deurs,on peut toujours faire une proportion dont le per terme foit le dénom. de la fract., les deux moyens foient les grandeurs qui font les deux racines du produit qui fert de numérateur à la fraction; enfin le quatriéme terme foit la fraction même : par exemple, on peut faire

bc

bc

de la fraction la proportion fuivante, a.b::c. be.

Cette proportion eft vraie, puifque nous venons de démontrer que le quatriéme terme proportionnel aux trois autres, a, b, c, eft égal au produit des moyens b & c, divifé par le premier terme a: ce Corollaire eft d'ufage dans plufieurs occafions.

80. On peut donner une autre démonftration fort fimple de la regle de trois, qui ne fuppofe pas la connoiffance du premier Théorême : nous en allons faire l'application au premier exemple rapporté ci-deffus pour la regle de trois directe: 15 ouvriers ayant fait 20 toifes pendant un certain tems, on demande combien en feront 45 ouvriers dans le même-tems: pour le trouver je confidére que fi un feul ouvrier avoit fait 20 toif.,45 ouvriers en feroient 45 fois 20 dans le même-tems: il faudroit donc multiplier 20 par 45, & le produit 900 exprimeroit le nombre de toifes que feroient 45 ouvriers. Mais ce n'eft pas un ouvrier feul qui a fait les 20 toifes: il n'en a fait que la quinzième partie, puifqu'il y avoit 15 ouvriers qui ont tous travaillé égalem. à ces 20 toif. Par conféquent les 45 ouvriers ne feront pareillement que la quinziéme partie de 900 toifes: il faut donc chercher la quinziéme partie de 900. Or pour trouver la quinziéme partie de 900 il faut diviser ce nombre par 15. D'ailleur 900 eft le produit des moyens 45 & 20; ainfi pour trouver le quatriéme terme cherché il faut multiplier les moyens l'un par l'autre, & divifer enfuite le produit par le premier terme.

81. La regle de trois indirecte peut fe trouver par un raisonnement à peu près femblable. 10 perfonnes ont

confommé une certaine quantité de vivres en 60 jours; on veut fçavoir en combien de jours 12 perfonnes feront la même conformation. Ces quatre termes font la proportion fuivante, 10.12: x. 60. Or pour trouver le troifiéme terme x que l'on cherche, il faut, fuivant la méthode expliquée ci-deffus, multiplier les deux extrêmes 10 & 60 l'un par l'autre, & divifer le produit 600 par le moyen connu 12: Ce qui donnera le quotient yo qui eft le troifiéme terme cherché. Voici la raifon de cette méthode : fi un feul homme avoit confommé la provifion de vivres en 60 jours, 12 hommes feroient la même confommation pendant la douzième partie de 60 jours. Or pour avoir la douzième partie de 60 jours il faut divifer 60 par 12 ; mais comme par la fuppofition ce font 10 pertonnes qui ont épuifé la provifion en 60 jours, c'est la même chofe que fi un feul homme l'avoit confommée en 10 fois 60 jours: il ne faut donc pas feulement prendre la douzième partie de 60, mais plûtôt celle de 10 fois 60 ; c'est-à-dire, qu'il faut multiplier 60 par 10, & divifer le produit par 12.

REMARQUE.

81 B. Quand les deux moyens font connus, au lieu de multiplier ces deux moyens l'un par l'autre,& de divifer enfuite le produit par l'extrême connu, on pourroit divifer un des moyens par l'extrême connu, & multiplier enfuite le quotient de la divifion par l'autre moyen. Ainfi dans l'exemple de l'Art. 71. on pourroit divifer le moyen 45 par 15, & multiplier le quotient 3 par l'autre moyen 20, le produit 60 feroit le quatriéme terme. De même dans l'exemple de l'Art. 72 on pourroit divifer le moyen 1042 par 300 & multiplier le quotient total 3 + 143 par 60; on trouveroit au produit 180 + Or cette fraction eft égale à 28+ comme il paroîtra en divifant le numérateur

8520
300

nominateur,

300

par

820

300 3

le dé

tité

En fuivant cette mêthode on trouvera la même quanque par la premiére, comme il eft facile de le prouver par le premier exemple: car en multipliant d'abord 45 par 20, & divifant enfuite le produit par 15, on a un quotient 20 fois plus grand que fi on avoit divifé feulement 45 par 15, fans multiplication, Or pareillement en divifant d'abord 45 par 15, & multipliant enfuite le quot. par 20,on a un nomb. 20 fois plus grand que fi on n'avoit point fait de multiplication. Lorfque les deux extrêmes font connus, on peut de même divifer un de ces extrêmes par le moyen connu, & multiplier enfuite le quotient par l'autre extrême.

82. Les regles de trois dont nous avons parlé jusqu'à préfent, font appellées fimples, parce qu'elles ne renferment que quatre termes : il y en a qu'on appelle compofées ; ce font celles dans lesquelles il y a plus de quatre termes, comme dans la question fuivante : 20 hommes ont fait 12 toifes en 8 jours : on demande combien 30 hommes feront de toifes en 24 jours. On peut réfoudre ces fortes de regles en les réduifant en plufieurs regles de trois fimples, comme nous allons l'expliquer.

82 B. Il faut d'abord remarquer que les termes de la question qu'on propofe font toujours en nombre pair, par exemple, 6, 8, &c. & qu'il y en a autant dans un membre que dans l'autre, fçavoir trois dans chacun, fi la queftion en renferme 6, & 4 fi elle en contient 8. Cela pofé,

82 C. 1°. On fuppofera qu'un des termes du fecond membre de la queftion eft égal au terme homogene du premier membre : & par ce moyen on pourra regarder ces deux termes comme évanouis, ou comme ne fe trouvant plus dans la queftion. On fuppofera dans notre exemple que le nombre des jours du fecond membre eft réduit à 8, & par-là il n'y aura plus que quatre termes dans la question, qui font 20 hommes, 12 toifes, ja hommes & le nombre de toifes que feront ces 30 hommes en huit jours. On trouvera 18 pour 4. terme.

2o. Après cela on dira: Si 30 hommes font 18 toifes. en 8 jours, combien ces 30 homines en feront ils en 24 jours? Le nombre d'hommes eft le même dans les deux membres: ainfi les 30 hommes difparoiffent de part & d'autre ; & il ne restera plus que quatre termes, Içavoir 8 jours, 18 toifes, 24 jours & le nombre de toifes que l'on fera en 24 jours. Ainfi cette question ne renferme qu'une regle de trois fimple qui étant refolue fera trouver 54 toifes: c'eft l'ouvrage que feront 30 hommes en 24 jours.

82 D. On auroit pû faire évanouir les hommes dans la premiére regle de trois, en fuppofant qu'il y en a le même nombre dans les deux membres, fçavoir 20: on auroit donc dit d'abord : fi 12 toifes fe font en 8 jours, combien s'en fera-t'il en 24 jours; on trouvera 36. Après cela on diroit : Si 20 hommes ont fait 36 toifes en 24 jours, combien 30 hommes en feront-ils dans le même-tems. Les 24 jours s'évanouiffent, parce que ce terme fe trouve dans les deux membres. Il ne reftera donc que quatre termes dont le quatrième sera 54.

:

82 E. En général on fait autant de regles de trois fimples moins une qu'il y a de termes dans chaque membre: s'il y a trois termes il faut faire deux regles de trois s'il y a quatre termes il en faut faire trois, &c. mais on doit obferver qu'il n'y ait jamais plus de quatre termes dans chaque regle de trois fimple ainfi s'il y a huit termes dans la queftion, il en faut faire difparoître quatre, deux à chaque membre, en fuppofant que deux termes du fecond font égaux aux deux termes homogenes du premier. Nous verrons après avoir expliqué les raifons compofées, qu'on peut réfoudre les regles de trois compofées en les réduifant à une feule regle de trois fimple par le des raifons compofées.

moyen

DE LA REGLE DE COMPAGNIE
ou de Société.

82 F. La regle de compagnie eft celle par laquelle il faut partager une fomme en plufieurs parties proportionnelles à des grandeurs données. Suppofons, par exemple, que trois Marchands aient fait une fociété pour entreprendre un commerce que le premier ait mis 10000 liv. le fecond 14000, le troifiéme 16000; & qu'ils aient gagné Sooo liv., il s'agit de partager ces 8000 l. à proportion de ce que chacun a mis.

82 G. Il faut affembler les trois mifes, & faire autant de regles de trois qu'il y a d'affociés; en forte que les deux premiers termes de chacune foient la fomme des mifes & le gain total, le troifiéme foit la mife de chaque affocié, le quatrième fera le gain qui reviendra à celui dont la mife eft le troifiéme terme de la proportion. Dans notre exemple la fomme des trois mifes eft 40000, le gain total eft 8coo liv. : ainfi il faudra faire les trois proportions fuivantes :

400001. 80001 :: 10000l. x=2000 1 40000 8000 : : 14000

y= 2800

La réfolution de ces trois regles fera connoître qu'il faudra donner 2000 liv. au premier Affocié, 2800 liv. au fecond, 3200 liv. au troifiéme. On s'affurera fi on a bien opéré en ajoutant les trois gains particuliers enfemble, car fi la fomme eft égale au gain total, c'eft une marque que les opérations ont été bien faites.

82 H. Les regles de compagnie font appellées fimples lorfque la mife de chaque particulier fait feule le 3. terme, comme dans l'exemple qu'on vient de rapporter : mais elles font compofées quand outre la confidération