Fig. 12.

CB; auquel cas il eft vifible qu'il n'y auroit plus d'an gle, puifque les côtés AC & CD ne feroient plus que la ligne droite ACB.

A l'occafion des angles aigus & obtus, on diftingue des complémens & des fupplémens d'angles ou d'arcs.

50. Le complément d'un angle aigu eft ce qu'il faut ajouter à cet angle, afin que la fomme foit égale à un angle droit : par exemple, le complément de l'angle aigu ECB eft l'angle DCE qui avec le premier fait l'angle droit DCB:l'angle ECB eft auffi complément de DCE. Le complément d'un angle obtus eft ce qu'il faut retrancher de cet angle afin que le refte ou la différence foit égale à un angle droit: ainfi le complément de l'angle ACE eft l'angle DCE. On peut donc dire en général que le complément d'un angle eft ce qu'il faut ajouter à cet angle s'il eft aigu, ou ce qu'il en faut retrancher s'il eft obtus, afin que la fomme ou la différence foit égale à un angle droit.

51. Le fupplément d'un angle eft ce qu'il faut ajoûter à cet angle, afin que la fomme foit égale à deux angles droits par exemple, l'angle ECA eft le fupplément de l'angle ECB de même l'angle ECB eft fupplé, ment de l'autre ECA.

52. On peut dire la même chofe des arcs; ainfi l'are DE eft le complément de l'arc EB, & cet arc EB est auffi complément du premier; par ce que la fomme de ces deux arcs eft égale à l'arc DEB, qui eft le quart de la circonférence : l'arc DE eft auffi le complément de l'arc ADE. Mais l'arc EDA eft le fupplément de l'arc EB, & l'arc EB eft le fupplément de l'arc EDA, parce que la fomme de ces deux arcs eft égale à la demi-circonférence. On confond affez fouvent ces deux termes de complément & de fupplément : nous nous en fervirons fuivant les notions que nous venons d'en donner.

53.11 paroît par ces définitions que les angles ou les arcs, qui font égaux, ont des complémens ou des fup

plémen

plémens font égaux : par exemple, fi les angles ECB & ecb font égaux, leurs complémens ECD & ecd font Fig. 12. & égaux : il en eft de même des fupplémens. Réciproque- 13. ment fi les complémens ou les fupplémens d'angles ou d'arcs font égaux, les angles ou les arcs font égaux. Quand il s'agit de complémens on fuppofe ici que les deux angles font de même efpéce, ou tous deux aigus ou tous deux obtus, & fi ce font des arcs, on fuppofe qu'ils font tous les deux moindres ou tous les deux plus grands que le quart de la circonférence.

THEORÊME I.

54. Une ligne droite tombant fur une autre, forme deux angles, qui pris ensemble font égaux à deux angles droits, c'est-à-dire, qu'ils ont pour mesure 180 degrés, ou la demi-circonférence. On fuppófe dans ce Théorême que la premiere ligne ne tombe pas fur l'extrémité de l'autre.

DEMONSTRATION.

Soit la ligne CD qui tombe fur la ligne AB : je dis que les deux angles DCA & DCB qu'elle forme, ont Fig. II. pour mefure la demi-circonférence : car fi du point C comme centre, on décrit une circonférence, la ligne AB qui contient le centre en fera diametre ; & par conféquent elle coupera la circonférence en deux parties égales;ainfi la partie ADB eft la demi-circonférence. Or Parc AD eft la mesure de l'angle DCA (42.), & l'arc DB, qui eft le refte de la demi- circonférence, eft la mesure de l'angle DCB (42.); donc ces deux angles Fig. II. pris ensemble ont pour mefure la demi-circonférence : par conféquent ils valent deux angles droits ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE.

55. Puifque les angles DCA & DCB pris ensemble valent deux angles droits, il s'enfuit qu'ils font fupplé

II. Partie.

B

mens l'un de l'autre, & que fi l'un des deux eft droit, l'autre le fera auffi. Les deux angles formés par une ligne qui tombe fur une autre peuvent être appellés collateraux ainfi deux angles collateraux font fupplémens l'un de l'autre.

56. Remarquez que fi la ligne qui tombe fur l'autre n'incline ni d'un côté ni d'autre, comme la ligne DC, Fig. 10. elle forme deux angles égaux entre eux, dont chacun eft droit: mais fi la ligne panche d'un côté, comme la ligne DC, Fig. 11. elle forme des angles inégaux, dont l'un eft aigu & l'autre obtus, & qui pris enfemble valent toujours deux angles droits, comme on vient de le prouver.

57. On démontreroit comme dans le Théorême, que fi plufieurs lignes tombent fur un même point d'u ne autre ligne & du même côté ; tous les angles formés pris ensemble, font égaux à deux angles droits : par Fig. 14. exemple, les angles ACD, DCE, ECF & FCB, formés par les trois lignes DC, EC & FC qui tombent fur le point C de la ligne AB, ont pour mesure la demicirconférence qui a été décrite du point C comme cen→ tre; par conféquent tous ces angles pris ensemble valent deux angles droits.

58. Enfin on peut faire voir encore de la même ma→ niere que fi plufieurs lignes fe coupent au même point, tous les angles qu'elles forment pris ensemble, font égaux à quatre angles droits; c'eft-à-dire, qu'ils ont pour mefure la circonférence entiere. Cela paroît par Fig. 15. la figure 15 dans laquelle on a décrit une circonférence qui a pour centre le point Coù les lignes fe coupent, & qui eft la mefure de tous les angles formés par les lignes qui fe rencontrent.

Ce feroit la même chofe fi l'on difoit que la fomme de tous les Angles qui font autour d'un point est égale quatre angles droits. Par exemple, la fomme des angles autour du point C vaut quatre angles droits : cela eft évident, puifqu'ils ont pour mefure la circonférence entiere qui a pour centre le point C.

59. Nous allons établir un Théorême qui fert à démontrer un grand nombre de propofitions ; c'eft fur les angles oppofés au fommet. Les angles oppofés au fommet, font ceux qui font formés par deux lignes qui fe coupent; enforte que l'un de ces angles eft d'un côté du Fig. 16. point d'interfection ; & l'autre eft du côté oppofé: tels font les angles BCE & ACD, ou les angles ACE & BCD on les appelle auffi angles oppofés par la pointe. Il faut prendre garde que les angles BCE & ACE ne font pas oppofés, non plus que les angles ACD & BCD; c'est pourquoi il ne s'agit pas de ces angles comparés de cette maniere.

60. Les angles oppofés au fommet font égaux BCE, par exemple, eft égal à ACD.

DEMONSTRATION.

Du point d'interfection des deux lignes qui forment ces angles foit décrite une circonférence, elle fera coupée en deux parties égales par les lignes AB & DE, qui en font des diametres; donc l'arc AEB & l'arc DAE feront chacun une demi-circonférence, & par conféquent ils feront égaux: fi donc on en retranche la partie commune AE, les reftes feront encore égaux. Or le refte de la premiere demi-circonférence est EB, & le refte de la feconde eft DA; ainfi ces deux arcs EB & DA font egaux; mais ces arcs font les mefures des angles BCE & ACD (42); donc ces angles font égaux. Ce qu'il falloit démontrer.

On peut démontrer de même que les deux autres angles ACE & BCD; qui font auffi oppofés au fommet, font égaux entre eux.

PROBLEME I.

61. Faire fur une ligne donnée, comme AB, un an- Fig. 17.

gle égal à un autre angle tel que GEF.

Fig. 17.

Fig. 18.

Du fommet de l'angle donné GEF décrivez un are entre fes deux côtés, enfuire de l'extrémité A de la ligne donnée, & de la même ouverture du compas, décrivez un arc indéfini tel que BD, fur lequel vous pren drez avec le compas la partie BC égale à l'arc FG : après quoi vous tirerez une ligne du point A au point C, elle formera l'angle CAB égal à l'angle donné : ce qui eft évident, puifque ces angles ont pour mesure des arcs égaux. PROBLEME II.

les.

62. Couper un angle, comme A, en deux parties éga

Du point A comme centre & d'un intervalle pris à difcrétion, décrivez l'arc BC; enfuite des deux points B & C pris pour centres, décrivez deux arcs de la même ouverture du compas qui fe coupent en un point, comme D : enfin tirez une ligne droite du point A au point D; elle coupera l'angle BAC en deux parties égales: car la ligne AD coupant l'arc BC en deux parties égales (31), il faut auffi qu'elle coupe en deux parties égales l'angle BAC dont l'arc BC eft la mesure.

Nous parlerons dans la fuite de la mesure des angles qui n'ont pas leur fommet au centre : mais on va voir lorfque nous traiterons des perpendiculaires, des obliques, & fur-tout des paralléles, qu'il étoit néceffaire d'expofer les propofitions précédentes touchant les angles avant de parler de ces lignes.

DES LIGNES PERPENDICULAIRES

& des obliques.

Fig. 19. 63. Une ligne droite eft perpendiculaire à l'égard d'une autre ligne droite, lorfqu'elle tombe fur cette feconde fans pancher ni d'un côté ni de l'autre ; telle eft la ligne AĊ. Il ne faut pas confondte la ligne droite avec la perpendiculaire, puifqu'une oblique eft droite auffi-bien qu'une perpendiculaire.