Fig. 65. rant de même longueur, on conçoit que fi l'angle droit A diminue & devient aigu, la bafe BC fera plus petite, & par conféquent fon quarré ne fera plus égal aux deux quarrés des côtés : & fi au contraire l'angle droit augmente & devient obtus, pour lors la bafe BC fera plus grande; ainfi fon quarré fera auffi plus grand que les deux quarrés des côtés. Donc le quarré de la bafe d'un angle ne peut être égal aux deux quarrés des côtés, si cet angle n'eft droit.

Fig. 66.

COROLLAIRE II,

186. Dans tout quarré, comme AE Fig. 69, le quar ré de la diagonale BC eft double du quarré AE : car la diagonale BC eft l'hypotenufe du triangle rectangle BAC, Par conféquent le quarré de la diagonale eft égal aux quarrés de AB & de AC. Or ces deux lignes AB & AC font égales, parce que ce font des côtés d'un quarré. Ainfi leurs quarrés font égaux. Donc le quarré de la diagonale eft double de chacun de ces quarrés, par exemple, du quarré de AB. Or le quarré de AB eft celui dont lh'ypotenufe BC eft la diagonale: par conféquent le quarré de la diagonale BC eft double du quarré AE.

COROLLAIRE III

187. Si on construit fur les côtés d'un triangle re&tangle des figures femblables, par exemple, des cercles qui aient chacun pour diametre ou pour rayon un des côtés du triangle, pour lors le cercle qui aura pour diametre ou pour rayon l'hypotenufe du triangle fera égal aux deux autres cercles pris enfemble: car ces cercles font entr'eux, comme les quarrés des diametres ou des rayons (180). Or le quarré de l'hypotenufe eft égal aux deux autres quarrés; par conféquent le cercle dont le diametre ou le rayon eft l'hypotenufe, eft égal aux deux autres cercles,

COROLLAIRE IV.

188. Si on fait un demi cercle fur chacun des côtés Fig. 66 d'un triangle rectangle, comme BAC, la fomme des deux lunules AEBG & AFCH terminées par les demicirconférences, fera égale à ce triangle.

DEMONSTRATION.

Le demi-cercle BAC qui a pour diametre l'hypotenuse, est égal aux deux autres demi-cercles AEB & AFC pris ensemble (187). Donc fi on ôte les fégmens ABG & ACH dont le premier eft commun au grand demi-cercle & au petit AEB, & le fecond eft commun au même grand demi-cercle, & à l'autre petit AFC, les reftes des deux petits demi-cercles feront égaux pris enfemble au refte du grand, c'eft-à-dire, que la fomme des deux lunules fera égale au triangle rectangle BAC.

Si les deux côtés de l'angle droit de ce triangle font égaux, chacune des lunules fera égale à un des triangles égaux ADB & ADC formés par le rayon perpendiculaire AD.

Il est facile de réduire l'un ou l'autre de ces triangles à un quarré égal en furface (149) ; & par conféquent on peut quarrer la lunule. Il eft furprenant que l'on ait trouvé fi facilement la quadrature de ces lunules, qui font terminées chacune par des portions de différentes circonférences, & qu'on n'ait pu découvrir la quadrature du cercle, qui eft terminé par une feule circonfé

rence.

THEOREME VII.

190. De tous les poligones réguliers ifoperimetres ; c'eftà-dire, qui ont des périmetres égaux, celui qui a le plus de côtés, eft plus grand en superficie.

DEMONSTRATION.

Le quarré & le pentagone de la Figure 67 font fup

Fig. 67. pofés réguliers & ifoperimetres; je dis donc que le pentagone eft plus grand que le quarré : car fi l'on infcrit un cercle dans l'un & l'autre polygone, & qu'on tire les rayons CA & CB, on verra que le pentagone est égal au produit de la moitié de fon périmetre par le rayon CB (145), & que le quarré eft auffi égal au produit de la moitié de fon périmetre par le rayon CA: ainfi, puifque les périmetres font égaux, le pentagone & le quarré font comme les rayons CB & CA. Or le rayon CB eft plus grand que le rayon CA; car fi ces deux rayons étoient égaux, leurs cercles feroient égaux; & par conféquent le périmetre du pentagone feroit moindre que celui du quarré, parce que de tous les polygones réguliers circonfcrits à des cercles égaux, celui qui a le plus de côtés a un moindre périmetre (82). Or les périmetres du pentagone & du quarré font fuppofés égaux; donc le cercle du pentagone eft plus grand que celui du quarré ; donc le rayon CB eft plus grand que CA; ainfi la furface du pentagone eft plus grande que celle du quarré.

On peut démontrer la même chofe de deux autres, polygones réguliers ifoperimetres, dont l'un auroit plus de côtés que l'autre.

COROLLAIRE.

191. Le cercle étant un polygone régulier d'une infi nité de côtés : il contient plus de furface que tout autre figure dont le périmetre est égal.

192. Remarquez que fi un quarré & un rectangle oblong font ifoperimetres, le quarré eft plus grand que le rectangle. Suppofons, par exemple, un quarré dont chaque côté ait 10 toifes, & un rectangle dont la bafe ait 15 toifes, & le côté perpendiculaire à la bafe en ait 5, le périmetre du quarré fera de 40 toifes auffi-bien que celui du rectangle : cependant le quarré contien dra 100 toifes quarrées de furfaces, & le rectangle n'en

contiendra que 75. On peut inférer de-là qu'entre les rectangles oblongs ifopérimetres, ceux qui approchent plus de la figure du quarré font plus grands que les autres: par exemple, un rectangle dont la bafe eft de 12 toifes & le côté de 8, eft plus grand que celui dont on vient de parler, quoiqu'ils aient des perimetres égaux. Il paroît par-là que deux fonds de terre, comme deux Parcs, où deux Jardins, &c. peuvent être inégaux, quoique les contours des murailles qui les enferment foient égaux,

PROBLEME.

193. Trouver un cercle qui foit double, triple, &c. en un mot qui ait un rapport tel qu'on voudra avec un cercle donné, ou, ce qui revient au même, dont on connoit le dia

metre.

Prenez une ligne qui ait avec le diametre du cercle donné un rapport égal à celui que doit avoir le cercle cherché par exemple, fi le cercle qu'on cherche doit être double du premier, il faut prendre une ligne qui foit double du diametre du cercle donné, & chercher enfuite une moyenne proportionnelle entre cette ligne & le diametre connu ; cette moyenne proportionnelle fera le diametre d'un cercle double de celui qui eft donné : car nommant m la moyenne proportionnelle qu'on a trouvée & le diametre que l'on connoît, la ligne double de ce diametre fera 24; on aura donc la proportion continue, 24.m.a, ou bien, a.m.2a. Ainfi (felon le Théorême VIII du fecond Livre de la premiere partie) le quarré du premier terme eft au quarré du fecond, comme le premier eft au troifiéme : nous avons donc la proportion, aa mm :: a. 2a. Or le conféquent de la feconde raifon eft le double de fon antécédent : donc le conféquent de la premiere eft auffi double de fon antécédent ; c'est-à-dire, que le quarré du diametre m eft double du quarré d'a. Mais d'ailleurs les cercles font comme les quarrés des diamet. Donc le

cercle dont le diametie eft m, eft double du cercle don né dont le diametre eft a.

On peut fe fervir de la même méthode pour trouver le côté ou quelque autre ligne d'une figure semblable à une autre dont on connoît un côté homologue ou une ligne correfpondante.

194. On pourra faire par le moyen du troifiéme Corollaire (187) un cercle égal à la fomme de deux ou même de plufieurs autres cercles donnés quoique inégaux. Pour cela il faut faire un angle droit dont les côtés foient prolongés indéfiniment: enfuite il faut prendre vec le compas la longueur du diametre du premier cercle, & mettre une des pointes du compas fur le fommet de cet angle pour marquer fur un côté la longueur de ce diametre que je fuppofe égal à AB (Figure 65). Il faut de même prendre la longueur du diametre du fecond cercle & la marquer fur l'autre côté de l'angle (fuppofons cette longueur égale à AC), après cela tirez la bafe BC: il eft évident que le cercle qui auroit pour diametre BC feroit égal aux deux premiers pris enfemble. On peut par la même méthode décrire un cercle égal à la fomme de celui qu'on vient de trouver dont le diametre eft BC & du troifiéme cercle donné. Ce nouveau cercle trouvé feroit égal à la fomme des trois premiers donnés. On continuera de la même maniere, s'il y a plus de trois cercles donnés.

On pourroit de la même maniere trouver un polygone égal à plufieurs polygones femblables, en prenant à la place des diametres les côtés homologues ou les lignes femblablement tirées.

Nous finirons ce fecond Livre par un Théorême qui fait voir qu'il y a des lignes incommensurables, c'est-àdire, qui n'ont point de parties aliquotes communes, fi petites qu'elles foient. Mais pour démontrer ce Théo rême, nous nous fervirons de la définition que nous allons donner, & des propofitions fuivantes qui ont été prouvées dans le traité des raifons & des proportions.