PREMIERE PARTIE TRAITE' D'ARITHMETIQUE. C dans le premier, on expliquera les fix principales ETTE premiere partie renfermera trois Livres : opérations tant fur les nombres que fur les lettres: fçavoir, l'Addition, la Souftraction, la Multiplication, la Divifion, la Formation des puiffances, & l'Extraction des racines. Dans le fecond Livre, on expliquera & on démontrera d'abord les Raifons & les Proportions, & enfuite les Fractions : dans le troifiéme, on traitera des équations. LIVRE PREMIER. DES PRINCIPALES ART. I. OPERATIONS d'Arithmétique & d'Algebre. Dopérations de Parithmétique avant de traiter de celles de l'Algebre, parce que les premieres paroiffent moins difficiles & qu'elles peuvent beaucoup contribuer à l'intelligence des autres. ANS ce premier Livre nous parlerons des L'Arithmétique eft une Science qui enfeigne à faire différentes opérations fur les nombres, & qui en déles principales propriétés. 2. On fçait que plufieurs unités ou plufieurs parties de l'unité font un nombre : ainfi trois, cinquante - huit, quatre cinquiémes, &c. font des nombres. 2 3. Pour marquer les nombres on fe fert de plufieurs caracteres qui nous viennent des Arabes, on les nomme ordinairement chifres : il y en a dix; fçavoir, 1, 2, 32. 4,5,6,7,8,9, o, ce dernier ne fignifie rien quand il eft feul; mais lorsqu'il eft avec d'autres chifres, il fert à augmenter la valeur de ceux-après lefquels il fe trouve: par exemple le s ne vaut que cinq, mais s'il eft fuivi de o en cette maniere so, il vaut cinquante. On verra par les remarques fuivantes, qu'on peut avec ces dix caracteres exprimer tous les nombres poffibles: on pourroit même le faire avec plus ou moins de chifres cela eft arbitraire. Il y a apparence qu'on s'en eft tenu à dix à caufe des dix doigts dont on fe fert naturellement pour compter. REMARQUE PREMIERE ET FONDAMENTALE 4. On eft convenu que chaque chifre auroit des valeurs différentes, fuivant le rang qu'il occupe dans un nombre; en forte que les chifres augmentent en proportion decuple en allant de droite à gauche, ou ce qui revient au même, les chifres diminuent en proportion decuple en avançant de gauche à droite : c'eft-à-dire qu'une unité d'un chifre vaut dix unités de celui qui eft immédiatement plus à droite, par exemple, dans le nombre fept mille cinq cens foixante & deux, qui fe marque en cette maniere 7562, chaque unité du 7 vaut dix unités du 5 : car les unités du 7 font des mille, puifque ce 7 marque fept mille, & les unités du s. font des centaines or un mille vant dix centaines. Pareillement chaque unite du y vaut dix unités du 6, parce que les unités du s font des centaines, & les unités du 6 font des dixaines. Enfin chaque unité du 6 vaut dix unités du 1 puifque les unités du 6 font des dixaines, & les uni és du 2 font des unités fimples. Cette remarque eft d'u ae fi grande importance, qu'elle eft le fondement des opérations de l'Arithmétique. I. I. 5. On divife les chifres qui compofent un nombre en Kanches, qui contiennent chacune trois caracteres, ex-. cepté la premiere à gauche, qui peut n'en contenir que deux, ou même un feul : c'eft en allant de droite à gauche que l'on partage le nombre en tranches, lefquelles marquent différentes parties des nombres. Voici l'ordre de ces tranches en commençant vers la droite : celle des unités, celle des mille, celle des millions, celle des milliards, celle des billiards, celle des trilliards, celle des quatrilliards, &c. Dans chaque tranche on diftingue trois rangs; le premier, qui eft le plus à gauche, eft celui des centaines; le fecond, celui des dixaines, & le troifiéme, celui des unités: on peut voir tout cela dans le nombre fuivant. Trilliards, Billiards, Milliards, Millions, Mille, Unités 6. On peut bien juger après ce que nous avons dit dans les remarques précédentes, que quoique chaque tranche contienne des centaines, des dixaines & des unités ; cependant une tranche fignifie des parties de. nombre fort différentes de celles d'une autre tranche; par exemple, la tranche des millions marque des cen- taines, des dixaines & des unités de millions; celle des mille fignifie des centaines, des dixaines & des unités de mille; ainfi des autres, comme nous l'avons marqué au-deffus des tranches dans le nombre précédent, Quand nous difons que chaque tranche contient trois rangs ; fçavoir, des centaines, des dixaines & des unités, il en faut excepter la premiere à gauche, qui peut ne contenir que des dixaines & des unités, ou des unités feulement, s'il n'y a qu'un chifre dans cette tranche. 6 B. Il paroît par ces remarques que chaque chifre qui compofe un nombre, a deux valeurs, une propre & abfolue, l'autre relative. La valeur propre ou abfolue d'un chifre, cft celle qu'il a étant confidéré feul indépendamment des autres qui l'accompagnent. La valeur relative eft celle qui convient à un chifre, eu égard au Fang qu'il tient dans un nombre: par exemple, dans le nombre 7562 la valeur abfolue du 7 eft fept, & fa valeur relative eft fept mille. Pareillement la valeur abfolue du s eft cinq, & fa valeur relative eft cinq cens. La valeur abfolue d'un chifre eft toujours la même ; mais fa valeur relative change felon les différens rangs qu'il tient. I V. 7. Quand on nomme les rangs en particulier, par exemple, ceux des milliards, on dit centaines de milliards, dixaines de milliards, mais il feroit inutile de dire, unités de milliards; on dit feulement milliards: de même pour la tranche des millions, on dit, centaines de millions, dixaines de millions, & millions, au lieu d'unités de millions; ainfi des autres. Pour ce qui oft de la derniere tranche, qui eft celle des unités, on dit feulement, centaines, dixaines & unités, parce qu'il cft inutile de dire, centaines d'unités, dixaines d'unirés, & unités d'unités, ou unités fimples. La dénomination propre à chaque tranche signifie un nombre qui vaut mille fois plus que celui qui eft exprimé par le nom de la tranche fuivante : ainfi un billiard vaut mille milliards, un milliard vaut mille millions, un million vaut mille fois mille, & enfin un mille vaut mille unités. Tout cela pofé, il ne fera pas difficile de concevoir comment on peut nommer un nombre marqué par des chifres, & comment on peut auffi marquer des chifres un nombre propofé : ces deux méthodes s'appellent numération; nous allons les expliquer. par 8. Pour nommer ou énoncer un nombre marqué en chifres, il faut 1°, le partager en tranches, en commençant vers la droite; en forte que chaque tranche contiennetrois chifres, excepté la premiere, c'est-à-dire, celle qui eft la plus à gauche, qui pourra n'en contenir que deux, ou même un feul. 2°. Ne prononcer le terme propre à chaque tranche, que quand on eft venu au rang des unités, lequel rang eft toujours le dernier à droite dans la tranche. 3°. Quand il fe trouve des zeros dans quelques rangs, il ne faut point nommer les parties des nombres qui conviennent à ces rangs : par exemple, foit le nombre 45782539, 1°. Je le partage en trois tranches par des virgules en cette maniere, 45 › 782, 539; la premiere tranche, qui eft celle des millions, ne contient que deux chifres, fçavoir 45; la feconde, qui eft celle des mille, contient ceux-ci 782; la troifiéme enfin contient les trois derniers 539. 2o. Je ne prononce le terme propre à chaque tranche que quand j'en fuis venu aux unités; ainfi je ne dirai pas pour la premiere tranche, quarante millions, enfuite cinq millions: mais je ne nommerai millions qu'après avoir exprimés, qui eft au rang des unités de millions; je dirai donc, quarante-cinq millions: de même pour la feconde tranche, je ne dirai pas, fept cens mille, enfuite quatre-vingt mille, & enfin deux mille; mais je dirai, fept cent quatre-vingt-deux mille: pour la derniere |