telles font les lignes AC &BC; ou bien pour l'exécution d'un problême : tels font les arcs qui ont été décrits des points A & B.

PROBLEME IIJ.

30. Couper une ligne droite, comme AB, en deux parà ties égales.

Trouvez par le problême précédent, la ligne CD qui ait tous fes points également diftans des deux extrémités A & B de la ligne donnée AB; le point d'interfection M coupera la ligne donnée en deux parties égales: car ce point M étant un des points de la ligne CD, il doit être également éloigné de A & de B.

31. Il faut faire la même chofe pour couper un arc, Fig. 7. comme AB, en deux parties égales.

On enfeignera dans le problême IV, fur les lignes proportionnelles, la méthode de couper une ligne droite en plufieurs parties égales.

32. Faire paffer une circonférence par trois points donnés, Fig. 8. tels que A, B, C.

Tirez la ligne droite EF, dont les points foient également diftans des deux points A & B (28): enfuite tirez la ligne droite GH, dont tous les points foient également diftans des deux points B & C, le point K dans lequel les deux lignes fe couperont, fera le centre du cercle; enforte que fi du point K & de l'intervalle KA on décrit une circonférence, elle paffera par les trois points, A, B, C.

Pour le démontrer, il n'y a qu'à faire voir que le point K eft également éloigné des trois points A, B, C ; ce qui eft très - facile car premierement, ce point K en tant qu'il appartient à la ligne EF, eft également éloigné de A & de B, puifque par la conftruction c'est-à-dire, par la maniere dont on a fuppofé que la

ligne EF a été tirée, tous les points de cette ligne font également diftans de A & de B: fecondement, en tant Fig. 8. que le point K appartient à la ligne GH, il est également éloigné de B & de C; parce que tous les points de GH font auffi par la conftruction également diftans de B & de C ; par conféquent le point K eft également éloigné des trois points donnés : donc le problême eft réfolu.

33. Remarquez que fi les trois points donnés étoient difpofés en ligne droite, le problême feroit impoffible, parce qu'une ligne droite ne peut être coupée qu'en deux points par une circonférence.

PROBLEME V.

34. Trouver le centre d'une circonférence ou d'un ars donné.

Prenez les trois points A, B, C, dans cette circonférence, ou dans cet arc donné : cherchez par le problême précédent le centre d'un cercle qui paffe par ces trois points A, B, C, ce fera celui de l'arc propofé.

Des différentes pofitions des Lignes.

35. Nous avons d'abord confidéré les lignes droites. en elles-mêmes, fans les regarder les unes par rapport aux autres; préfentement nous allons les comparer enfemble. Lorfqu'on compare deux lignes droites l'une avec l'autre ; ou bien elles font tellement difpofées qu'elles fe rencontrent, ou du moins qu'elles fe rencontreroient fi elles étoient prolongées ; ou bien elles font difpofées de maniere, qu'elles ne fe rencontreroient jamais, quand même elles feroient prolongées à l'infini; auquel cas on les appelle paralleles. Lorfqu'elles fe rencontrent, cela peut encore arriver en deux manieres: premierement, en forte que l'une ne penche ni d'un Côté ni d'autre de celle qu'elle rencontre, & pour lors on les appelle perpendiculaires : fecondement, en forte

que l'un penche d'un côté de celle qu'elle rencontre, & alors on les appelle obliques.

Les lignes perpendiculaires & les obliques forment par leur rencontre des angles dont nous parlerons d'abord, après quoi nous traiterons des perpendiculaires & des obliques, & enfuite des paralleles.

DES ANGLES.

36. Un angle eft l'ouverture que forment entr'elles Fig. 9, deux lignes qui fe rencontrent en un point qu'on appelle le fommet ou la pointe de l'angle telle eft l'ouverture que font les deux lignes CA & CB. Cette ouverture eft l'efpace que laiffent entr'elles les deux lignes, lequel est indéterminé vers le côté oppofé au fommet de l'angle, parce que, comme nous le remarquerons bien-tôt, la grandeur d'un angle ne dépend pas de la longueur des deux lignes qui le contiennent.

37. Les deux lignes qui par leur rencontre forment l'angle, s'appellent côtés de l'angle: telles font les lignes

CA & CB.

Un angle peut fe marquer par une feule lettre qui eft au fommet; mais on le marque plus ordinairement par trois lettres, & pour lors on met toujours celle qui défigne le fommet à la feconde place; ainfi pour défigner l'angle de la Figure 9, on dira l'angle ACB ou l'angle BCA, en mettant à la feconde place la lettre C qui eft au fommet: cela s'obferve, foit que l'on parle, foit que l'on écrive. Ce même angle peut être défigné par la feule lettre C qui eft au fommet.

On peut divifer l'angle en le confidérant par rapport à fes côtés, ou par rapport à fa grandeur. L'angle confideré felon fes côtés fe divife en rectiligne, curviligne & mixtiligne.

38. L'angle rectiligne eft celui dont les deux côtés font des lignes droites.

39. L'angle curviligne eft celui dont les deux côtés font les lignes courbes.

40. L'angle mixtiligne eft celui dont un des côtés eft une ligne droite, & l'autre une ligne courbe.

Nous ne parlerons ici que des angles rectilignes, qui font les feuls dont la connoiffance foit néceffaire dans les Elémens de Géometrie.

41. Remarquez que la grandeur d'un Angle ne dépend point de la longueur des côtés, mais feulement de l'ouverture ou de l'inclinaifon de ces côtés : c'est pourquoi l'angle a Cb eft égal à l'angle ACB, ou plutôt c'eft le même angle; quoique les deux côtés Ca & Ch foient plus courts que les côtés CA & CB.

42. Un angle, comme ACB, qui a fon fommet au centre du cercle, a pour mesure l'arc AB compris entre fes côtés car il eft évident que cet arc devient plus grand ou plus petit à proportion que l'ouverture des côtés eft plus grande ou plus petite. Or nous venons de dire que c'eft de la feule ouverture des côtés que dépend la grandeur de l'angle. On voit donc que la me fure d'un angle eft l'arc compris entre fes côtés, qui a pour centre le fommet de l'angle.

Il eft indifférent que l'arc qui doit fervir de mesure à un angle, foit décrit à une plus grande ou à une moindre distance du fommet : car foit que la circonférence qui a pour centre le fommet de l'angle foit grande ou petite, l'arc compris entre les côtés de l'Angle eft toujours de la même grandeur rélative; c'est-à-dire, que cet arc contient le même nombre de degrés ; par exemple, l'arc ab contient autant de degrès que l'arc AB; puifque fi l'un eft la huitième partie de fa circonférence, il eft clair que l'autre eft auffi la huitième partie de la

fienne.

43. Ces arcs de différens cercles qui contiennent un égal nombre de degrés, font appellés proportionnels ou femblables.

44. Il fuit de ce que nous venons de dire, que les angles font égaux, quand ils ont pour mesures des arcs égaux du même cercle, ou de cercles égaux, ou des arcs proportionnels de différens cercles.

Si on confidere l'angle par rapport à fa grandeur, on en diftingue encore trois fortes, le droit, l'obtus & l'aigu.

45. L'angle droit eft celui qui a pour mefure un arc Fig. 10. qui contient 90 degrés, ou le quart de la circonférence: tel eft l'angle DCB. On verra dans la fuite que l'angle droit eft formé par deux lignes dont l'une eft pendiculaire à l'autre.

per

46. L'angle obtus eft celui qui a pour mefure un Fig. 1y arc qui contient plus de 90 degrés : tel est l'angle

DCA.

47. L'angle aigu eft celui qui a pour mefure moins de yo degrés : tel eft l'angle DCB.

L'angle obtus & l'angle aigu s'appellent l'un & l'autre obliques : c'eft pourquoi on peut divifer l'angle en droit & oblique, & fubdivifer enfuite l'angle oblique en obtus & aigu.

48. On peut conclure des définitions précédentes que tous les angles droits font égaux, puisqu'ils tous pour mefure 90 degrés ; mais tous les angles obtus ne font pas égaux; car, par exemple, un angle de 95 degrés, & un angle de 100 degrés font obtus, parce que l'un & l'autre a plus de 90 degrés. Or il eft vifible que ces deux angles ne font pas égaux de même tous les angles aigus ne font pas égaux : par exemple, deux angles aigus, dont l'un eft de 30 degrés & l'autre de so, ne font pas égaux.

49. Remarquez qu'un angle obtus ne peut avoir 180 degrés, ou la demi-circonférence pour fa mefure: car fi on vouloir, par exemple, augmenter l'angle DCA, enforte qu'il eût pour mefure la demi-circonférence, il faudroit appliquer le côté CD fur le rayon