AUTRE DEMONSTRATION. Il faut prouver que eft le prod. des raifons.Soit &f, donc a-be & c=df;par conféquent en multipliant les deux grandeurs égales & & be, l'une par c & l'autre par df, qui font deux autres quantités égales, les produits ac & bedf ou bdef feront encore égaux ; on aura donc ac―bdef : & en divifant l'un & l'autre produit par bd, on aura ademais de ac bdef bef (Liv. I. art. 166); donc ef. Or ef est le produit des valeurs ou des expofans des raifons & par conféquent eft le produit des raifons &. Ce qu'il falloit démontrer. ac bd COROLLAIRE ef 86. S'il y avoit plus de deux raifons, on prouveroit de la même maniére qu'en multipliant tous les antécédens les uns par les autres & les conféquens auffi, la raifon qu'il y auroit entre le produit des antécéd. & celui des conféquens feroit le produit des raifons: par exemple, foient les trois raifons,, je dis que la raifon ag ett le produit des trois premieres:car on vient de faire voir que la raison eft le produit des deux Donc pareillement eft auffi le produit des deux raifons & &. bal Ба & 87. On peut remarquer que quand les antécédens des raifons qu'on multiplie font plus petits que les conféquens, le produit qui vient de la multiplication eft plus petit que les raifons qu'on a multipliées : par exemple, fi on multiplie les raifons&, le produit eft une raifon plus petite que, puifque l'antécédent 10 du produit n'eft que la fixième partie de fon conféquent 60, au lieu que l'antécédent 2 eft le tiers de fon confé quent 6. On pourra voir la raison de cette remarque dans le Traité des fractions. THEOREME VI. 88. Si on multiplie les termes d'une proportion par ceux d'une autre proportion pris dans le même ordre ; c'est-à-dire, le premier de l'une par le premier de l'autre, le fecond par le fecond, le troifiéme par le troifiéme, le quatrième par le quatriéme ; les produits feront encore en proportion. DEMONSTRATION. Si on a les deux proportions, 5. 10::8. 16 & 2. 3 :: 4.6, je dis que les produits 5x2, 10x3,8×4, 16X6 qui viennent en multipliant les termes de la premiére par ceux de la feconde font encore en proportion. Car les deux raifons de la premiére proport. font des quantités égales. Pareillement les deux raifons de la feconde proport. font auffi des quantités égales : donc fi on multiplie les deux raifons de la premiére proport. par celles de la feconde, les raifons qui en réfulteront feront encore égales. Or en multipliant les termes de la premiérė proportion par ceux de la feconde, on multiplie les deux raifons de cette premiére proport. par celles de la feconde (85): par conféquent les deux nouvelles raifons qui viendront feront égales; c'eft-à-dire, que les produits des termes d'une proportion par ceux de l'autre feront encore en proportion. Ce qu'il falloit démontrer. AUTRE DEMONSTRATION. Soient les deux proportions, a. b::c.d & e. f :: g. ḥ, fi on multiplie les termes de la premiére par ceux de la feconde, les produits ae, bf, cg, dh, font encore en proport. en forte que ae. bf :: cg.db. Pour le faire voir, il n'y a qu'à démontrer (42) que le produit des extrê mes aedh ou adeh eft égal au produit des moyens bfcg ou befg; il s'agit donc de prouver que adeb=bcfg. Par l'hypothèse a. b': : c. d ; donc ad—bc:de même à caufe de l'autre proportion, e.f::g.h, on a encore l'égalité ebfgs par conféquent les deux grandeurs égales ad & be étant multipliées l'une par eh & l'autre par fg, les deux produits adeh & bcfg feront encore égaux. Ce qu'il falloit démontrer. On peut démontrer par la même méthode que fi on multiplie les termes de plufieurs proportions, par exemple de trois, les uns par les autres pris dans le même ordre, les produits feront encore proportionnels. COROLLAIRE. 89. Si on a la proportion a.b::c.d, les quarrés de ces grandeurs font encore en proportion : c'est-à-dire que a2. b2 :: c2.d'. C'eft une fuite évidente de ce Théorême ; puisque les termes de cette feconde proport. font les produits des termes de la premiére, multipliés par ceux de la même proportion. De même fi on multiplie les termes de la proport. a2. b2:: e2.d2 par ceux de la premiére a.b::c.d, on aura cette autre proportion, a3. b3 : : c3.d3 : & fi on multiplioit encore les termes de cette derniére par ceux de la premiére, on auroit aa. b::c.dt, & ainfi de fuite; en forte que l'on peur dire en général que fi quatre grandeurs font proportionnelles, les puiffances femblables de ces grandeurs font auffi proportionnelles : c'est-à-dire, que fia.b::c.d, on aura auffi la proportion am. b:: cm.dm: am fignifie que a eft élévé à une puiffance marquée par la lettre m qui peur repréfenter 2, 3, 4, 5, & tous les nombres poffibles: il en eft de même de b, c, & dm. > 90. La propofition réciproque de ce Corollaire eft encore vraie ; c'est-à-dire, que fi les puiffances fembla bles de quatre grandeurs font proportionnelles, les gran deurs elles-mêmes qui font les racines femblables de ces puiffances, font auffi proportionnelles ; par exemple, fi a3. b3 :: c3. d3, on aura auffi la proportion.a. b::c.da car ayant la proport. a3, b3: ; c3. d3, on en conclut l'égalité a3d3 — b3c3. Or ces deux produits a3d3 & b3c3 etant égaux, leurs racines femblables ad & be font éga; par conféquent a.b::c.d (42). les 91. Remarquez que dans le Corollaire précédent nous n'avons pas dit que deux puiffances femblables font proportionnelles à leurs racines : ce qui feroit faux ; par exemple, il n'eft pas vrai que a.ba.b: cela paroît évidemment dans les nombres : car fi on prend 36 & 4 qui font les quarrés de 6 & de 2, il eft clair que 36 n'eft pas à 4 comme 6 eft à z. DES RAISONS COMPOSÉES. ac 92. Une raifon compofée eft le produit de deux ou de plufieurs raifons: par exemple, eft la raifon compofée des raifons &: de même de même ac eft un rapport compolé des trois raisons & › &· Ба 93. Les rapports de la multiplic, defquels réfulte la raifon compofée, s'appellent raisons compofantes ou fimples: ainfi dans le premier exemple qu'on vient d'appor ter, & font les raifons compofantes de , & de même dans le fecond exemple,,, font les raifons compofantes dear. : 94, 96 & 98. Lorfqu'il n'y a que deux raisons compofantes, & qu'elles font égales, la raison composée est appellée doublée par exemple, fi, la raifon compofée eft doublée. En nombres,les raifons & étant égales, la raifon compofée eft doublée. Ainfi une raison doublée est le produit de deux raifons égales ; & bd s'il n'y a qu'une raison fimple la raifon qui en eft doublée eft le produit de cette raifon fimple multipliée une fois par elle-même. Or pour multiplier une raison par elle-même, il faut multiplier l'antécédent par l'antécédent, & le conféquent par le conféquent : par exemple, le produit de la raifon multipliée par elle-même eft. Il paroît par-là que pour avoir la raifon doublée d'une autre raifon, il faut prendre le quarré de l'antécédent & celui du conféquent, & la raifon de ces quarrés eft doublée de la premiére raifon. On peut donc dire en général que la raifon des quarrés eft doublée de celle des racines : dans notre exemple les quarrés font 36 & 4, & les racines 6 & 2. b 240 95, 97 & 99. Lorfqu'il y a trois raifons compof. & qu'elles font égales, la raifon compofée eft appellée triplée par exemple, fi, la raifon compofée : eft triplée: de même la raison eft triplée des trois raifons égales,,. Une raifon triplée eft donc le produit de trois raifons égales : & s'il n'y a qu'une raifon fimple, la raifon qui en eft triplée eft le produit de cette raifon fimple multipliée deux fois par elle-même : ce qui fe fait en prenant le cube de l'antécédent & celui du conféquent : ainfi la raison triplée de eft : de même celle de eft. D'où il paroît que les cubes, comme 64 & 27 font en raifon triplée des racines 4 & 3. bbb 100. On voit par ce que l'on vient de dire qu'une raifon doublée eft le quarré de la raifon fimple,& qu'une raison triplée est le cube de la raifon fimple: par exemple, eft le quarré de & eft le cube det. 102. Il y a beaucoup de différence entre une raifon double & une raifon doublée, & entre une raifon triple & une raifon triplée : une raison eft appellée double, lorfque l'antécédent eft double du conféquent : ainfi le rapport de 1o às eft une raifon double. La raifon eft appellée triple, lorfque l'antécédent eft triple du confé |