cande, il faudroit faire la multiplication, comme s'il n'y avoit point de zeros à la fin de l'un, ni de l'autre, & ajouter au produit total la fomme des zeros qui fe trouveroient après tous les chifres pofitifs du multiplicande & du multiplicateur : voici un exemple.

S'il n'y avoit des zeros qu'à la fin du multiplicande, on voit bien qu'on pourroit encore abréger l'opération de la même maniere, en mettant les zeros du multiplicande à la fin du produit total. Exemple.

5302000 6400

21208

31812

33932800000

5302009 64

21208

31812

339328000

52. Remarquez qu'il ne s'agit ici uniquement que des zeros qui font après tous les chifres pofitifs du multiplicande & du multiplicateur; c'eft pourquoi le zero qui dans l'avant dernier exemple eft entre le 3 & le 2 du multiplié, ne doit pas être mis à la fin du produit total: mais on doit opérer fur lui felon les règles ordi

naires.

53. Afin d'entendre les raifons de toutes ces manieres abrégées de faire la multiplication, il faut fçavoir qu'en mettant un zero à la fin d'un nombre, on le rend dix fois plus grand; fi on en met deux, on le rend cent fois plus grand, &c. Par exemple, en écrivant un zero à la fin de 5032, il vient 50320, qui vaut dix fois plus que le premier: car dans ce nombre 50320, le 2 vaut des dixaines, le 3 des centaines, les des dixaines de mille; au lieu que dans le premier nombre 5032 le 2 ne vaut que des unités, le 3 que des dixai3 nes, les que des mille; il eft donc évident que chaque chifre du fecond nombre vaut dix fois plus que dans le premier. Si on mettoit deux zeros à la fin de 5032, chaque chifre vaudroit cent fois plus, fi on en mettoit trois, il vaudroit mille fois plus, &c.

54. De-là il fuit felon le premier cas, que pour multiplier 5032 par 100, il n'y a qu'à écrire à la fin du multiplicande les deux zeros du multiplicateur car le produit de 5032 par 100 eft un nombre cent fois plus grand que 5032 (36). Or en écrivant deux zeros à la in du multiplicande 5032, on rend ce nombre cent fois plus grand.

55. C'eft par le même principe qu'on rend raison du fecond cas : car quand on a multiplié 2045 par 36, le produit 73620 s'eft trouvé cent fois plus petit que le véritable, parce que ce n'étoit pas par 36 qu'il falloit multiplier, mais par 3600 qui eft cent fois plus grand que 36; il falloit donc rendre le produit 73620 cent fois plus grand; & par conféquent il a fallu y ajouter à la fin les deux zeros du multiplicateur.

56. Il fuit de-là que dans la multiplication compofée, il faut écrire le dernier chifre de chaque produit particulier, au rang du chifre par lequel on multiplie : par exemple, fi le multiplicateur eft 546, il faut mettre le dernier chifre du troifiéme produit particulier au rang des centaines: car le multiplicateur qui a formé ce troifiéme produit eft le chifres qui fignifie soo; par conféquent après avoir multiplié par 5, il faut ajouter deux zeros au produit. Or, en écrivant le dernier chifre au rang des centaines, on fait la même chose que fi on on ajoutoit deux zeros au produit.

57. Le Troifiéme cas fe démontre auffi comme les deux premiers. Suppofez, par exemple, qu'on veuille multiplier 340 par 400: fi on multiplioit les chifres pofitifs du multiplicande par celui du multiplicateur, & qu'au produit 136 on ajoutât seulement les deux zeros du multiplicateur, le nombre 13600 ne feroit le produit que de 34 par 400. Or ce n'étoit pas feulement 34.qu'il falloit multiplier, c'étoit 340, qui eft dix fois plus grand; par conféquent le produit 13600 eft dix fois trop petit ; il faudroit donc le rendre dix fois plus grand;

& par conféquent mettre à la fin le zero qui eft au dernier rang du multiplicande.

un

COROLLAIRE PREMIER.

58. Il fuir du troifiéme cas que quand on multiplie chifre par un autre, il y a après le produit autant de rangs, qu'il y en a tant après le chifre multiplié, qu'après celui du multiplicateur, par exemple, fi on multiplie 50000 par 300, il faut qu'il y ait après le produit des chifres pofitifs, autant de zeros qu'il y en a tant après 5 qu'après 3, c'est-à-dire fix; ainfile vrai produit de soooo par 300 est 15000000..

Cela n'eft pas feulement vrai lorfque les chifres font fuivis de zeros, comme dans l'exemple propofé; mais auffi quand ils font fuivis d'autres chifres : fuppofez qu'on ait à multiplier 57902 par 364, il fe trouvera dans le produit total fix rangs après le produit partiel du 5 premier chifre du multiplicande par le 3 du multiplicateur, puifque dans le multiplié les fignifie réellement 50000, & que dans le multiplicateur le 3 exprime auffi 300. Par la même raifon le produit partiel du troifiéme chifre 9 par le fecond 6, fera auffi fuivi de trois rangs dans le produit total, parce qu'il y en a deux dans le multiplié après 9, & un dans le multiplicateur après 6.

COROLLA IRE II.

59. Si on multiplioit le nombre 57902 par lui-même, le quarré particulier de chaque chifre auroit après lui. dans le quarré total, le double de rangs qu'il y en a après ce chifre dans le nombre : par exemple, le quarré particulier de 5 auroit le double de 4, c'eft à-dire, huit rangs après lui dans le quarré total du nombre $7902, parce que s a quatre rangs après lui dans ce nombre. De même le quarré particulier de 7 auroit le double de 3, c'est-à-dire, fix rangs après lui dans le quarré total du même nombre 57902, parce qu'il y a trois rangs après

le dans ce nombre, ainsi des autres. C'est une fuite evidente du précédent Corollaire ; car le même nombre étant multiplicande & multiplicateur, il y a autant de rangs après le chifre qu'on multiplie, qu'après celui qui fert de multiplicateur, puifque c'eft le même chifre du même nombre; ainfi dans l'exemple propofé, y ayant quatre rangs après le s confidéré comme multiplicande, ilyen auffi quatre après ce mêmes confidéré comme multiplicateur; par conféquent il doit y avoir huit rangs dans le quarré total après le produit des par s, c'eftà dire, le quarré particulier de 5. C'est la même raifon pour le 7 & les autres chifres fuivans,

COROLLAIRE III.

60. Le produit de deux nombres contient fouvent autant de chifres qu'il y en a tant au multiplicande qu'au multiplicateur, il en contient quelquefois un de moins; mais il ne peut jamais en contenir plus. Ainfi le produit qui vient de la multiplication de deux nombres dont Fun a trois chifres, & l'autre deux, peut être compofé des chifres, ou feulement de 4, mais il ne peut en avoir fix. Par exemple le produit de 999 par 99 a cinq chifres: mais quoique le multiplicande & le multiplicateur contiennent les plus grands chifres qu'il foit poflible, le produit ne peut avoir fix chifres : car le produit de 999 par 99 eft moindre que celui de 999 par 100. Or le produit de 999 par 100 eft 99900 qui ne contient que cinq chifres; par conféquent le produit de deux nombres, dont l'un eft compofé de 3 chifres & l'autre de deux ne peut en contenir plus de cinq. Il cft pareillement certain que le produit de deux nombres, dont l'un a trois chifres, & l'autre deux, peut n'en contenir que quatre: tels font les produits de 999 par 10, & de 345 par 26.

Nous n'avons parlé jufqu'à préfent que de la multiplication des nombres incomplexes; nous ne traiterons

de celle des nombres complexes qu'après la divifion parce que nous nous fervirons de la divifion pour trouver le produit de ces fortes de nombres.

DE LA DIVISION.

61. Divifer un nombre par un autre, c'est chercher combien de fois le fecond eft contenu dans le premier : par exemple, divifer 18 par 6, c'eft chercher combien de fois 6 eft contenu dans 18. Pour faire cette opération, on dit : En 18 combien de fois 6, on trouve qu'il y eft contenu trois fois ; ainfi 3 exprime combien de fois 6 eft contenu dans 18. Il y a donc trois chofes à diftinguer dans la divifion, fçavoir le dividende, le divifeur, & le quotient. Le dividende eft le nombre à divifer: le divifeur eft celui par lequel on divife ; & le quotien est le nombre qui marque combien de fois le divifeur eft contenu dans le dividende : dans l'exemple propofé, 18 est le dividende, 6 est le diviseur, & 3 est le quotient.

62. On peut donc définir la divifion, une opération par laquelle on trouve un nombre, qu'on appelle quotient, qui marque combien de fois le dividende contient le divifeur: fi on divife 30 par 5, on trouve pour quotient 6, qui marque combien de fois le dividende 30 contient le divifeur 5, c'eft-à-dire, fix fois.

:

63. Il fuit de cette définition, que dans la division le dividende contient autant de fois le divifeur que le quotient contient l'unité dans l'exemple qu'on vient de propofer, le dividende 30 contient le divifeur autant de fois que le quotient 6 contient l'unité; car le quotient qui marque toujours combien de fois le dividende contient le divifeur étant ici 6, le dividende 30 contient 6 fois le diviseurs ; de même que le quotient 6 contient fix fois 1.

64. De ce que le quotient défigne combien de fois