Fig. 29. leurs la fimilitude des triangles dAf & BAC donne auffi les proportions Ad. Af:: AB. AC. & Ad.df:: AB. BC. Or dans la premiere & la troifiéme proportion, la feconde raison eft la même ; par conféquent les premieres raifons font égales, c'eft-à-dire, que ab.ac:: Ad. Af, & alternando, ab. Ad: : ac. Af. Ainfi puifque ab Ad, il s'enfuit que ac―Af. On conclura pareillement de la feconde & de la quatrième proportion que bcdf. Les trois côtés du triangle bac font donc égaux aux trois côtés du triangle dAf; par conféquent ces deux triangles font égaux en tout (33). Ainfi le triangle bac eft femblable au triangle BAC.

-2 -2

60. On peut remarquer ici que quand deux triangles font femblables, les quarrés des côtés homologues font proportionnels par exemple, dans la Figure 28, Voyez ca. CA:: db. CB: car les deux triangles étant femArt. 41. blables, on a la proportion ca.CA:: cb. CB; & par conféquent les quarrés de ces côtés font auffi proportionnels. Cette remarque a lieu toutes les fois que quatre lignes font proportionnelles, parce qu'on a démontré dans le traité des proportions, que lorfque quatre grandeurs font proportionnelles, leurs quarrés le font auffi. Il en eft de même des cubes & des autres puiffances femblables.

COROLLAIRE

61. Il paroît évidemment par les démonftrations des trois précédens Théorêmes, que fi un triangle eft femblable à un autre, & que l'un des côtés du premier foit égal au côté homologue du fecond, les autres côtés du premier font égaux aux autres côtés du fecond; & par conféquent (33) les deux triangles font égaux en tout. Cela a déja été démontré ( 27 ).

Ces quatre Théorêmes fervent à trouver les côtés & les angles d'un triangle dont on connoît déja trois chofes: fçavoir, ou deux angles & un côté, ou deux côtés & un angle, ou les trois côtés. Nous ferons voir dans

la Trigonométrie comment il faut s'y prendre pour trouver le refte d'un triangle dont on connoît les trois chofes que nous venons de marquer.

Lorfqu'un triangle eft rectangle, le côté opposé à l'angle droit eft nommé hypoteneufe: par exemple, dans la Figure 30 le côté BC oppofé à l'angle droit eft l'hypotenufe de ce triangle.

THEOREME V.

62. Si du fommet de l'angle droit d'un triangle rectangle, on abbaisse une perpendiculaire fur l'hypotenuse, le triangle fera divifé en deux autres femblables chacun au grand triangle, & femblables entr'eux de plus on aura trois moyens proportionnels : fçavoir les deux côtés de l'angle droit & la perpendiculaire; chaque côté de l'angle droit fera moyen proportionnel entre l'hypotenuse entiere & fa partie correfpondante, & la perpendiculaire fera moyenne proportionnelle entre les deux parties de l'hypotenuse,

fi du

Soit le triangle BAC rectangle en A: je dis que fommet de l'angle droit A, on abbaiffe la perpendiculaire AD fur l'hypotenuse, le triangle total BAC fera divifé en deux triangles; fçavoir, ADB & ADC, qui Fig. 30. font chacun femblables au grand triangle, & semblablables entr'eux : de plus on aura trois moyennes proportionnelles, 1°. La ligne AB qui eft un des côtés de l'angle droit, moyenne entre la bafe BC & la partie correfpondante BD. 2°. La ligne AC qui eft l'autre côté de l'angle droit, moyenne entre la même bafe BC & fon autre partie correfpondante DC. 3°. La perpendiculaire AD moyenne entre les deux parties BD & DC de la bafe,

DEMONSTRATION.

1°. Le triangle partiel ADB eft femblable au triangle total BAC car l'angle m du triangle partiel eft droit a caufe de la perpendiculaire AD; cet angle eft donc égal à l'angle A du grand triangle qui eft auffi droit. D'ailleurs l'angle B eft commun à ces deux triangles :

Fig. 30. il y a donc deux angles du petit triangle égaux à deux angles du grand ; donc le troifiéme angle o du petit eft égal à l'angle C qui eft le troifiéme du grand ; & les triangles font femblables; par conféquent les côtés homologues font proportionnels. Or BD côté du petit triangle eft homologue à AB côté du grand, puifque les deux angles o & C oppofés à ces deux côtés font égaux : de même AB confidéré comme côté du petit triangle, eft homologue à BC côté du grand ; parce que les angles oppofés m & A font égaux : ainfi on a la proportion BD. AB:: AB. BC; ou en faifant changer de place aux extrêmes, BC. AB :: AB. BD. Donc le côté AB eft moyen proportionnel entre BC bafe du grand triangle & fa partie BD.

2o. L'autre triangle partiel ADC eft auffi femblable au triangle total BAC:car l'angle n du triangle partiel eft droit ; & par conféquent égal à l'angle droit A du grand triangle. D'ailleurs l'angle C eft commun à ces deux triangles; donc le troifiéme angle p du petit est égal à l'angle B, qui eft le troifiéme du grand; & les deux triangles font femblables: par conféquent les côtés homologues font proportionnels.Or DC côté du petit triangle est homologue à AC côté du grand, parce que les angles oppofés p & B font égaux de même AC confidéré comme côté du petit triangle eft homologue àBCcôté du grand; parce que les angles n & A qui font oppofés à ces côtés font égaux. On a donc la proportion DC. AC:: AC. BC, ou en faifant changer de place aux extrêmes, BC. AC:: AC. DC: ainfi le côté AC du grand triangle eft moyen proportionnel entre la base BC & l'autre partie DC.

3°. Les deux triangles partiels ADB & ADC font femblables entr'eux. Cela fuit de ce qu'on vient de prouver dans les deux premieres parties de cette démonftration; l'angle o du premier eft donc égal à l'angle C du fecond; par conféquent les côtés oppofés à ces angles; fçavoir, BD dans le premier, & AD dans le fe

cond font homologues. Pareillement l'angle B du pre- Fig. 30. mier triangle eft égal à l'angle p du fecond; par conféquent les côtés oppofés à ces angles; fçavoir, AD dans le premier, & DC dans le fecond, font homologues; ainfi on a la proportion BD. AD :: AD. DC; donc la perpendiculaire AD eft moyenne proportionnelle entre les deux parties de la bafe. Il paroît donc par ce Théorême que chaque côté de l'angle droit d'un triangle rectangle eft moyen proportionnel entre l'hypotenuse entiere & fa partie correfpondante, & que la perpendiculaire eft moyenne proportionnelle entre les deux parties de l'hypotenuse coupée par cette perpendiculaire.

COROLLAIRE.

63. Si un angle infcrit, comme BAC, eft appuyé fur un diametre, & que du fommet on tire une perpendiculaire AD fur le diametre, chacune des deux cordes qui font les côtés de l'angle eft moyenne proportionnelle entre le diametre entier & fa partie correfpondante : & de plus la perpendiculaire eft moyenne proportionnelle entre les deux parties du diametre. Tout cela fuit évidemment du Théorême, puifque l'angle infcrit BAC eft droit (Liv. I. art. 127 ). La dernière partie de ce Corollaire avoit déja été démontrée Liv. I. art. 165.

THE ORÊME VI.

66. Lorfque deux figures font femblables, leurs contours on perimetres font entr'eux comme les côtés homologues des figures.

Soient les deux figures abcdefg & ABCDEFG, que l'on fuppofe femblables. Je dis que le perimetre de la premiere eft au périmetre de la feconde, comme le côté ab de la premiere eft au côté homologue AB de la feconde.

Fig. 31.

Fig. 31.

DEMONSTRATION.

Ces deux figures étant fuppofées femblables, les cô tés de l'une font proportionnels aux côtés homologues de l'autre (9); c'est-à-dire, que ab. AB :: bc. BC : : 6d. CD:: de. DE :: ef. EF:: fg. FG::ga, GA. Voilà donc plufieurs raifons égales ; par conféquent la fomme des antécédens (Théorême IV. des Proportions.) eft à la fomme des conféquens comme un feul antécédent est à fon conféquent. Or la fomme des antécédens eft le périmetre de la premiere figure; c'est-à-dire, tous fes côtés pris ensemble, & la fomme des conféquens eft auffi le périmetre de la feconde figure; donc le périmetre de la premiere figure eft au périmetre de la fefeconde, comme ab eft à AB, ou comme bc eft à BC. Ce qu'il falloit démontrer.

67. On peut remarquer que dans deux figures fem blables, les lignes correfpondantes, telles que ad & AD font proportionnelles aux côtés homologues ab & AB, ou bc & BC, ou cd & CD, &c. car ayant tiré les deux autres lignes correfpondantes ac & AC,on a deux triangles abc & ABC qui font femblables (55), parce que les côtés ab & bc du premier font proportionnels aux côtés AB & BC du fecond; & que d'ailleurs les angles cba & CBA font égaux. Or ces triangles étant fembla bles, il s'enfuit 1°. que ac. AC:: ab . AB, ou bien, ac. AC:: cd. CD, & alternando, ac.cd :: AC. CD. 2°. Que les deux angles bra & BCA font égaux ; & par conféquent les deux autres angles dea & DCA font auffi égaux à caufe que l'angle total bed eft égal à l'angle total BCD; ainfi les deux triangles acd & ACD font femblables par la même raifon que les deux premiers le font entr'eux; donc les côtés ad & AD font proportionnels aux côtés cd & CD, ou ab & AB. En continuant de la même maniere, on prouveroit que les deux côtés ae & AE font proportionnels aux côtés de & DE.

On peut fe convaincre de la même chofe indépen