S'il ne reftoit rien après la fouftraction faite fur un des membres, alors le feul chifre abbaiffé feroit le membre fuivant ; c'est ce qui eft arrivé dans l'exemple précédent, dont le 8 feul a été le quatriéme membre, parce qu'il n'eft rien refté après la foustraction du troisième.

I I.

71. A mesure qu'on defcend quelque chifre, il est à propos de l'effacer par un petit trait oblique dans le nombre à divifer, afin de ne point confondre ceux qui ont été abbaiffés avec les fuivans, comme il pourroit arriver, fur-tout quand il y a plufieurs chifres de fuite du dividende qui font égaux. En faifant la divifion des exemples fuivans, nous ne rappellerons pas cette marque, lorfqu'il faudra en faire l'application, de peur de trop allonger le difcours.

III.

72. La preuve de cette opération fe fait en multipliant le divifeur par le quotient ou le quotient par le divifeur, car le produit doit être égal au dividende. Or le quotient n'eft pas toujours un nombre entier, quoique le dividende & le divifeur foit tels, je veux dire des nombres entiers. Souvent il y a un reste après la fouf. traction que l'on fait fur le dernier membre, comme dans l'exemple fuivant, où l'on trouvera le reste 5 : pour lors le quotient eft le nombre entier que l'on a trouvé, plus une fraction dont le numérateur eft le refte, & le dénominateur eft le divifeur : ainfi dans l'exemple fuivant le quotient eft 50340 plus la fraction. On a cependant coutume de dire que le quotient eft le nombre entier qu'on trouve,& qu'il y a un refte. Pour éviter l'équivoque on peut dire que le nombre entier trouvé eft le quotient partiel, & que le nombre entier joint à la

fraction eft le quotient total. Lorfqu'il y a un refte il faut pour faire la preuve, multiplier le divifeur par le quotient partiel, & ajouter le reîte au produit, la fomme eft égale au dividende, quand la divifion eft bien faite, parce que cette fomme eft la même chofe que le produit du divifeur par le quotient total, comme on le comprendra aifément, loifqu'on fçaura le calcul des

fractions.

I V.

73. On ne peut jamais mettre plus de 9 au quotient pour chacun des membres de la divifion. On donnera dans la fuire la raifon de cette derniere remarque.

La définition de l'article 69 & les quatre remarques ont lieu dans la divifion compofée, comme dans la divifion fimple.

Afin de faire mieux entendre l'application des regles de la divifion, nous diftinguerons les différens membres, & nous appliquerons les trois regles à chacun de ces membres en particulier.

EXEMPLE II.

Soit le nombre 302045 à divifer par 6.

Premier Membre de la Divifion.

Voyant que le premier chifre 3 du dividende eft plus petit que le divifeur 6, je prends 30 pour premier membre felon la premiere remarque (70); & je dis : en 30 combien de fois 6 ? cinq fois; je pofe doncs au quotient ; & je multiplie 6 par 5, le produit eft 30, qui étant ôté du premier membre, il ne refte rien.

Second Membre.

J'abbaisse le 2 du dividende, qui fera feul le fecond

membre de la divifion, après quoi je dis : en 2 combien de fois 6 mais le divifeur n'étant pas contenu dans le dividende partiel, qui eft 2, j'écris o au quotient (68): la multiplication du divifeur par o, & la fouftraction étant inutiles; il restera 2.

Troifiéme Membre.

Je tranfporte le chifre fuivant du dividende, qui est o, à côté du refte 2; ce qui donnera 20 pour le troifiéme membre; je dis enfuite en 20 combien de fois

6 trois fois; je pofe 3 au quotient, & je multiplie 6 par le produit 18 étant ôté de 20 il refte 2, qu'il faut écrire fous o.

Je defcens le

Quatrieme Membre.

4 du dividende à côté du refte 2: ce qui fait 24 pour le quatrième membre ; je dis donc : En combien de fois ? quatre fois : je pose 4, au quotient; & ayant multiplié 6 par4, je fouftrais le produit 24 de ce quatriéme membre, il ne refte rien.

24

Cinquiéme Membre.

Enfin j'abbaiffe les du dividende, qui fera feul le cinquiéme membre, n'y ayant point eu de refte du précédent ; je dis donc : En cinq combien de fois 6: le diviseur n'étant pas contenu dans ce membre, je mets zero au quotient (68); mais la multiplication & la fouftraction étant pour lors inutiles, il reftes du dividende qu'il faut féparer par un petit arc, & la divifion eft achevée.

EXEMPLE III.

Soit le nombre 3780269 à divifer par 7. Nous ne mettons ce troifiéme exemple qu'à caufe de deux zeros qu'il faut écrire de fuite au quotient;c'eft pourquoi nous n'expliquerons que ce qui regarde ces deux zeros; car on verra affez comment doit fe pratiquer le refte de la division, après ce qui a été dit dans les exemples précé

combien de fois le divifeur 7 eft contenu dans le 2, qui eft le quatriéme membre mais comme le divifeur n'eft point contenu dans ce membre, on met un fecond zero au quotient; enfuite on abbaiffe le 6 du dividende à côté du 2; ce qui donne 26 pour le cinquième membre; on cherche donc combien de fois le divifeur eft contenu dans 26 ; & comme il y eft contenu trois fois, on écrit 3 au quotient, & on fait tout le refte comme dans les exemples précédens.

Nous n'avons pas écrit le produit du divifeur par chacun des chifres du quotient pour en faire la fouftraction: ainfi dans le fecond exemple, après avoir mis au quotient le premier chifre s, on a multiplié le divifeur 6 par 5 : ce qui a donné le produit 30, que l'on a fouftrait du premier membre 30, fans l'avoir écrit au deffous de ce membre, comme on auroit pu faire mais dans la divifion compofée nous écrirons toujours ces produits fous les membres dont ils doivent être fouftraits,afin que l'on foit moins expofé à faire des fautes de calcul dans la fouftraction : ce qui arriveroit plus facile

:

ment que dans la divifion fimple, ou les produits font fort petits, n'étant jamais compofés de plus de deux chifres.

Avant de paffer à la divifion compofée, il eft à propos de refaire plufieurs fois les exemples que l'on vient de donner, & fur-tout le fecond & le troifiéme, qui contiennent des zeros au quotient; on doit auffi fe donner des exemples: & afin de voir fi on ne fe trompe point dans l'application des regles, il faut multiplier un nombre, tel qu'on voudra, par un feul caractere, & prenant le produit qui en viendra pour dividende, & le multiplicateur pour divifeur, il doit venir au quotient le même nombre qui a fervi de multiplicande; ainfi il fera facile de voir fi on fe trompe en faisant la division. On peut faire la même chofe pour la divifion compofée, pourvu que le multiplicateur contienne plufieurs chifres.

DE LA DIVISION COMPOSÉE.

Nous avons dit que lorfqu'il y a plufieurs cifres au divifeur, pour lors la divifion étoit appellée compofée. 74. On trouve les différens membres de cette divifion de la maniere qui a été expliquée (70), & on applique fur chacun les trois regles de la divifion fimple, c'eft-à-dire, qu'il faut 1°. chercher combien de fois le divifeur eft contenu dans chaque membre de la divifion, & écrire au quotient le caractere qui marque combien de fois le divifeur entier eft contenu dans le membre fur lequel on opére; 2°. multiplier tout le diviseur par le caractere qu'on vient d'écrire au quotient ; 3°. ôter le produit de cette multiplication du dividende parriel. Nous allons faire des remarques & donner des exemples de la divifion compofée, qui feront concevoir comment fe fait l'application de ces regles.