Fig. 59. à la tangente (Liv. I. art. 115). Or chacun des triangles, comme DFC, eft égal au produit de la moitié du côté DC qui eft la bafe, par le rayon FG qui eft la hauteur. Donc la fomme des triangles, ou le polygone circonfcrit eft égal au produit de la moitié de tous les côtés, c'est-à-dire, de la moitié du périmetre par le rayon du cercle. Ce qu'il falloit démontrer.

Fig. 60.

Fig. 61.

On peut dire auffi qu'un polygone circonfcrit à un cercle eft égal au produit du périmetre entier par la moitié du rayon, ou bien à la moitié du produit du périmetre par le rayon entier. Il est évident que tout cela revient à la même chofe que l'énoncé du Théorème.

COROLLAIRE I.

145. Tout polygone régulier est égal au produit du rayon droit par la moitié du périmétre. Ce Corollaire n'eft qu'une application du Théorême, parce qu'on peut toujours regarder un polygone régulier comme circonfcrit à un cercle dont le rayon feroit égal au rayon droit du polygone (77).

COROLLAIRE II.

146. La fuperficie du cercle eft égale au produit du rayon par la moitié de la circonférence. C'eft une fuite du Corollaire précédent, puifque le cercle est un polygone régulier dont les côtés font infiniment petits Nous avons déja démontré la même propofition dans le troifiéme Corollaire du premier Théorême ( 142 ).

147. Remarquez que toute figure rectiligne, comme A, pouvant être réduite en triangles, on aura la mefure de l'aire de cette figure, fi on prend celle de tous les triangles.

PROBLEME I.

148. Faire un quarré égal à un parallelogramme donné. Soit le parallelogramme dont la hauteur eft A & la bafe C. Pour avoir un quarré égal à ce parallelogramme

il faut chercher (Liv. I. art. 172) une moyenne pro- Fig. 61. portionnelle B entre la hauteur & la base du parallelogramme, le quarré de cette moyenne proportionnelle eft égal au parallelogramme: car par l'hypothèse A. B:: B.C; donc le produit des extrêmes eft égal au produit des moyens. Or le produit des extrêmes A & C eft le rallelogramme, puifque pour avoir l'aire du parallelog. il faut multiplier la hauteur par la bafe : & le produit des moyens eft le quarré de la moyenne proportionnnelle B; donc le quarré de la moyenne proportionnelle est égal au parallelogramme.

pa

Si le parallelogramme eft rectangle, il faut prendre une moyenne proportionnelle entre le côté & la bafe du rectangle, parce que pour lors la hauteur est égale au côté. Quand on opere fur le terrein il faut pour trou ver la moyenne proportionnelle fe fervir de l'Arithmé tique comme nous l'avons expliqué dans la remarque fur le troifiéme problême qui eft à la fin du premier Li

vre:

PROBLÊME II.

149. Faire un quarré égal en furface à un triangle. Cherchez une moyenne proportionnelle entre la hauteur & la moitié de la base, ou entre la base & la moitié de la hauteur, le quarré de cette moyenne proportionnelle fera égal en furface au triangle: car nommant la hauteur du triangle 24, fa bafe 2b, & la moyenne proportionnelle m, on aura par l'hypothèse 24. m:: m. b;ou bien, a. m:: m. 2b. Par conféquent mm2ab, c'est-à-dire, que le produit des moyens eft égal au produit des extrêmes. Or ce produit mm eft le quarré de la moyenne proportionnelle. D'ailleurs 2ab repréfente la furface du triangle, puifqu'elle eft égale au produit de la hauteur multipliée par la moitié de la bafe, ou de la bafe multipliée par la moitié de la hauteur. Donc le quatré eft égal au triangle.

Si le triangle eft rectangle, & qu'on prenne un des

côtés de l'angle droit pour base, l'autre côté de cet an gle fera la hauteur, parce qu'il eft perpendiculaire à la bafe. Il faudra donc chercher une moyenne proportion nelle entre un de ces côtés & la moitié de l'autre.

PROBLEMÈ III.

149 B. Trouver la furface d'un parallelogramme & celle d'un triangle.

fa

On multipliera la bafe du parallelogramme par hauteur; le produit fera la furface cherchée (138). II n'y a point de difficulté lorfque la bafe & la hauteur ne contiennent que des grandeurs d'une feule efpece, qui eft la même pour l'une & pour l'autre dimenfion : mais il arrive prefque toujours qu'il y a des grandeurs de différentes efpeces, par exemple, des toifes, des pieds & des pouces dans l'une des dimenfions, foit la base, foir la hauteur, & ordinairement dans les deux. Voici une regle générale pour trouver alors la furface. On reduira la bafe & la hauteur à la plus petite efpece, par exemple, en pouces s'il y a des pouces, & qu'il n'y ait point de plus petites mefures exprimées ni dans la base ni dans la hauteur. Après la réduction on multipliera les deux nombres reduits, l'un par l'autre : le produit exprimera la furface dans la mefure à laquelle on a reduit les deux dimenfions. On pourra enfuite changer ces petites efpeces en grandes, comme nous le dirons dans l'exemple fuivant.

Suppofons un parallelogramme qui ait pour base 15 toifes, 5 pieds, 8 pouces, & pour hauteur 8 toifes 4 pieds. Je reduis d'abord la bafe & la hauteur en pou ces; les deux nombres reduits font 1 148 & 624. Je les multiplie enfuite l'un par l'autre, & je trouve le produit 716352 qui exprime des pouces quarrés.

reduire en toifes quarrées en divifan $184, qui marque combien il

dans la toife, parceque c'eft

d'ailleurs il y a 72 pouces

pou

à-dire, dans la toife en longueur on trouvera pour quotient 138 toifes quarrées, & le refte 960 que je reduis en pieds quarrés en le divifant par le quarré de 12, fçavoir 144, qui marque combien il y a y a de ces quarrés dans le pied quarré ; le quotient eft 6,& il refte 96. Ainfi la furface du parallelogramme eft 138 toifes quarrées, plus 6 pieds quarrés, plus 96 pouces quarrés. Il y a plufieurs moyens d'abréger cette méthode générale; mais notre deffein n'eft pas d'entrer dans ce détail.

Pour ce qui eft du triangle on multiplie la bafe par la moitié de la hauteur, ou la moitié de la base par la hauteur entiere, en obfervant la même regle générale. DE LA QUADRATURE DU CERCLE.

C'eft ici où nous devons parler du fameux problême de la quadrature du cercle, que l'on n'a encore pu réfoudre jufqu'à préfent. Ce problême confifte à trouver une méthode géométrique de faire un quarré égal en

furface à un cercle donné,

150. Nous avons démontré qu'un cercle est égal en furface à un triangle qui a pour hauteur le rayon, & pour base une ligne droite égale à la circonférence. Or ce triangle par le problême précédent, eft égal au quarré de la moyenne proportionnelle entre la hauteur & la moitié de la bafe du triangle ; par conféquent ce quarré qui a pour côté une moyenne proportionnelle entre le rayon & la demi-circonférence, eft égal au cercle; ainfi pour avoir un quarré égal au cercle donné, il faut trouver une moyenne proportionnelle entre le rayon & la demi-circonférence du cercle.

IjI. Nous avons donné(Liv. I. art. 172 ) la méthode de trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes droites; c'eft pourquoi fi on pouvoit trouver géométriquement une ligne droite égale à la demi-circonférence, il feroit aifé d'avoir une moyenne proportionnelle entre le rayon & la demi-circonférence ce

qui donneroit la folution du problême de la quadratu re du cercle, parce que le quarré de cette moyenne proportionnelle entre le rayon & la demi-circonférence feroit égal au cercle, comme nous venons de le démontrer. On voit donc que pour réfoudre ce problême, il ne s'agit que de trouver une méthode géométri que de tirer une ligne droite égale à la moitié de la circonférence.

152. Archimede a cherché à exprimer en nombres le rapport de la circonférence au diametre: mais il n'a pû trouver exactement ce rapport; il a cependant démontré, comme nous l'avons dit (101), que ce rapport étoit un peu moindre que celui de 22 à 7, & plus grand que celui de 21 à 7. Or fi on connoiffoit exactement par des nombres le rapport de la circonférence au diametre, on pourroit trouver une ligne droite égale à la circonférence, parce que le diametre eft une ligne droite à laquelle la circonférence auroit un rapport con nu; par exemple, fi le rapport de la circonférence au diametre étoit précisément égal à celui de 22 à 7, pour lors afin de trouver la circonférence d'un cercle dont on auroit le diametre, il faudroit tirer une ligne droite indéfinie, & prendre fur cette ligne trois parties qui foient chacune égales au diametre; la fomme de ces trois parties feroit égale à 21, parce que chaque diametre eft de 7: enfuite il n'y auroit plus qu'à divifer le diametre en fept parties égales, & ajouter une de ces parties aux 21, & on auroit une ligne droite égale à la circonférence cherchée ; & par conféquent le problême de la quadrature du cercle feroit réfolu.

152 B. Mais quoique ce rapport ne puiffe peut-être pas s'exprimer en nombres, ou, ce qui eft la même chofe, quoique la circonférence & le diametre du cercle foient peut-être incommenfurables, il ne s'enfuit pas que l'on ne puiffe avoir une maniere géométrique de trouver une ligne droite égale à la circonférence d'un cercle dont on a le diametre: car, par exemple, lorfque le