195. La raifon de nombre à nombre eft celle qui peut être exprimée par des nombres; ainfi le rapport d'une toise à un pied eft une raifon de nombre à nombre, parce que la toife eft au pied comme 6 à 1.

196. Toute raifon doublée de raifon de nombre à nombre, a pour expofans des nombres quarrés, par exemple, la raifon de 8 à 72, qui eft doublée des raifons égales de 2 à 6 & de 4 à 12, a pour expofans 1 & 9, qui font les quarrés de 1 & de 3.

I

197. D'où il fuit que toute raifon doublée qui n'a pas pour expofans des nombres quarrés, n'est pas doublée de raifons de nombre à nombre, c'est-à-dire, que les raifons fimples dont elle eft doublée ne font pas de nombre à nombre.

198. Les quarrés font en raifon doublée des racines qui font les côtés de ces quarrés : par exemple, la raison de BC à BA eft doublée de la raifon de BC à BA. Tout Fig. 69. cela pofé, il fera facile de démontrer le Théorême fuivant.

THEOREM E.

199. La diagonale d'un quarré eft incommenfurable avec le côté.

DEMONSTRATION.

Le quarré de la diagonale BC eft égal au quarré de BA, plus au quarré de AC (183). Or les deux côtés BA & AC font égaux ; donc le quarré de BC eft double du quarré de BA; ainfi ces deux derniers quarrés font comme 2 & 1. Mais 2 n'eft pas un nombre quarré; par conféquent la raifon du quarré de BC au quarré de BA n'a pas pour expofans des nombres quarrés. Or cette raifon qui eft entre ces quarrés eft doublée (198): voilà donc une raifon doublée qui n'a pas pour expofans des nombres quarrés; ainfi la raifon fimple dont elle est doublée n'eft pas de nombre à nombre (197). Mais cette raison simple eft celle de BC à BA (198); donc

Fig. 69.

ces deux lignes ne font pas entr'elles comme nombre à nombre, ou, ce qui eft la même chofe, ces deux lignes font incommenfurables.

200. Ce Théorême fait voir que la diagonale & le côté d'un quarré n'ont point d'aliquotes communes, en forte que fi l'on prend une aliquote, par exemple, la milliéme partie ou la cent-milliéme, ou la millioniéme, &c. de la diagonale, elle ne fera pas contenue exactement dans le côté BA; mais elle y fera contenue un certain nombre de fois avec un refte moindre que l'aliquote, quelque petite qu'elle foit : car fi une partie étoit contenue 1000 fois, par exemple, dans la diagenale, & 700 fois exactement dans le côté, ces deux lignes feroient entr'elles comme 1000 eft à 700, & par conféquent elles feroient entr'elles comme nombre à nombre : ce qui vient d'être démontré impoffible.

201, Mais quoique la diagonale & le côté d'un quarré foient incommenfurables, cependant leurs quarrés font commenfurables puifqu'ils font entr'eux comme 2 & 1. Pour exprimer cela, les Géometres difent que la diagonale & le côté font incommenfurables en longueur, & commenfurables en puiffance. Nous allons prouver dans les Corollaires fuivans qu'il y a des lignes incommenfurables tant en puiffance qu'en longueur, c'est-à-dire, que les quarrés de ces lignes font incommenfurables, auffi-bien que les lignes elles-mêmes.

202. Le quarré de la moyenne proportionnelle entre la diagonale & le côté d'un quarré, eft incommenfurable avec le quarré de la diagonale: car foit nommée FG/cette moyenne proportionnelle, on aura la proportion continue BC. FG. BA & > par conféquent, felon qu'il a été démontré dans le traité des proportions, le quarré du premier terme eft au quarré du fecond, comme le premier terme est au troifiéme,