'

par la pensée à 5, qui eft le chifre fuivant de la fomme totale, ce qui fait 15, dont il faut fouftraire la feconde colomne ; je dis donc : 4 & 6 font 10, 10 & font 15, que j'ôte de 15, refte o, que j'écris au-deffous de 5 ; je paffe enfuite à la troifiéme colomne, qui ne contient que des zeros, lefquels étant ôtés de 1, qui répond à cette colomne, il refte 1, qu'il faut joindre par la penfée à 8, ce qui fait 18, dont il faut ôter la quatriéme colomne; ainfi je dis : 5 & 9 font 14, 14 & 4 font 18, que j'ôte de 18, il ne refte rien ; ce qui fait voir que l'addition eft bien faite.

On fe fert de la même méthode pour la preuve de l'addition des nombres complexes,en remarquant néanmoins que quand on paffe des plus grandes efpeces aux moindres, on réduit ce qui refte de la fomme des plus grandes aux moindres qui fuivent, par exemple, les livres en dixaines de fols, & les fols en deniers. Nous allons appliquer cette méthode à une addition de nombres complexes.

Pour faire la preuve de cette addition, je commence par la premiere colomne & je dis 4 & 3 font 7 que j'ôte de 8, il refte 1, que j'écris au-deffous du 8, je le

,

370 liv. 18 f. 9 den.

୨

I I

97
3

22

il

joins par la pensée à 7, ce qui fait 17: enfuite je dis 9&7 font 16, que j'ôte de 17, refte 1, que je pose fous 7; je le conçois joint à qui fuit, ce qui fait 11 d'où j'ôte 9, qui font à la colomne correfpondante, refte 2, c'est-à-dire 2 livres, qu'il faut réduire en quatre dixaines de fols; il faut donc concevoir 4 fous la colomne des dixaines de fols, & fouftraire ces dixaines de 4 ; il reftera 2, que j'écris fous cette colomne : ce 2 étant joint par la pensée avec le 3 qui fuit, j'aurai 23, dont je dois ôter la colomne des unités de fols; je dis donc : 9 & 4 font 13, 13 & 8 font 21, qui étant ôtés de 23, il

refte 2, qu'il faut mettre fous 3. Ce 2 marque deux fols, qui valent 24 deniers, lefquels il faut ajouter avec les trois autres qui font fous la colomne des deniers, cela fera 27, dont il faut ôter les deniers des trois nombres ; il y en a 27, qui ôtés de 27, il ne refte rien: ce qui eft une marque que l'addition eft bien faite.

269 16

790

18

3.

84

17.

9

1145

12

212

५

Voici encore une addition complexe, dont on a fait la preuve, comme dans l'exemple précédent en obfervant que quand on a paffé, des livres aux dixaines de fols, comme il y avoit 2 livres de refte on les a réduites en quatre dixaines, auxquelles on a ajouté celle qui fe trouvoit fous la colomne des dixaines de fols; ce qui a fait s, qu'il a fallu concevoir à la place de 1 qui eft fous cette colomne: on a enfuite ôté dus les trois dixaines de la colomne, & on a écrit le refte 2 fous 1, pour le joindre par la pensée au 2 qui eft fous la colomne des unités de fols. De même lorfqu'on a paffé des fols aux deniers, il a fallu réduire un fol qui reftoit, en 12 deniers, que l'on a ajouté à 11, qui font fous les deniers, & de la fomme 23 on a fouftrait les deniers qui font au-deffus: ce qui étant fait, il n'eft rien, refté; ainfi l'addition eft bien faite.

25. Il ne nous refte plus qu'à donner la démonftration de l'addition. On entend par démonftration d'une opération, la raison fur laquelle eft fondée la regle prefcrite pour cette opération; c'eft pourquoi il y a beaucoup de différence entre la démonftration & la preuve d'une opération, puifque par la démonftration on fait voir que la regle preferite pour l'addition, par exemple, eft infaillible; au lieu que la preuve ne fert qu'à faire connoître qu'on a obfervé cette regle dans les exemples par

ticuliers.

DEMONSTRATION DE L'ADDITION,

26. On cherche par l'addition une fomme totale qui contienne plufieurs nombres propofés. Or en suivant la regle prefcrite pour l'addition, on trouve la fomme totale qui contient tous les nombres propofés, puifqu'on prend la fomme des unités, celle des dixaines, des centaines, des mille, & ainfi des autres parties des nombres; par conféquent fi on fuit la regle prefcrite pour l'addition, on trouve néceffairement la fomme totale de tous les nombres qu'il falloit ajouter.

Quant à ce que la regle prefcrit, d'ajouter les dixaines à la colomne qui précede vers la gauche, lorfque la fomme qui réfulte d'une colomne ne peut s'exprimer que par deux chifres, cela eft fondé fur l'art. 4, dans lequel on a remarqué que la valeur des chifres augmente en proportion decuple en allant de droite à gauche.

DE LA SOUSTRACTION.

27. La foustraction eft une opération par laquelle on ôte un moindre nombre d'un plus grand: par exemple, fi on ôte 9 de 12, c'eft une fouftraction. Le nombre qui résulte de la foustraction eft appellé refte ou différence: Dans notre exemple 3 eft le refte ou la différence des nombres 12 & 9. Il eft vifible par la définition de la fouftraction, que cette opération confifte à chercher une partie d'un tout dont on connoît déja l'autre partie auffi bien que le tout qui ne contient que ces deux par ties. Dans l'exemple propofé le tout eft 12, la partie connue eft, & le refte 3 eft l'autre partie qu'on cherchoit.

28. Voici un axiome dont nous avons befoin pour la fouftraction lorfqu'on ajoute le même nombre à deux autres, la différence de ces deux nombres est toujours

la même avant & après l'addition : fi, par exemple, on ajoute 6 à 12 & à 9, la différence des fommes 18 & 15 eft la même que celle des nombres 12 &.9.

29. Pour faire la fouftraction, il faut écrire le nombre que l'on veut fouftraire au-deffous de l'autre ; en forte que les unités de l'un répondent aux unités de l'au

les dixaines aux dixaines, les centaines aux centaines, &c. enfuite tirer une ligne au-deffous des deux nombres, après quoi on doit obferver la regle fuivante. On commence par ôter les unités du nombre à fouftraire, des unités de l'autre : il peut arriver trois cas; le premier, que le chifre inférieur qui marque les unités foit plus petit que le fupérieur : pour lors on écrit le refte audeffous dans le même rang : le fecond cas, eft lorfque les deux chifres font égaux : dans ce fecond cas on met un zero au-deffous, parce que le caractere inférieur étant ôté de l'autre, il ne refte rien.

30. Le troigéme cas enfin, eft quand le caractere inférieur eft plus grand que le fupérieur; alors il faut ajouter une dixaine au chifre fupérieur; enfuite de la fomme compofée de cette dixaine & de ce chifre, ôter celui qui est au-dessous, & écrire le refte fous la ligne dans le même rang: par exemple, fi on vouloit fouftraire 28 de 43, il faudroit après les avoir difpofés en cette maniere 23, ajouter d'abord 10 à 3 ; enfuite retrancher 8 de la fomme 13 compofée de 10 & de 3 ; enfin écrire le reste 5 au-deffous de 8.

43

Comme dans ce troifiéme cas on a ajouté une dixaine au nombre dont on veut fouftraire, on doit ajouter tout autant au nombre que l'on doit fouftraire (28), c'est pourquoi il faut fuppofer que dans ce dernier nombre le chifre du rang précédent eft augmenté d'une unité ; laque'le est égale à la dixaine ajoutée au chifre plus reculé d'un rang vers la droite dans le nombre fupérieur (4): dans l'exemple propofé, 2, eft le chifre qui précéde le & d'un rang vers la gauche dans le nombre à fouftraire,

28; il faut par conféquent ajouter 1 à 2. On opére de la même maniere fur les autres chifres felon les trois différens.

EXEMPLE I.

Soit le nombre 5243, dont il faut ôter 4328: après les avoir difpofés comme nous l'avons dit ; en forte que les unités répondent aux unités, les dixaines aux dixainés, &c.

:

5243

4328

915

Je dis : 8 de 3, cela ne fe ne fe peut j'ajoute une dixaine à 3 ( 30), en disant : 10 & 3 font 13 : 8 de 13 reftes, que j'écris fous 8 ; enfuite il faut dire, je retiens 1 : après cela j'ajoute cer 1 à 2, qui précede 8 dans le nombre inférieur; ce qui fait 3 ; je dis donc 3 de 4 refte 1, que j'écris au-deffous de 2 : j'opére de la même maniere fur les centaines, en difant: 3 de 2, cela ne fe peut ; ainfi j'ajoute une dixaine à 2 (30), & je dis 10 & 2 font 12:3 de 12 refte 9 que je pofe fous 3, & je retiens 1, qu'il faut ajouter au 4 précédent du nombre inférieur ; je dirai donc 1 & 4 font ss des refte o, qu'il eft inutile d'écrire au-deffous, parce qu'il n'y a plus de chifre à mettre avant lui.

EXEMPLE II.

Soit encore cet autre exemple de fouftraction à faire felon la même méthode.

60750004

25067 60724937

Je dis 7 de 4, cela ne fe peut, : j'ajoute donc une dixaine à 4 ( 30 ), en difant: 10 & 4 font 14, 7 de 14, refte 7 que j'écris au-deffous, & je retiens 1: je dis enfuite: 1 que j'ai retenu & 6 font 7; 7 de o, cela ne fe peut ; c'eft pourquoi j'ajoute une dixaine au zero, en difant: 10 & o font 10: 7 de 10, refte 3 que que je pofe fous & & je retiens 1 : j'ajoute cet 1 an o