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Fig. 7. tangente EF eft égale à la furface du cylindre de même hauteur, décrite par GH,

DEMONSTRATION.

Après avoir encore tiré le rayon CS & la ligne SMP perpendic. à l'axe AB, & par conféquent parallele aux deux autres GI & HN, on a les deux triangles CMS & FLE, que je dis être femblables: car l'angle M du premier eft égal à l'angle L du fecond, parce qu'ils font tous les deux droits: pareillement l'angle C ou SCA du premier qui a pour mefure l'arc SA, eft auffi égal à l'angle EFL du fecond, parce que cet angle EFL eft égal à l'angle ESP, à caufe des paralleles HN & SP. Or l'angle ESP formé par une tangente & par une corde, a pour mesure SA (Liv. I. art. 129), qui eft la moitié de l'arc SAP foutenu par la corde SP; donc il est égal à l'angle SCA, & par conféquent les deux angles SCA & EFL font égaux; donc les deux triangles CMS & FLE font femblables; donc les côtés homologues font proportionnels: ces côtés homologues font CS & EF d'une part; & de l'autre, SM & EL. On a donc la proportion CS. EF:: SM. EL. Or le rayon CS eft égal à l'autre rayon CD, & ce dernier rayon est égal à la ligne HN, parce que ce font deux perpendiculaires entre les parall. GD & AB: d'ailleurs la ligne EL eft égale à GH; donc au lieu de la proportion précédente, on aura HN. EF::SM. GH, & alternando, HN. SM:: EF. GH. Mais à la place de HN & SM, on peut prendre les circonférences dont ces lignes font les rayons, lefquelles font en même raison ; ainfi en marquant ces circonférences en cette maniere OHN & OSM, on aura encore la proportion, OHN.OSM:: EF.GH; donc le produit des extrêmes GHXOHN est égal au produit des moyens EFXOSM. Or le premier produit eft égal à la furface cylindrique décrite par GH (24) ; & le produit des moyens eft égal à la furface du cone décrite par

la tangente EF (46), puifque le point S étant le mi- Fig. 7. lieu de la ligne EF, la circonférence OSM est également éloignée des deux bafes du cone tronqué; donc ces deux furfaces font égales. Ce qu'il falloit démontrer.

On voit que la derniere proportion de laquelle on déduit immédiatement la propofition à démontrer eft celle-ci, la circonférence de la bafe du cylindre eft à la circonférence du cone tronqué également éloignée de fes deux bafes, comme le côté du cone est à la hauteur du cylindre, laquelle proportion eft marquée en cette maniere, OHN.OSM::EF.GH.

THEORÊME I.

57. La furface d'une fphere eft égale à la fuperficie convexe du cylindre circonfcrit.

DEMONSTRATION.

Soit la demi-circonférence ADB qui foit environnée Fig. 8. de plufieurs tangentes S, S, S, &c. qui touchent la demi-circonférence, en forte que le point de contingence de chacune foit également éloigné de fes extrémités; foit auffi la tangente EF égale & parallele à l'axe AB. Si on conçoit que la demi-circonférence tourne autour de l'axe AB avec les petites tangentes S, S, S, & la ligne EF, on verra que les petites tangentes décriront des furfaces de cones tronqués, & que la ligne EF décrira la furface d'un cylindre circonfcrit. Or fi on tire les lignes de, de, dc, &c. qui paffent par les extrémités des tangentes, & qui foient perpendiculaires à l'axe AB & à la ligne parallele EF, ces perpendiculaires diviferont la ligne EF en plufieurs parties Ed, dd, dd, &c. qui ont décrit en tournant avec la demi-circonférence des furfaces cylindriques, qui font chacune égales aux fuperficies des cones décrites par les tangentes correfpondantes; & par conféquent là furface cylindrique décrite

Fig. 8. la ligne entiere EF, qui contient toutes les parties Ed, dd, dd, dd, &c. eft égale à la fomme des fuperficies décrites par les petites tangentes S, S, S. Mais fi on fuppofe les tangentes infiniment petites, elles fe confondront avec la demi-circonférence; ainfi elles décriront la furface de la sphere; & par conféquent la furface de la fphere eft égale à la fuperficie convexe du cylindre circonfcrit. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

58. La furface de la fphere eft égale au produit de fon diametre par la circonférence d'un grand cercle: car nous venons de faire voir que la furface de la fphere eft égale à celle du cylindre circonfcrit. Or pour avoir la furface du cylindre circonfcrit, il faut multiplier la hauteur (24), qui eft le diametre de la fphere, par la circonférence de la base, qui eft auffi un grand cercle de la fphere; par conféquent pour avoir la furface de la fphere, il faut multiplier fon diametre par la circonfé rence d'un de fes grands cercles.

COROLLAIRE II.

59. La furface de la fphere eft quadruple d'un grand cercle : car pour avoir la furface d'un grand cercle, il faut multiplier le rayon par la moitié de la circonférence (Liv. II. art. 142) ou, ce qui revient au même, il faut multiplier la moitié du rayon ou le quart du diametre par la circonférence d'un grand cercle de la sphere Mais on vient de démontrer que la furface de la sphere eft égale au produit du diametre entier par la circonf. d'un grand cercle; par conféquent la furface d'un grand cercle de la sphere, & celle de la sphere même, font comme ces produits. Or ces produits ayant tous deux la circonférence d'un grand cercle pour une de leurs racines, font comme les autres racines qui font le quart

du diametre d'une part, & le diametre entier de l'autre; ainfi la surface du grand cercle eft à celle de la fphere, comme le quart du diametre eft au diametre; donc la furface de la fphere eft quadruple d'un grand cercle.

COROLLAIRE III.

60. La fuperficie convexe du cylindre circonfcrit, étant égale à la surface de la sphere, elle doit contenir quatre grands cercles de la fphere, auxquels fi on ajoute les deux bafes du cylindre, qui font auffi des grands cercles de la sphere, la fuperficie totale du cylindre fera égale à fix grands cercles de la sphere; ainfi la furface totale du cylindre, y compris les bafes, eft à celle de la fphere infcrite, comme 6 eft à 4, ou comme 3 eft à 2: mais dans la fuite nous démontrerons (135) que la folidité du cylindre eft auffi à celle de la sphere, comme 3 eft à 2; par conféquent la furface du cylindre, y compris les bafes, eft à celle de la fphere infcrite, comme la folidité du cylindre eft à la folidité de la fphere.

Archimede ayant découvert ce que nous venons de démontrer fur la furface du cylindre,& celle de la fphere dans le Théorême & les Corollaires précédens, en fut fi fatisfait, & fur-tout du troifiéme Corollaire, qu'il voulut qu'on repréfentât fur fon tombeau un cylindre circonfcrit à une sphere.

COROLLAIRE IV.

61. La furface de la fphere eft égale à celle d'un cercle qui a pour rayon le diametre de la sphere, ou, ce qui revient au même, qui a un diametre double de celui de la fphere. Car la furface de la fphere eft quadruple du grand cercle de la fphere, c'eft-à-dire, du cercle qui a le même diametre que la fphere. Or le cercle qui a un diametre double de celui de la fphere, eft auffi qua druple du cercle qui a même diametre que la sphere

Fig. 9. puifque les cercles font comme les quarrés des diame

tres.

COROLLAIRE V.

62. De ce que nous avons dit il fuit que la furface d'une calotte fphérique, telle que IAL, eft égale à la fuperficie cylindrique dont la hauteur eft égale à AX, qui eft la hauteur de la calotte; ainfi pour avoir la furface d'une calotte fphérique, il faut multiplier la circonf. d'un grand cercle de la fphere par la hauteur de la calotte. Par la même raifon, pour avoir la furface d'une zone, comme KILM, terminée par deux cercles paralleles, il faut multiplier fa hauteur XY par la circonf. d'un grand cercle de la sphere.

COROLLAIRE VI.

63. La furface d'une fphere eft au quarré de fon diametre, comme la circonf. eft au diametre: car la furface de la sphere eft égale au produit du diametre par la circonf. d'un grand cercle, & le quarré du diametre est le produit du diametre par le diametre. Or ces deux produits ont une racine commune : fçavoir, le diametre de la sphere: donc ils font entr'eux comme les racines inégales, qui font la circonf. d'une part, & le diametre de l'autre ; par conféquent la furface d'une fphere eft au quarré de fon diametre, comme la circonférence eft au diametre.

Il arrive fouvent aux Commençans de s'exprimer mal en parlant des furfaces des corps: ils difent, par exemple, que la sphere eft égale au cylindre circonfcrit, au lieu de dire, que la furface de la sphere est égale à celle du cylindre. Il faut donc nommer expreflément la furface d'un corps toutes les fois qu'on en veut parler. Il n'en eft pas de même de la folidité : on dit fort bien, par exemple, que la sphere eft les deux tiers du cylin dre circonfcrit. Cela fignifie la même chofe que fi on di

foit,

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