eft

précédent du nombre inférieur, la fomme eft 1, qui ne peut être ôtée de o qui eft au-deffus ; il faut donc ajouter une dixaine à ce o, en difant: 10 & o font 10: ide 10 refte 9, que j'écris fous o, & je retiens : j'ajoute cer 1 à 5, la fomme eft 6 qui ne peut être ôtée du o qui au-deffus; c'eft pourquoi je dois ajouter une dixaine, & dire: 10 & o font 10: 6 de 10, refte 4 & je retiens 1 qu'il faut ajouter à 2, la fomme eft 3 que j'ôte de s il refte 2 que je mets au-deffous: enfin j'écris les trois chifres 607 du nombre fupérieur tels qu'ils font, parce qu'il n'y a point de chifres correfpondans dans le nombre à fouftraire.

Si les deux nombres propofés étoient complexes, ou au moins un des deux, il faudroit obferver la même méthode, en commençant par les plus petites efpeces, & allant de fuite aux plus grandes, comme on le verra dans les exemples fuivans.

EXEMPLE I.

Soit le nombre 5308 liv. 15 f. 9 den, dont il faut fouftraire 407 liv. 18 f. 6 den. Après les avoir difpofés de maniere que les livres répondent aux livres, les fols aux fols, & les deniers aux deniers en cette forte :

5308 liv. 15 f. 9 d.

407

4900

18 6

17 3

Je commence par les deniers, en difant: 6 de 9, refte 3 que j'écris fous 6 : enfuite je paife aux fols, & je dis : 18 de 15,cela ne fe peut,il faut ajouter une livre réduite en fols, (ce qui fe fait toujours quand on eft obligé d'ajouter quelque chofe aux fols) 20 & 15 35, dont j'ôte 18, il refte 17 que j'écris fous 18; après cela je paffe aux livres, & me fouvenant que j'ai ajouté un livre au nombre fupérieur, j'ajoute auffi une livre au 7 qui marque les unités de livres du nombre inferieur; ainfi je dis 1 & 7 font 8, que j'ôte du 8 qui

font

eft deffus, il refte o que j'écris fous 7 puis je continue en difanto de o refte o que j'écris au-deffous:enfuite je dis 4 de de 3,cela ne fe peut, j'ajoute 10 à 3, la fomme eft 13, de laquelle ôtant 4 il refte 9 que je pofe fous 4, & je retiens i que je ne puis ajouter à aucun chifre, n'y en ayant point avant 4, c'eft pourquoi j'ôte feulement I de il refte 4 que j'écris au-deffous de 5, & la fouftraction eft achevée.

EXEMPLE II

Soit encore le nombre 725 liv. dont il faut ôter celui ci 23 liv. 16 f. 1 1 den.

Le premier ne contenant ni fols ni deniers, il en faut ajouter par la pensée, afin de pouvoir ôter le fecond ; je fuppofe

725 1. of. od.

23

16

II

701 3

I

donc qu'il y a un fol réduit en 12 deniers (on n'ajoute jamais moins aux deniers ( & je dis 11 de 12, refte 1 que j'écris au-deffous: après quoi je passe

aux fols, me fouvenant que j'ai ajouté 1 f. ou 12 den. au nombre fupérieur, & qu'il faut par conféquent ajouter auffi un fol au nombre inférieur ; je dis donc : 1 & 16 font 17: laquelle fomme ne pouvant être ôtée de o qui eft au-deffus, il faut concevoir une livre réduite en fols, comme dans l'exemple précédent ; d'où ôtant 17, il refte 3 que je mets au-deffousde 6: je paffe enfuite aux livres ; mais ayant ajouté un livre au nombre dont on veut fouftraire, j'en ajoute auffi une au nombre à fouftraire ; je dis donc : 1 & 3 font 4, qui étant ôté de 5, il refte 1, que je pofe au-deffous: puis j'ôte 2 de 2, il refte o que j'écris dans ce rang: enfin je pose le 7 avant ce zero, n'y ayant rien qui doive en être ôté.

EXEMPLE III.

Voici un exemple de foustraction dont les nombres

contiennent des toifes, des pieds & des pouces. Nous donnons cet exemple tout fait, fans nous arrêter à l'expliquer au long: cela

letoit inutile après ce que nous avons dit dans les exemples précédens.

820 toifes 4 pieds 9 pouces.

30

789

REMARQUES.

I.

37. Dans les exemples de foustraction complexe où il ya au moins dix fols dans un des nombres, on pourroit faire la fouftraction par partie fur les fols, en ôtant d'abord les unités des unités, & enfuite les dixaines des dixaines; mais l'opération eft plus courte & plus facile en la faifant comme nous l'avons faite.

I I.

Si on avoit plufieurs nombres à fouftraire de plufieurs zutres, on pourroit 1°. ajouter tous les nombres defquels on voudroit fouftraire, en une fomme totale. 2°. Ajouter auffi tous les nombres à fouftraire pour en avoir la fomme totale. 3°. Enfin ôter la feconde de ces deux fommes de la premiere.

Il y a une autre méthode fort commune de faire la fouftraction, que nous n'expliquons pas ici , parce qu'elle n'eft pas plus facile à pratiquer que celle que Lous avons donnée, & que d'ailleurs les Commençans pourroient confondre ces deux méthodes dans l'opératon; ce qui cauferoit des fautes de calcul.

DE LA PREUVE DE LA SOUSTRACTION. 32. La preuve de la Souftraction fe fait par

l'Addi

tion, c'est-à-dire, qu'il faut ajouter le nombre à fouftraire avec le refte, & la fomme des deux fera égale au nombre dont on a fouftrait, fi la fouftraction eft bien faite. La raifon en eft que le nombre à fouftraire & le refte font les deux parties du nombre total dont on veur fouftraire; par conféquent en ajoutant ces deux parties ensemble, il en réfultera une fomme égale au tout, c'està-dire, au nombre dont on vouloit fouftraire. Nous allons donner la preuve du premier exemple far les nombres complexes: On opérera en allant de bas en haut, en difant : 3 & 6 font 9, pofe 97 & 8 font 15, pofe 5, & je retiens 1 : 1 & 1 font 2, 2 & 1 font 3, dont je retranche i que je pofe, & je retiens 1, qui eft la moitié du refte 2. Je dis donc 1 & 7 font 8, pofe 8. Je continue de la même maniere fans écrire la fomme, parce qu'elle eft écrite en haut.

33.

I

9. d.

5308 1.
407 18 6

4900 17 3

DEMONSTRATION DE LA SOUSTRACTION.

On fe propofe dans la Souftraction de trouver le reste du nombre dont on veut fouftraire, après en avoir ôté le nombre à fouftraire. Or en fuivant la regle qu'on a donnée, on trouvera ce refte; puifque felon cette regle on prend le refte des unités, celui des dixaines, celui des centaines, celui des mille, &c. Donc on trouvera le refte du nombre dont il faut fouftraire, lequel refte exprime l'excès de ce nombre fur l'autre que l'on vouloit fouftraire.

Dans cette démonstration on n'entre pas dans les raifons de la pratique du troifiéme cas (30), fondée fur l'axiome de l'art. 28, parce que ce que nous avons dit en expliquant ce troifiéme cas fuffit pour en faire fentir

la raifon.

DE LA MULTIPLICATION.

34. Multiplier un nombre par un autre, c'eft pren. dre le premier autant de fois qu'il eft marqué par le fecond: par exemple, multiplier 5 par 3, c'eft prendre 5 autant de fois qu'il eft marqué par 3, c'est-à-dire, trois fois : ce qui fait 15. Il y a donc trois nombres à diftinguer dans la Multiplication; fçavoir, le multiplicande, le multiplicateur & le produit. Le multiplicande ou le multiplié eft le nombre qu'on multiplie : dans l'exemple propofés eft le multiplié. Le multiplicateur eft celui par lequel on multiplie, comme 3 dans le même exemple. Le produit eft le nombre qui réfulte de la multiplication ; ainfi 15 eft le produit de 5 par 3.

pro

35. On peut définir la multiplication, une opération par laquelle on trouve un nombre, qu'on nomme duit, qui contient autant de fois le multiplié, que le multiplicateur contient l'unité : par exemple, fi on multiplie par 8, on trouvera pour produit un nombre, fçavoir, 72, qui contient 9 huit fois, de même que 8 contient huit fois 1. Cela eft évident par l'expreffion même dont on fe fert dans la multiplication, puifque pour multiplier 9 par 8, on dit huit fois 9; ainfi le produit doit contenir 9 huit fois, c'eft-à-dire, autant de fois que 8 contient l'unité.

36. Il fuit de la notion de la multiplication, que quand le multiplicateur eft plus grand que l'unité, pour lors le produit eft plus grand que le multiplicande autant de fois qu'il eft marqué par le multiplicateur: par exemple, en multipliant 9 par 8, on trouve le produit 72, qui eft huit fois plus grand que le multiplicande.

Il y a deux fortes de Multiplications, la fimple & la compofée. La multiplication fimple eft celle dont le multiplicateur eft exprimé par un feul chifre: telle eft la multiplication de 264 par s. La multiplication compofée