le cinquième, on ajoutera le premier au quatrième, & de même pour avoir le fixième, il faut ajouter le premier au cinquième : ainfi des autres. Et pour s'allurer qu'on ne s'eft pas trompé, il fera bon de multiplier le premier par9, le produit doit être le même que le neuviéme qu'on aura trouvé par l'addition.

82. Entre plufieurs maniéres de faire la divifion compofée, nous avons choifi celle qui vient d'être expliquée, parce qu'elle eft plus facile à entendre, & que d'ailleurs elle paroît moins fujette aux fautes de calcul que les autres : ce qui eft d'une grande conféquence. Au refte, lorfque le quotient ne doit être compofé qu'environ de trois ou quatre caracteres, il feroit plus court de ne faire l'épreuve que par la pentée, & de commencer la multiplication du divifeur vers la gauche, en faifant la fouftraction en même-tems fans rien écrire la fouftraction fe fait de la même maniere que pour la preuve de l'addition. On va appliquer cette méthode fur un exemple.

:

Si je veux divifer 843067 par 2965, je dis : en huit combien de fois 2 ? il y eft quatre fois : j'éprouve donc 4 en commençant à multiplier le divifeur vers la gauche, & en faifant en même-tems la fouftraction de la maniere fuivante : Quatre fois deux font huit ; j'ôte ce produit 8 du premier chifre du dividende auquel répond le 2 du divifeur, & il ne refte rien ; je multiplie enfuite le 9 du divifeur par 4: mais le produit ne pouvant être ôté du 4 du dividende, il eft vifible que ce chifre éprouvé, fçavoir 4, n'est pas bon; j'éprouve donc le 3 de la même maniere, & je dis : Trois fois deux font fix, j'ôte 6 de 8, il refte 2, qu'il faut joindre par la pensée avec le 4 fuivant du premier membre, ce qui fait 24: enfuite je dis : trois fois 9 font vingt-fept, que je ne puis ôter de vingt-quatre, ainfi le chifre ainfi le chifre n'eft pas encore bon. J'éprouve donc le 2 en difant : Deux fois z font 4, que j'ôte de 8, il refte 4, qu'il faut join

I. Partie.

3

843067 C 2965

5930

284

dre par la pensée avec le 4 suivant, & la fomme eft 44Après cela je multiplie 9 par 2, & j'ote le produit 18 de 44; & voyant qu'il refte plus de 9,je fuis affuré que 2 eft bon, c'eft pourquoi je fais la multiplication du divifeur par 2 à l'ordinaire,en commençant à la droite, &en écrivant le produit: après quoi je fais la fouftraction & j'écris le refte,comme il a été pratiqué dans la méthode dont on s'eft fervi ci-deffus.

25006
23720

12867
11860

1007

La fouftraction étant faite, & le chifre fuivant du dividende étant abbaiffé, le fecond membre eft 25006 fur lequel je fais l'épreuve comme fur le premier : je dis donc en 25 combien de fois 2?on ne peut mettre que 9; ainfi j'éprouve 9 en difant: Neuf fois deux font 18, que j'ôte de 25, il refte 7, je joins par la pensée le refte 7 au zero fuivant du fecond membre; ce qui fait 70 après quoi je multiplie le 9 du divifeur par le 9 éprouvé: mais le produit ne pouvant être ôté de 70 ; je conclus que le 9 n'eft pas bon. J'éprouve donc le 8 en difant Huit fois deux font 16, que j'ôte de 25, il refte 9 ; ainfi je fuis affuré que le chifre éprouvé eft bon; c'est pourquoi je multiplie le divifeur entier par 8, & j'écris le produit; je fais enfuite la fouftraction en écrivant auffi le refte. On fera l'épreuve de la même maniere fur le troifiéme membre de la divifion.

83. Après avoir fini l'épreuve pour chaque chifre du quotient, on pourroit faire la fouftraction à mesure qu'on multiplie chaque chifre du divifeur fans écrire le produit. Nous allons le pratiquer par rapport au premier chifre du quotient qui eft deux : deux fois 5 font 10, 10 de o ne peut, ainfi je dis, 10 de 10 refte o que j'écris, & je retiens 1. Puis je dis, deux fois 6 font 12,

& que j'ai retenu c'eft 13; 13 de 3 ne peut; 13 de 13 refte o que j'écris au-deffous de 3, & je retiens 1. Je dis enfuite, 2 fois 9 font 18 & 1 que j'ai retenu font 19, 19 de 4 ne peut, 19 de 24 refte 5 que j'écris, & je retiens 2 : enfin je dis, 2 fois 2 font 4, & 2 que j'ai retenu font 6, 6 de 8 refte 2 que j'écris. On fait de même pour les autres chifres du quotient mais en pratiquant la ainfi multiplication & la fouftraction, on rifque plus de fe tromper qu'en écrivant le produit pour faire enfuite la fouftraction.

DÉMONSTRATION DE LA DIVISION.

84 Divifer un nombre par un autre, c'eft en chercher un troifiéme, qu'on nomme quotient, qui expri me combien de fois le divifeur eft contenu dans le dividende. Or en fuivant les regles de la divifion, on trouve pour quotient un nombre qui exprime combien de fois le divifeur eft contenu dans le dividende : car pour voir combien de fois un nombre eft contenu dans un autre, il n'y a qu'à fçavoir combien de fois le premier peut être ôté du fecond. Or en fuivant les regles de la divifion, on trouve pour quotient un nombre qui exprime combien de fois le divifeur peut être fouftrait du dividende, puifqu'à chaque chifre qu'on écrit au quotient, on doit multiplier le divifeur par ce chifre, pour en fouftraire le produit du dividende: par exemple, fi on divife 100 par 4, il fe trouvera à la fin de l'opération, qu'on aura multiplié 4 par 25, & qu'on aura fouftrait le produit, c'est-à-dire, 25 de 100 ; & par conféquent le divifeur eft retranché du dividende autant de fois qu'il y a d'u→ nités dans le quotient; d'ailleurs le divifeur est retranché du dividende autant de fois qu'il y eft contenu, puifque felon les regles de la divifion, le refte, s'il

fois 4

y en

a, eft toujours moindre que le divifeur. Donc le quo tient exprime combien de fois le divifeur peut être ôté du dividende, ainfi il marque combien de fois le divifeur eft contenu dans le dividende. Ce qu'il falloit dé

montrer.

85. Les Commençans pourroient être embarraffés pour comprendre comment dans la pratique de la divifion, le divifeur est ôté du dividende autant de fois qu'il eft marqué par le quotient : fuppofé, par exemple, que le dividende foit 4578 & le divifeur 6, le quotient fera 763. Or il ne paroît pas d'abord qu'en fuivant les regles de la divifion, le divifeur 6 ait été ôté du divid 763 fois, parce que pour le premier membre de la divifion, on n'a multiplié le divifcur 6 que par 7, après quoi on a ôté le produit, c'cft-à-dire 7 fois 6 du divid. pour le fecond membre on n'a fouftrait le div. 6 que 6 fois du divid., ou ce qui eft la même chofe, le prcduit du divifeur par le fecond chifre 6 du quotient ; enfin pour le troifime membre on en a encore ôté le divifeur trois fois du dividende : on a donc ôté le divifeur du dividende feulement 16 fois; fçavoir, 7 fois pour le premier membre, 6 fois pour le fecond, 3 fois pour le troifiéme ; ce qui fait en tout 16 & non pas 763.

Pour faire évanouir cette difficulté, il faut confidérer de quelle maniere fe fait la fouftraction dans la divifion. Quand pour le premier membre on a ôté du dividende le produit de 6 par 7, c'est-à-dire 42 on a fait comme fi on avoit voulu fouftraire 4200 produit de 6 par 700, puifque pour fouftraire 4200 de 4578, il faudroit difpofer ces deux nombres, en forte que 42 répondit à 45, & pour lors on trouveroit pour refte 378 qui eft le même nombre qui eft refté du dividende entier après la premiere fouftraction; ainfi par cette fouftraction on a ôté 700 fois le divifeur 6 du dividende: de même par la feconde fouftraction de la divifion on a ôté du dividende le produit du divifeur 6 par

6o qui eft 360; enfin pár la troifiéme souftraction on a ôté du dividende qui reftoit, trois fois le diviseur, c'està-dire, le produit de 6 par 3; il eft donc certain que le divifeur a été ôté du dividende en faifant la divifion 1°. 700 fois, 2°. 60 fois, 3°. 3 fois ; ce qui fait en tout 763 fois.

86. Il eft facile de voir à préfent qu'on peut fe fervir de la divifion pour preuve de la multiplication: car le produit contenant le multiplicande autant de fois qu'il eft marqué par le multiplicateur, il est évident que fi on divife le produit par le multiplicande, le quotient fera le multiplicateur : & réciproquement fi on divife le produit par le multiplicateur, le quotient fera le multiplicande.

87. C'est par la divifion qu'on réduit une fomme de petites efpeces à de plus grandes : ce qui fe fait en divifant la fomme des petites efpeces par le nombre qui exprime combien la grande efpece contient de fois la petite, par exemple, pour réduire une fomme de deniers en fols, il faut divifer le nombre des deniers par 12, parce qu'un fol vaut 12 deniers, & le quotient fera le nombre de fols contenus dans la fomme des deniers.

La raifon de cette pratique eft que le nombre de fols que vaut la fomme des deniers eft 12 fois plus petit que le nombre des deniers, puifqu'il faut 12 deniers pour faire un fol; il ne s'agit donc pour réduire les deniers en fols, que de trouver un nombre qui ne foit que la douzième partie de celui des deniers. Or en divifant le nombre des deniers par 12, on trouve pour quotient un nombre qui n'eft que la douzième partie de celui des deniers (62 D). Donc ce quotient marquera le nombre des fols contenus dans la fomme des deniers. Nous allons donner plufieurs exemples de réduction des petites efpeces aux plus grandes.

Combien 546 deniers valent ils de fols? Il faut divifer 545 par 12, le quotient 45 & le ref