quarré eft 64, & le premier terme moins le fecond est 8 — 4 — 4 ; ainfi il faut divifer 64 par 4, & le quotient 16 fera la fomme de tous les termes de la progreffion géométrique propofée, en fuppofant qu'elle eft continuée à l'infini.

41. On peut remarquer que quand les termes de la progreffion vont en diminuant par moitié, comme dans l'exemple propofé, pour lors la fomme de tous les termes qui fuivent le premier, eft égale à ce premier terme. Cela eft évident dans notre exemple: car puifque la fomme entiére eft 16, & que le premier terme est 8, la fomme des autres eft auffi 8. Si chaque terme de la progreffion étoit triple de celui qui fuít, comme dans cet exemple 12.4..., &c. alors la fomme des termes qui fuivroient le premier, feroit la moitié de ce premier terme. Si chacun des termes de la progreffion étoit quadruple du fuivant, pour lors la fomme des termes après le premier ne feroit que le tiers de ce premier, ainfi de fuite: par exemple, fi chacun des termes eft dix fois plus grand que celui qui fuit, comme dans cette progreffion 10.1. &c. la fomme de tous les termes moins le premier eft la neuvième partie de ce premier. Tout cela peut fe démontrer par la proportions.sa:: a. b. Car à caufe de cette proportion on aura dividendo, s -s-ta.s a::a b.b. Or a::a b.b. Donc invertendo, sa.a::b. ab. Or dans le dernier

-1

s—s+a=a. Donc a.

100

exemple, b=1&a

b:

9 ; donc s- -4.4:: 1.

9 ; c'est-à-dire, que la fomme des termes moins le premier eft la neuvième partie du premier.

PROBLEME VII.

42. L'aiguille des heures d'une montre étant fur le point d'une heure, & celle des minutes étant au point de midi, trouver à quel inftant l'aiguille des minutes attrapera celle des heures

La diftance des deux aiguilles eft l'efpace ou l'arc qui eft entre les points de midi & d'une heure. J'appelle cet efpace 4; ainfi cette lettre fignifiera la douzième partie de la circonférence du cadran,foitque ce foit la premiére partie, ou la feconde, ou la troifiéme, &c. Je nomme l'efpace qu'aura parcouru l'aiguille des heures depuis le point d'une heure jufqu'au point où elle fera arrivée quand l'autre l'attrapera. Cela pofé, comme l'aiguille des minutes va douze fois plus vite que la premiére, l'efpace qu'elle parcourra en même-tems fera 12x. Or cet efpace que parcourt l'aiguille des minutes jufqu'à ce qu'elle atteigne la premiére, n'eft autre chofe que l'arc a fitué entre les points de midi & d'une heure, plus la distance x qui eft depuis le point d'une heure jusqu'au point de rencontre. Par conféquent on aura l'équation 12x=ax. Voilà la nature du Problême exprimée en équation felon ce que demande la premiére regle. Je paffe tout d'un coup à la troifiéme, parce qu'il n'y a qu'une efpéce d'inconnue dans l'équation..

Puifque 12x=a+x; donc 12x-xa, ou 11x4; donc en divifant chacun des membres. par 11, il viendra x; ainfi l'efpace x eft la onzième partie de l'arc a ; c'eft-à-dire, que l'aiguille des minutes attrapera celle des heures à la onzième partie de la feconde heure après midi. Et cela eft évident, car pour lors l'efpace parcouru par cette aiguille des minutes fera 12 fois plus grand que celui que la premiére aura fait dans le même-tems, puifqu'elle aura parcouru douze onzièmes parties d'a, fçavoir les onze parties du premier efpace défigné par 4, & encore une onzième du fecond. J'ai dit, les onze parties du premier efpace: car chaque efpace entier contient onze onzièmes parties de cet efpace.

On peut trouver par la même méthode que s'il y a une aiguille des fecondes qui foit fur le point de midi dans le tems que celle des minutes eft au point qui mar

que la fin de la premiére minute après-midi, cette aiguille des fecondes rencontrerà celle des minutes à la cinquante-neuvième partie de la feconde minute.

42 B. On trouvera auffi en fuivant la même méthode que fi l'aiguille des heures eft fur le point de deux h. lorfque celle des minutes eft fur le point de midi, celle-ci attrapera la premiére à la fin de la feconde onzième partie de la troifiéme heure, & que fi l'aiguille des heures eft fur le point de trois heures quand celle des minutes eft au point de midi, celle-ci attrapera la premiére à la fin de la troifiéme onzième de la quatriéme heure, ainsi de fuite. Enforte que fi l'aiguille des heures étant d'abord fur le point d'une heure & celle des minutes fur midi, celle-ci attrapera la premiére, 1o. à 1a + —. 2°. à 2a . ————· 3°. à 31. ———.4°, à 4a· ++, &c. enfin 2.+ 4". à 11. Cette derniere heure est la même que midi, parce que la fraction d'heure vaut une heure. On entendra facilement que l'aiguille des minutes attrapera celle des heures à tous ces points, fi on fait attention que cette aiguille des minutes fe trouve toujours au point de midi lorfque celle des heures fe rencontre fur chacune des heures, fçavoir fur 1. fur 2". fur 3h. &c.

3

43. On pourroit réfoudre ce Problême par la remarque qui fuit le précédent fans le fecours des équations. Pour cela il faut faire attention que tandis que l'aiguille des minutes parcourra l'efpace a qui eft entre les points de midi & d'une heure, l'aiguille des heures, que j'appelle la premiére, fera la douzième partie de l'efpace depuis une heure jufqu'à deux, puifque la feconde va 12 fois plus vite que la premiére : cette douzième partie foit appellée b. De même pendant le tems que l'aiguille des minutes parcourra, celle des heures fera un autre efpace c, qui fera la douzième partie de b ; & tandis que la feconde aiguille parcourra c, la premiére fera encore l'efpace d, qui fera la douzième partie de c, ainfi de fuite à l'infini. Par conféquent tout l'efpace

qu'aura fait l'aiguille des heures quand celle des minutes l'atteindra, fera une fuite infinie de petits efpaces, dont chacun fera la douzième partie du précédent. Or l'arc a compris entre les points de midi & d'une heure eft le premier terme de la progreffion dont cette fuite infinie renferme les autres termes. Par conféquent l'efpace parcouru par l'aiguille des heures n'eft que la onziéme partie d'un arc égal au premier marqué par 4 Ainfi l'aiguille des minutes attrapera l'autre à la onziéme partie de la feconde heure.

PROBLEME VIII.

43 B. On a trois Fontaines dont la premiére remplit un vaiffeau en trois heures, la feconde le remplit en quatre heures & la troifiéme en fix heures: on demande en combien de tems les trois Fontaines coulant ensemble rempliront le même vaisseau.

Il est évident que la premiére remplira la troifiéme partie du vaiffeau en une heure, la feconde en remplira la quatrième partie en même-tems, & la troifiéme en remplira la fixième partie. Ces trois parties du vaiffeau font exprimées par les fractions,¦, qu'il faut réduire au même dénominateur afin de les ajouter enfemble: pour cet effet je multiplie les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs des deux au tres ; & je trouve, dont la fomme eft, qui marque que les trois Fontaines coulant enfemble rem pliront en une heure une partie du vaiffeau laquelle eft défignée par la fraction Je dis donc fi la partie du vaiffeau exprimée par s'emplit en une heure, en combien de tems s'emplira le vaiffeau entier qu'il faut mar quer par la fraction 2 égale à l'unité. Je fais donc la proportion: 1 heure. x heure. Or quand les frac tions ont même dénominateur elles font entre elles comme les numérateurs (Liv. II, Art. 150). Ainfi la proportion

72

portion précédente peut être changée en celle-ci, 54. 72::1.: donc le produit des extrêmes 54x est égal au produit des moyens 72; ainfix; par conféquent x=1, ou x=1; c'est-à-dire, que le vaiffeau fera rempli par les trois Fontaines coulant ensemble en une heure & un tiers d'heure, ou en une heure vingt

minutes.

72

Si on avoit marqué les trois nombres 3, 4, 6 para, ,, les trois fractions,, feroient devenues ,,, dont la fomme eft, & on auroit eu l'équation générale x=

be

abc

ac

avc

ab

abc

awc

PROBLEME IX.

au lieu de xa

43C. Connoiffant la diftance de deux corps mobiles qui fønt mus fur une même ligne & qui doivent fe rencontrer ; connoiffant auffi le rapport de leurs viteffes, trouver le point auquel ils fe rencontreront. On fuppofe que ces deux corps partent au même inftant.

Soit d la diftance connue des deux mobiles A & B mus fur une même ligne droite avec des vîteffes qui foient entr'elles comme 2 & 5. Ou bien ces deux corps tendent vers le même côté, en forte que celui qui a plus de vîteffe foit derriére l'autre, fans quoi ils ne pourroient fe rencontrer : ou bien ils avancent l'un vers l'autre. Chacun des deux cas demande une folution particuliére.

B

PREMIER CAS. Le corps A qui précéde avec une vîteffe marquée par 2 parcourt une certaine longueur que j'appelle avant d'être atteint par le par le corps B. Ce corps qui uit le premier avec la vîteffes parcourt d'abord la diftance d comprife entre les deux corps, plus la longueur x dans le même-tems que B parcourt feulement *. Il s'agit de trouver cet efpace x au bout duquel fe fait la rencontre. Pour cela, je fais attention que les

I. Partie..

f