mille, fur laquelle j'opére de la même maniere en di fant: 1 & 5 font 6, 6 & 6 font 12, 12 & 7 font 19? 19 & 6 font 25; j'écris 5 fous cette colomne, & je retiens 2 pour celle des millions ; je dis donc 2 & 3 font 5,5 & 4 font 9, 9 & 6 font 15 je pofe 5 au-deffous, & j'avance I qui refte.

EXEMPLE IT.

Soient encore propofés les quatre nombre fuivans 3504802, 605900, 106300, 9402, dont il faut trouver la fomme.

3504802

605900

106300

9402

4226404

Les ayant difpofés, comme on le voit, je commence par ajouter les chifres de la colomne des unités; de-là je paffe aux dixaines, puis aux centaines; ainfi de fuite, comme il a été prefcrit, remar quant que je dois pofer zero fous la colomne des dixaines (19), parce qu'elle ne contient aucun chifre pofitif;& que d'ailleurs je n'ai rien retenu de la colomne des unités : de même paffant de la colomne des mille, de laquelle j'ai retenu 2, à celle des dixaines de mille, je n'ai trouvé aucun chifre pofitif; ainfi je pofe fous cette colomne le 2 que j'avois retenu (19).

AVERTISSEMENT. Lorfqu'un nombre eft renfermé entre deux paranthèses, c'eft une citation, c'est-à-dire, qu'il fignifie que la propofition qui le précéde ou qui le renferme eft prouvée par l'article que le nombre défigne. Ainfi après avoir dit dans l'explication du fecond exemple, qu'il falloit pofer un zero fous la colomne des dixaines, on a mis (19) pour faire connoître que la propofition dépend de l'art. 19. On a fait la même chole après avoir dit qu'il falloit écrire 2 fous la colomne des dixaines de mille.

20. On obferve la même regle dans l'addition des nombres complexes que dans celle des incomplexes, &

on commence l'opération par les plus petites efpeces. en allant de fuite aux plus grandes: fur quoi il faut remarquer qu'en paffant d'une efpece à une plus grande, comme des deniers aux fols, il faut voir combien de fois celle à laquelle on paffe eft contenue dans la fomme des plus petites, n'écrivant que le refte, s'il y en a, fous la moindre efpece, & retenant le nombre de fois que la grande efpece eft contenue dans la fomme des plus petites, pour ajouter ce nombre à la plus grande: par exemple, fi on paffe des deniers aux fols, & qu'il y ait 38 deniers, comme cette fomme de 38 deniers contient trois fols & 2 deniers de plus, on écrira 2 fous les deniers, & on retiendra 3 pour les ajouter aux fols.

De même, quand on paffe des dixaines de fols aux livres, il faut auffi réduire ces dixaines en livres : or on fçait qu'une livre vaut deux dixaines de fols; c'est c'est pourquoi il faut, fi le nombre des dixaines eft pair, en prendre la moitié, qui marquera les livres qui y font contenues: par exemple, s'il y avoit 8 dixaines de fols, il faudroit prendre 4, qui eft la moitié de 8, & ce 4 marque qu'il y a quatre livres dans huit dixaines de fols; il n'y auroit donc rien à mettre fous les dixaines de fols: mais on retiendroit 4 pour l'ajouter à la colomne des unités de livres. Si le nombre des dixaines de fols eft impair, il en faut ôter une, que l'on écrira fous les dixaines, & prendre la moitié du refte: cette moitié marquant des livres, on l'ajoutera à la colomne des unités de livres : par exemple, s'il y avoit s dixaines de fols, il en faudroit ôter une, & l'écrire fous les dixaines de fols; enfuite prendre 2, qui est la moitié du refte 4, & l'ajouter aux livres.

EXEMPLE I.

Si on me propofe d'ajouter les nombres complexes 35602 livres 15 fols 8 deniers, 64923 l. 6 f. 11 d. 7043 1. 18 f. 9 d. & 58 1. 12 f. 10 d. je les difpofe de la

maniere

maniere fuivante, les unités fous les unités, les dixaifous les dixaines, &c. obfervant de plus de placer les deniers d'un nombre fous les deniers des autres nombres: il faut placer de même les fols fous les fols, & les livres fous les livres, comme on le voit.

Je commence par les deniers, en difant : 8 & 11 font 19, & 9 font 28, 28 & 10 font 38:cette fomme contient

35602 1.
64923

7043

58

f. 8 d.

6

II

18

I 2

3f. 2 d. c'eft pourquoi je pofe 107628 l. 14 f. 2 fous les deniers, & je re

୨

2 d.

tiens trois pour l'ajouter aux fols: s'il y avoit eu feulement 36 deniers, qui font 3 fols fans refte, il auroit fallu retenir 3 pour l'ajouter aux fols, & on n'auroit pu mettre qu'un zero fous les deniers. Je viens enfuite aux fols, & je dis : 3 que j'ai retenu, & 5 font 8, 8 & 6 font 14, 14 & 8 font 22, 22 & 2 font 24, je pofe le dernier chifre 4 fous la colomne des unités de fols, & je retiens 2, que j'ajoute aux dixaines de fois, en difant : 2 & 1 font 3, 3 & 1 font 4, 4 & 1 font ; ce nombre étant impair, j'en ôte 1, que je pofe fous la colomne des dixaines de fols, il refte 4 dont je prends la moitié, qui eft 2, que j'ajouterai avec les livres.

Je paffe donc aux livres, & je dis : 2 & 2 que j'ai retenu font 4, 4 & 3 font 7, 7 & 3 font 10, 10 & 8 font 18, je pose 8, & je retiens 1, que j'ajoute à la colomne voifine, operant felon ce que nous avons dit dans le premier exemple de l'addition des nombres incomple

xes.

EXEMPLE II.

Voici encore un exemple de l'addition des nombres complexes, où il s'agit d'ajouter des toifes, des pieds & des pouces. On fçait que la toife contient fix pieds, & le pied douze pouces.

b

542 toifes 4 pieds 10 pouces

8

21. On peut remarquer que dans l'addition des nombres complexes qui contiennent des fols & des deniers, on opere en même-tems fur les unités & fur les dixaines de deniers, comme dans le premier exemple: au lieu que l'opération fe fait par parties fur les fols; en forte qu'on ajoute les unités avant que de paffer aux dixaines : cette différence vient de ce qu'il faut exactement un certain nombre de dixaines de fols pour faire une ou plufieurs livres ; au contraire, pour reduire les deniers en fols, on eft obligé d'ajouter des deniers aux dixaines; par exemple, pour un fol il faut une dixaine de deniers & deux de plus, c'est-à-dire, 12 deniers: pour deux fols il faut deux dixaines & quatre deniers de plus, c'est-à-dire, 24 deniers, &c. par la même raifon dans le fecond exemple, il faut ajouter en même tems les unités & les dixaines de pouces pour voir combien la fomme contient de pieds.

II.

22. Quand on a beaucoup de nombres à ajouter, il faut pour une plus grande facilité faire plufieurs additions, enfuite ajouter toutes les fommes qu'on aura trouvées par ces additions, pour en faire la fomme totale: par exemple, fi on avoit 28 nombres à ajouter, on pourroit prendre les dix premiers pour en faire une addition, puis les dix fuivans pour en faire une feconde, & enfin les 8 derniers pour une troifiéme ; & après ces trois additions, il faudroit ajouter enfemble les trois fommes

qu'on auroit trouvées, ce qui donneroit la fomme totale des vingt-huit nombres.

DE LA PREUVE DE L'ADDITION.

23. Si après l'addition on veut fçavoir fi on ne s'eft pas trompé dans l'opération, il faut ôter de la fomme totale qu'on a trouvée, tous les nombres qui ont été ajoutés ; & s'il ne refte rien, c'est une marque que l'addition eft bien faite, parce que un tout eft égal à toutes fes parties prifes ensemble. Ainfi après avoir ôté de la fomme totale tous les nombres ajoutés, s'il reftoit quelque chofe, ou fi on ne pouvoit pas ôter tous les nombres de cette fomme, l'addition feroit mal faite, auquel cas il faudroit la recommencer.

24. Cette maniere de s'affurer fi on a bien opéré, s'appelle Preuve de l'Addition, qui fe pratique en cette forte: on commence par la premiere colomne, c'est-àdire, celle qui eft la plus à gauche, dont la fomme doit être ôtée du chifre ou des chifres de la fomme totale qui répondent à cette colomne, & on écrit le reste au-deffous, s'il y en a, pour le joindre par la pensée avec le caractere fuivant de la fomme totale: on paffe enfuite à la feconde colomne dont la fomme doit être auffi fouftraite du refte qu'on vient d'écrire joint au caractere de la fomme tale, qui répond à la feconde colomne : & s'il n'y a point eu de refte, on ne doit fouftraire que de ce caractere. Il faut toujours écrire le reste au-deffous, s'il y en a, pour le joindre par la penfée au chifre fuivant de la fomme totale: on pourfuit en obfervant la même méthode, & à la fin de la preuve, il ne doit rien refter. Cela s'entendra par un exemple.

?

Pour faire la preuve de cette addition j'opere en allant de bas en haut, en difant: 3 & 7 font 10, 10 & 8 font 18, que j'ôte des chifres correfpondans dans la fomme totale, c'est-à-dire de 19, il refte 1, que j'écris fous la premiere colomne : je le joins

8504

7609

3405

19518

101