyens.

49. Les deux racines d'un produit font dites réciproques aux deux racines d'une autre produit égal. En général deux grandeurs font dites réciproques à deux autres, lorfque les deux premiéres font les extrêmes d'une proportion dont les deux autres font les moyennes par exemple, a &d font réciproques à b & à c, fia.b:: c. d.

so. On fe fert du terme réciproquement dans une fignification différente: on dit que deux grandeurs font entre elles réciproquement comme deux autres, ou qu'elles font réciproquement proportionnelles à deux autres, lorfque, pour en faire une proportion, il faut renverfer l'ordre des deux derniéres ou des deux premiéres; ainfi quand on divife un nombre par deux divifeurs, les

quotiens font entre eux non pas comme les divifeurs, ce qui voudroit dire que le premier divifeur eft au fecond, comme le premier quotient eft au fecond:mais ces quotiens font entre eux réciproquement comme les divifeurs, c'eft-à-dire, que le divifeur de la premiére divi. fion eft au divifeur de la feconde, comme le quotient de la feconde divifion eft au quotient de la premiére : par exemple, fi on divife 40 par 10, & enfuite par sle premier quotient fera 4,& le fecond 8.Or 10.5 ::8.4.

La raifon qui eft entre les divifeurs eft donc égale à celle qui eft entre les quotiens pris dans un ordre renverfé; c'est-à-dire que fi le divifeur de la premiére divifion eft l'antécédent d'une raison, il faut que le quotient de la feconde divifion foit l'antécédent de l'autre ; raifon; c'eft ce que l'on veut exprimêr quand on dit les quotiens font entre eux réciproquement comme les divifeurs, ou, que les divifeurs font entre eux réciproquement comme les quotiens.

que

1. A la place du terme réciproquement, on fe fert quelquefois de ceux-ci, en raison réciproque, qui ont le même fens ; ainfi dans notre exemple, on peut dire que les quotiens font en raifon réciproque des diviseurs. On dit auffi quelquefois en raifon inverfe, & encore en raison indirecte, ce qui fignifie précisément la même chose qu'en raifon réciproque.

52. Remarquez que dans l'exemple propofé les deux termes qui viennent de la premiére divifion, c'eft-à-dire, le divifeur & le quotient font les extrêmes de la proportion, & les deux termes de la feconde font les moyens; c'eft pourquoi on peut dire que le divifeur & le quotient de la premiére divifion font réciproques au divifeur & au quotient de la feconde ; mais on ne doit pas dire que le divifeur & le quotient d'une division, font entr'eux réciproquement comme le divifeur & le quotient de l'autre divifion : ce qui fignifieroit que le premier divifeur eft au premier quotient, comme le fecond quotient eft au fecond divifeur.

On peut appliquer ces notions & ces remarques auf maffes & aux vitelles de deux corps qui ont des mouvemens égaux : car dans ce cas d'égalité de mouvemens, les maffes font entr'elles réciproquement comme les viteffes, ou, ce qui revient au même, les maffes font réci proquement proportionnelles aux vitelles;& la maffe & la viteffe d'un corps font réciproques à la maffe & à la viteffe d'un autre corps.

DIFFERENS

CHANGEMENS qu'on peut faire dans les termes d'une proportion.

Afin de faire voir l'utilité des deux Théorêmes précé dens, nous nous en fervirons pour démontrer les propofitions fuivantes: nous allons commencer à les employer pour prouver que l'on peut faire plufieurs changemens dans l'ordre des termes d'une proportion, quoique ces termes demeurent en proportion.

53. 1°. En mettant le premier conféquent à la place du fecond antécédent, & le second antécédent à la place du premier conféquent; ou, ce qui eft la même chofe, en faifant changer de place aux deux moyens : ce changement s'appelle alternando, ou bien, permutando: par exemple, dans la proportion 8.4::6.3, on peut mettre 4 & 6 à la place l'un de l'autre en cette maniére, 8. 6:4.3. De même en lettres, fi a.b::c.d, on pourra conclure alternando, a.c::b.d, car afin que cette derniere proportion foit vraie, il fuffit que ad produit des extrêmes foit égal à be produit des moyens. Or il est évident que

que adbe: car on fuppofe que a.b::c.d; donc par le premier Théorême ad―bc.

54. On peut de même faire changer de place aux extrêmes, c'est-à-dire, les mettre à la place l'un de l'autre: par exemple, fia.b::c.d; il fuit que d.b::c.a. Ce changement peut être auffi appellé alternando. La dé. monftration eft la même que la précédente.