fomme des livres. Exemples. Le dixiéme de 504723 1. et 50472 liv. 6. f. Le dixiéme de 4978 liv. eft 497 1. 16 L. Le dixiéme de 4970 eft 497 liv il n'y a point de fols, parce que le double de zero n'eft rien.

i de

Il eft aifé d'appercevoir que pour avoir le dixième de 4970 liv. il faut feulement effacer le zero qui eft à la fin: car en effaçant le zero, le nombre reftant 497 eft le quotient de 4970 divifé par 10 (93): or le quotient 4970 divifé par 10 eft précisément la dixième partie de 4970 (62 D.). Donc 497 1. eft le dixième de 4970 1. ainfi quand le dernier chifre d'un nombre eft un zero ce qui reste après avoir effacé le zero eft le dixiéme du nombre propofé.

Cela pofé, je dis que le dixième de 4978 liv. eft 497 1.16 f. plus grand de 16 f. que celui de 4970 l. La raifon en eft que 4978 1. eft plus grand que 4970 1. feulement de 8 I. Or le dixième de 8 1. eft 16 fols, puifque le dixième de chaque 1. eft 2 fols: par conféquent lorfque le dernier chifre d'un nombre qui marque des livres eft pofitif, il faut prendre 2 fols pour chaque 1. marquée par ce dernier chifre, c'est-à-dire, qu'il faut edoubler ce chifre, & il défignera les fols, qui joints au nombre des livres reftant, font le dixiéme de la fomme es propofée.

Si on veut fçavoir ce qui refte de la fomme dont on a pris le dixième, il faut ôter ce dixiéme de la fomme propofée, & le refte fera ce que l'on cherche : ainfi par rapport au premier exemple, il faut ôter 50472 1. 6 f. de 504723 1., le refte fera 454250 l. 14 f.

Avant de paffer à la multiplication & à la divifion des nombres complexes, il eft à propos de faire la multiplication & la divifion par 12 en opérant de la même maniere que dans la multiplication & la divifion fimples, ce qui abbrége ces opérations, qui font fort fréquentes dans la pratique, à caufe que le fol contient 12 deniers, & que le pied fe divife en 12 pouces, &

le pouce en 12 lignes. Or pour opérer de cette maniere, il faut fçavoir les produits de 12 par les neuf premiers chifres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Voici ces produits, au

deffus def- I, 2, 3, 4,

6 7, 8

› 9.

quels nous 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84,96, 108. avons placé

les multiplicateurs.

534

12

6408

85625713

96. Cela pofé, fi je veux multiplier 534 par 12, je dirai, 12 fois 4 font 48, je pofe 8 & je retiens 4: je dis enfuite, 12 fois 3 font 36,& 4 que j'ai retenu font 40, je pole o & je riens 4 : enfin je dis, 12 fois 5 font 60, & 4 que j'ai retenu font 64, je pofe 4 & j'avance 6. Le produit est donc 6408. Pareillement, pour divifer 8562 par 12, je dis en 85 combien de fois 12?7 fois, je mets donc 7 au quotient, enfuite je multiplie 12 par 7, ce qui donne 84, & je retranche le produit 84 de 85, il refte 1 que j'écris fouss, j'abbaiffe enfuite 6 à côté du refte 1 pour avoir le fecond membre 16, fur lequel j'opére de la même maniere ; je dis donc, en 16 combien de fois 12? 1 fois, je pofe donc 1 au quotient & je multiplie 12 par 1, le produit eft 12 que j'ôte de 16, le refte eft 4 que j'écris fous 6, & j'abbaisse le 2 à côté du refte 4: le troifiéme membre eft donc 42, qui étant divifé par 12 donne ; & il refte 6. 3

16

42

(6

DE LA MULTIPLICATION DES NOMBRES Complexes.

Nous avons remis à traiter de la multiplication des nombres complexes après la divifion, parce que pour faire cette multiplication, il faut fe fervir de la divifion, comme on le verra dans la fuite.

des

Les nombres complexes font ceux qui contiennent quantités de différentes efpéces:teelle eft le nombre fuivant, 40 livres 15 fols 6 deniers, & celui-ci 26 toifes 4 pieds 10 pouces. Nous allons donner la méthode de multiplier ces nombres l'un par l'autre après la remarque fuivante.

97. Lorfqu'on cherche le prix d'une marchandise par lamultiplication, on doit toujours regarder comme le multiplicande, celui des deux nombres qui contient des quantités femblables à celles du produit: par exemple fi on cherche le prix de 12 aunes de drap à 15 1. l'aune, & qu'on multiplie les deux nombres 12 & 15 l'un par l'autre, on doit regarder 15 1. comme le multiplicande; parce que le produit qu'on cherche exprimera des livres : & l'autre nombre, 12 aunes, eft le multiplicateur; car lorfqu'on cherche le prix de 12 aunes à 15 l. chacune il eft évident qu'il faut prendre douze fois 15 1., c'està-dire, multiplier 15 1. par 12, & par conféquent les 15 l. font le multiplicande, & le nombre 12 eft le multiplicateur. Souvent on s'énonce, comme fi le nombre qui marque le prix étoit le multiplicateur: mais on doit toujours le concevoir comme étant le multiplié.

Pour ce qui eft du multiplicateur, il faut toujours le concevoir comme un nombre pur, c'eft-à-dire, qui ne fignifie que des unités ou des parties d'unités fans appliquer l'idée d'unités à des grandeurs particulieres, comme des aunes, des toifes, des livres, des fols, &c. ainfi dans l'exemple précédent il faut multiplier 15 1. par 12, en confidérant le multiplicateur 12 comme un pur nombre contenant fimplement douze unités : car fi on confideroit 12 comme fignifiant des aunes, la multiplication feroit inintelligible,parce qu'il eft ridicule de multiplier des livres par des aunes. Cette remarque touchant le multiplicande & le multiplicateur, doit s'entendre des nombres complexes & des incomplexes, 98. Pour multiplier un nombre complexe par un au

tre, il faut 1°. réduire chacun des deux nombres à la plus petite efpece qu'il contient : 2°. multiplier l'un par l'autre les deux nombres réduits : 3°. divifer le produit de cette multiplication par le nombre qui exprime combien de fois la plus grande efpéce du multiplicateur contient la plus petite; & le quotient fera le produit cherché. Mais ce produit fera feulement exprimé en la plus petite efpece du multiplicande, c'est-à-dire, en deniers, fi le multiplicande a été réduit en deniers. On pourra, fi l'on veut, réduire ce produit en fols, & enfuite en livres, par le moyen de la divifion. Tout cela s'entendra par des exemples.

EXEMPLI I.

On demande combien valent 4 toifes 5 pieds 8 pou ces à livres 2 fols 4 deniers la toife. Pour trouver cet3 te valeur, il faut multiplier 3 l. 2 f. 4 d. par 4 par 4 toises 5 pieds 8 pouces : & afin de faire cette multiplication, 1°. je réduis 3 l. 2 f. 4 d. à la plus petite efpéce, c'est-àdire, à des deniers, la fomme eft 748. Je réduis pareillement 4 toises 5 pieds 8 pouces à la plus petite efpece, qui font les pouces ; la fomme eft 356. 2°. Je multiplie ces deux fommes 748 & 356 l'une par l'autre : le produit eft 266288. 3°. Je divife ce produit par 72, qui marque combien de fois la toife contient le pouce; & je trouve 3698 au quotient, & le refte 32 à divifer par 72; ainfi la valeur de 4 toifes 5 pieds 8 pouces eft 369 8 deniers & la fraction que l'on peut négliger, parce qu'elle ne vaut pas un denier.

32

72

Si on veut réduire 3698 deniers en fols, il faut divifer cette fomme par 12, parce que 12 d. font un fol, & on trouvera 308 f. & 2 d. de refte. Enfin il faut encore divifer 308 par 20, afin d'avoir la fomme des livres contenues dans 308 f., ce qui fe fera aisément la par méthode expliquée dans l'article 94, on trouvera 15

32

18f. Par conféquent 4 toifes 5 pieds 8 pouces à 3 1. 2.f. 4d. la toife, valent 15 l. 8.f. 2 d., & la fraction qui marque feulement quelques parties du denier.

Si le multiplicande ne contient que des livres & des fols, & qu'on ne l'ait réduit qu'en fols, & non pas en deniers, il eft à propos pour la pratique du troifiéme article de la méthode, de réduire le refte de la divifion en la plus petite efpéce, fçavoir en deniers, afin de divifer enfuite ce refte par le divifeur.

EXEMPLE II.

Combien doivent rapporter 10 l. 3.f.4d. en fuppofant qu'une livre rapporte 3 l. 2 f.6 d., il faut multiplier cette derniere fomme par le premier nombre: ainfi 1°. je réduis 3 1. 2 f. 6 d. en 750 d., & pareillement je réduis le multiplicateur 10 l. 3 f. 4 d., en 2440 d. 2°. Je multiplie 750 par 2440,le produit eft 1830000; 3°. Je divife ce produit par le nombre 240 qui exprime combien de fois la grande efpéce du multiplicateur contient la plus petite, c'eft-à-dire, combien il y a de deniers dans une livre; le quotient eft 7625 : c'est le produit cherché exprimé en deniers.

En réduifant 7625 d. en livres, on trouvera 31 1. 5 d., c'eft ce que rapporteront 10 l. 3 f. 4 d., fi chaque livre produit 3 l. 2 f. 6 d.

EXEMPLE III.

Combien valent 5 marcs 7 onces & 6 gros à 48 1.16 10 le marc. Pour trouver la fomme qu'on cherche, il faut fçavoir que le marc contient 8 onces, & l'once gros. Cela pofé, 1o. je réduis 48 l. 16 f. 10d., en 11722 d., & je réduis pareillement s marcs 7 onces 6 gros en 382 gros. 2°. Je multiplie 11722 par 382, 5 produit eft 4477804. 3°. Je divise ce produit par 64

le