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du Problême qui donnent lieu de former les équations, en exprimant les rapports des grandeurs connues avec les inconnues, ou même ceux qui font entre les quantités inconnues comparées enfemble.

Nous allons appliquer cette regle à un exemple avant de propofer les deux autres, afin de la faire mieux concevoir : nous ferons pareillement l'application de la feconde regle, avant de proposer la troifiéme.

PROBLEM г. I.

22. Pierre & Jean ont chacun un certain nombre d'écus qu'il s'agit de trouver : on fuppofe que fi Pierre donnoit cinq de fes écus à Jean, ils en auroient autant l'un que l'autre : mais fi Jean en donnoit cinq des fiens à Pierre, pour lors Pierre en auroit le triple de ce qui en refteroit à Jean. Combien Pierre & Jean avoient-ils d'écus chacun?

:

Pour mettre ce Problême en équations, j'appelle x le nombre des écus de Pierre, & y le nombre des écus de Jean cela pofé, je raisonne ainfi le nombre des écus de Pierre étant x, lorfqu'il en aura donné cinq à Jean, le refte des écus de Pierre fera x-5, & le nombre des écus de Jean feray +5. Or par la premiére condition du Problême, Pierre & Jean auront autant d'écus l'un que l'autre, après que le premier en aura donné cinq des fiens au fecond; par conféquent x-s =y+5: voilà une équation qui exprime la premiére condition du Problême.

Il faut faire une autre équation qui foit tirée de la feconde partie du Problême. On fuppofe dans cette fe-conde partie que Jean donne cinq de fes écus à Pierre ; ainfi le nombre des écus de Jean feray & celui de Pierre fera x+5. Or par la feconde condition du Problême, Jean ayant donné cinq écus à Pierre, pour lors Pierre en a trois fois plus que Jean; par conféquent x+5eft trois fois plus grand que ys; donc afin

que y devienne égal àx+s, il faut le multiplier par 3. Or le produit de y- 5 par 3 eft 37-15 donc 3y-15x+5. Ainfi les deux équations qui expriment les conditions du Problême font x-5=y +5& 3y

23. Il ne faut pas d'autres équations pour réfoudre le problême propofé; parce que n'y ayant que deux chofes inconnues, fçavoir, le nombre des écus de Pierre & celui des écus de Jean, on n'a befoin que de deux équations pour réfoudre ce Problême. En général il faut faire autant d'équations qu'il y a d'inconnues: il y a cependant des Problêmes dont les conditions ne donnent pas autant d'équations qu'il y a d'inconnues ; & pour lors ces Problèmes font indéterminés ; c'est-à-dire, qu'ils ont plufieurs folutions & même une infinité : Ces premiéres équations qui expriment les conditions du Problême, peuvent être appellées primitives. Venons à préfent à la feconde regle.

On conçoit bien que tandis que les inconnues feront mêlées enfemble dans chacune des équations, on ne pourra fçavoir la valeur précife de chacune des inconnues; c'eft pourquoi il faut faire enforte de parvenir à une équation qui ne contienne qu'une efpéce d'inconnue. C'est ce que prefcrit la regle fuivante, qui eft la feconde.

pre

II. REGLE. 24. Cette feconde regle confifte donc à trouver une nouvelle équation des le moyen par miéres, qui ne contienne qu'une efpéce d'inconnue. Or cela fe fait en fubftituant la valeur d'une ou de plufieurs inconnues à la place de ces inconnues. Il faut donc prendre la valeur d'une inconnue dans une équation, comme nous l'avons dit (20), & fubftituer cette valeur dans les autres équations de la maniére dont cette inconnue s'y trouve; c'est-à-dire, que fi l'inconnue fe trouve par addition, la valeur doit y être fubftituée

par

addition; fi l'inconnue eft retranchée, fa valeur doit être auffi retranchée ; fi l'inconnue eft multipliée par quelque grandeur, fa valeur doit être multipliée par la même grandeur, &c. ainfi que l'on a vû dans l'article 20.

Nous allons faire l'application de cette feconde regle à l'exemple du premier Problême.

pour

Les deux équations trouvées font x-5=y+s &37—15=x+5; pour en faire une qui ne contienne qu'une efpéce d'inconnue, on laiffe une des inconnues, fçavoir x, toute feule dans un des membres de la premiére équation, afin d'en avoir la valeur. Or laiffer x feule dans un membre, il faut faire paffer s dans l'autre membre; & au lieu de l'équation x-5=x+5,on aura xy+5+5, ou bien, x= 10; ainfi la valeur de x efty+ 10 qu'il faut fubftituer à la place de x dans la feconde équation 37 — 15=x+s. En faisant cette fubftitution, on trouvera 3y-15=y+10+5, ou bien 37—15 =y+15.

- S.

Nous voilà donc parvenus à une équation qui ne contient qu'une espéce d'inconnue ; fçavoir, la grandeury qui marque le nombre des écus de Jean. Il faut chercher préfentement par le moyen de cette équation quelle eft la valeur toute connue de cette grandeur : c'eft ce que nous trouverons par la troifiéme regle.

III. REGLE. 25. Cette troifiéme regle confiste à laiffer la quantité inconnue toute feule dans un des membres, en faifant paffer toutes les grandeurs connues dans l'autre membre. Il est évident que la quantité inconnue deviendra connue par ce moyen, puifqu'elle fera égale à des quantités connues.

Pour appliquer cette regle à notre exemple, il faut reprendre l'équation que la feconde regle a fait trouver; la voici 37-15y+15; je fais d'abord paffers du premier membre dans le fecond; &

j'aurai

j'aurai 3y+15+15, ou 3y=+30:& faifant auffi paffer y du fecond membre dans le premier, il vient 37—7—30, ou 130. Enfiny étant multipliée par 2 dans le premier membre de cette derniere équation, je divife tous les termes par 2, afin de laiffer feule dans le premier membre: cette divifion étant faite, la derniere équation fe réduit à y 15 ; c'est-à-dire, que — Jean avoit 15 écus.

Pour fçavoir combien en avoit Pierre, il faut fubfti tuer 15 à la place de y dans quelques-unes des équations où le trouvent les deux inconnues x &y. Je mets donc 15 à la place de y dans la premiére équation qui est x5 = y +5: ce qui donne l'équation fuivan520: & faifant paffer S 5 dans le fecond membre, afin que refte feule dans le premier, il vient x 20+5, ou x 25 ; c'est-à-dire, que Pierre avoit 25 écus.

te; x

Ces deux nombres 25 & 15 rempliffent les conditions du Problême propofé : car fi Pierre avoit donné cinq de fes écus à Jean, ils en auroient eu autant l'un que l'autre, fçavoir 20 : ainfi ces deux nombres fatisfont déja à la premiére partie du Problême. D'ailleurs fi Jean avoit donné cinq de fes écus à Pierre qui en avoit 25, Jean n'en auroit plus eu que 10, & Pierre en au roit eu 30, & par conféquent Pierre en auroit eu le triple de ce qui en feroit refté à Jean : ce qui fatisfait encore à la feconde partie du Problême.

On propofe communement un Problême de même efpéce, dans lequel on fuppofe qu'une âneffe & une mule ont chacune un certain nombre de facs, enforte que fi la mule en donnoit un des fiens à l'âneffe, elles en auroient autant l'une que l'autre mais au contraire, fi l'âneffe en donnoit un des fiens à la mule, pour lors la mule en auroit le double de ce qui en refteroit à l'â neffe. Il s'agit de trouver le nombre des facs de l'âneffe & celui des facs de la mule.

I. Partie.

I

Pour obferver la premiére regle, on nommera a le nombre des facs de l'âneffe, & m celui des facs de la mule, & on trouvera que les deux équations qui expriment la nature du Problême, font m

& 2a 2M I.

Enfuite fi pour obferver la feconde regle, on prend la valeur de m dans la premiére équation, & qu'on fubftitue cette valeur qui eft a +2 dans la feconde équation à la place de m, on aura 24

ou 24 2=4+3 •

242 + 1,

Enfin en appliquant la troifiéme regle fur l'équation 24—2=a+3 qui ne contient qu'une efpéce d'inconnue, fçavoir a, on trouvera a5: puis en fubftituant cette valeur toute connue de a dans la premiére équation — 4+1, on trouve auffi m—7 } par conféquent l'âneffe, avoit 5 facs & la mule 7.

m

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Nous allons donner plufieurs autres Problêmes dont nous chercherons la folution en nous fervant des mêmes regles qui font, comme on l'a dit, au nombre de trois, dont la premiére confifte à mettre le Problême en équations; la feconde à trouver une équation formée des premiéres qui ne contienne qu'une espèce d'incon

& la troifiéme enfin à laiffer l'inconnue toute feule dans un des membres de l'équation que la feconde regle a fait trouver.

26. C'est la premiére de ces trois regles qui eft ordinairement la plus difficile à mettre en pratique, parce qu'il n'y a point de méthode fixe que l'on puiffe prefcrire pour l'application de cette regle. Ce que l'on peut dire en général, c'eft qu'il faut faire une grande attention à la nature & aux conditions du Problême, afin d'appercevoir les différens rapports qui font entre les quantités, foit connues, foit inconnues, & qui peuvent donner lieu à former des équations. Il arrive fouvent que la folution d'un Problême dépend d'une propriété connue par quelque partie des Mathématiques;