fi

e+f=b+e, il faut que a. b:e.f: car la fomme +fétant égale à cette autre be, il eft clair que bfurpaffe a de la quantitéd, il faudra quef furpaffe e de la même quantité; autrement af ne feroit pas égal àbe. Ainfi on aura la proportion a.be.f;puifque chacun des conféquens b & f furpaffe fon antécédent de la même quantité.

133- Il fuit-de-là qu'on peut faire les changemens appellés alternando & invertendo dans une proportion arithmétique fans la détruire.

133 B. Dans une progreffion arithmétique la fomme de deux termes également éloignés de deux extrêmes eft égale à la fomme de ces extrêmes.

DEMONSTRATION,

Dans la progreffion arithmétiquea.b.c.d.e.f.g, les termes c&e font également éloignés des extrêmes a & g; je dis donc que c+e=4+g:car les termes &e de la progreffon étant également éloignés des extrêmes, la différence de à cet égale à celle de e à g; c'est-à-dire,qu'on a la proportion arithmétique a.c:e.g: ainfi c +e=a+g. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

133 C. Si le nombre des termes de la progreffion arithmétique eft impair, le double du terme qui eft au milieu eft égal à la fomme des deux extrêmes, ou de deux termes également éloignés des extrêmes. Dans notre exemple 2d=a+gouc+e: car à caufe de la progreffion on a, c.d:d.e: par conféquent ad=6 -te.

C

6

COROLLAIRE II.

133 D. Si on multiplie la fomme du premier & du dernier terme d'une progreffion par la moitié du nombre des termes qu'elle contient, le produit fera égal à la fomme de tous ces termes. Si, par exemple, le nom bre des termes eft 12, il faut multiplier la fomme du premier & du dernier terme par 6; mais fi le nombre des termes étoit 13 il faudroit multiplier cette fomme par 6 à caufe du terme moyen.

DES FRACTIONS.

134.

L

Orfqu'on conçoit qu'un tout eft divifé en parties aliquotes ou égales, & qu'on prend un certain nombre de ces parties, cela s'appelle Fraction: on peut donc dire qu'une fraction n'eft autre chofe qu'une ou plufieurs parties aliquotes d'un tout. La fraction s'exprime par deux nombres, dont l'un marque en combien de parties égales le tout eft divifé, & on l'appelle dénominateur, & l'autre montre combien on prend de ces parties, & on le nomme numérateur ; on écrit le dénominateur au-deffous du numérateur en les féparant par une petite ligne, en cette forte, on énonce cette fraction en difant, trois cinquiémes; 3 eft le numérateur, par ce qu'il défigne combien on prend de parties, c'est-à-dire, de cinquièmes, & 5 eft le dé nominateur, parce qu'il marque que le tout eft divifé en cinq parties égales.

:

135. Si la fraction eft exprimée par des lettres, comme, elle marque que le tout eft partagé en un nombre de parties qui eft indéterminé & défigné par le dénominateur b, & qu'on prend auffi un nombre indéterminé de ces parties qui eft marqué par le numérateur 4.

136. Le numérateur d'une fraction peut être égal, ou plus petit, ou plus grand que fon dénominateur. Lorfque le numérateur eft égal au dénominateur, la fraction eft égale au tout que l'on regarde comme l'unité par exemple, 1. La raifon en eft qu'un tout eft égal à toutes les parties prifes enfemble; ainfi quatre quatriémes marqués par la fraction valent le tout: fi le numérateur eft plus petit que le dénominateur, la fraction vaut moins que l'unité: telle est la fraction. Enfin

quand le numérateur eft plus grand que le dénominateur, la fraction, eft plus grande que l'unité, comme De plus il eft évident que quand le numérateur eft le quart, le tiers, la moitié, les trois quarts, &c. du dénominateur, la fraction eft le quart, le tiers, la moitié, les trois quarts, &c. de l'unité. En général la fraction eft par rapport à l'unité ce que le numérateur eft par rapport au dénominateur.

137. Si on a deux fract. dont les num. foient plus petits que leurs dénomin. & qu'ils en différent également celle qui eft exprimée par de plus grands nombres eft la plus grande. Ainfi de ces deux fractions & dont les numérateurs différent de leurs dénominateurs feulement par l'unité, la premiére eft plus grande que la feconde. Car la premiére eft plus petite que le tout feulement d'un quinzième, puifque la fraction est égale au tout: au lieu que la feconde eft moindre que le tout d'un dixième. Or il eft évident qu'un quinziéme eft plus petit qu'un dixième. Donc la premiére différe moins du tout que la feconde. Ainfi elle eft plus grande que cette feconde.

137 B. Mais fi les numérateurs font plus grands que les dénominateurs, & qu'ils en différent également, la fraction exprimée par de plus grands nombres eft la plus petite. La fraction eft moindre que cette autre, parce que la premiére ne furpaffe l'unité que d'un douziéme, au lieu que la feconde furpaffe l'unité d'un fixiéme.

138. Puifqu'une fraction eft égale à 1 quand le numérateur & le dénominateur font égaux; il fuit qu'elle est égale à 2, fi le numérateur eft double du dénominateur; qu'elle vaut 3, fi le numérateur eft triple du dénominateur; qu'elle vaut 4, s'il eft quadruple, &c. par exemple, la fraction étant égale à 1; on a auffi2, ,4,5, &c. c'est-à-dire, que fi quatre quatriémes valent 1, huit quatrièmes valent 2, &c. ce qui eft évident, puifque huit quatrièmes font le dou

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ble de quatre quatrièmes, & que douze quatrièmes en font le triple, &c. En général la valeur d'une fraction dépend du nombre de fois que que le numérateur contient le dénominateur; en forte qu'une fraction eft roujours égale au quotient du numérateur divifé par le dénominateur, par exemple, la fraction est égale à 5, parce que le quotient de 20 divifé par 4 eft 5. Or nous avons vû que la valeur d'une raifon étoit auffi égale au quotient de l'antécédent divifé par le conféquent (25); pour me fervir du même exemple, la raifon de 20 à 4 eft égale à 5 ; c'eft pourquoi la fraction eft la même chofe que la raifon de 20 à 4: & en général une fraction eft la même chofe que le rapport ou la raison du numérateur au dénominateur : c'eft une feconde notion que l'on peut donner de la fraction.

ainfi

On voit par ce que nous venons de dire que le numérateur d'une fraction peut auffi être appellé antécédent & dividende, & que le dénominateur peut de même être appellé conféquent & diviseur.

139. Lorfque le numérateur eft moindre que le dénominateur, quoique l'on ne puiffe faire alors la divifion du premier par le fecond, la fraction eft cependant une divifion indiquée : ainfi la fraction marque que 3 eft divifé par 5, c'est-à-dire, que l'on prend feulement la cinquième partie de 3 ; je dis la cinquième partie, parce que le dénominateur eft 5; de-là il fuit que cette expreffion trois cinquiémes, & celle-ci la cinquième partie de trois fignifient la même chofe, puifque la fraction peut être énoncée de l'une & de l'autre maniére. Il en eft de même des autres fractions ; celle-ci, par exemple , peut être énoncée en difant, 12 quatrièmes, ou la quatrième partie de 12; la premiére expreffion eft la plus ordinaire, & répond directement à la premiére notion qu'on a donnée des fractions.

140. Pour mieux concevoir que trois cinquièmes & la cinquième partie de trois, font la même chofe ; ap