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les & qu'elles aient des hauteurs égales, leurs bases font
égales ; & fi les pyramides étant encore égales, les ba-
fes font auffi égales, elles ont des hauteurs égales. Ce-
la eft clair pour les pyramides comme pour les prifmes.
Il en est de même des cones, foit
qu'on les
compare
entre eux, foit qu'on compare une pyramide avec un

cone.

Il eft prefque impoffible d'entendre bien la démonftration du Théorême fuivant, fans avoir un prifme triangulaire divifé en trois pyramides, telles qu'on les fuppofe dans la démonftration ; c'eft pourquoi fi on n'en a point, il faut en faire un de cire ou de quelque autre matiere qui foit facile à couper.

THIORÊME. III.

94. Une pyramide triangulaire eft le tiers d'un prifme triangulaire de même base & de même hauteur que la pyra mide.

DEMONSTRATION.

Soit le prifme triangulaire CADEBF ; je dis qu'une Fig. 114 pyramide de même base & de même hauteur, n'est que le tiers de ce prifme. Ce que je démontre ainfi : Si on conçoit un plan qui coupe le prifme par l'angle A, en forte qu'il paffe par les diagonales AE & AF, la fection formera la pyramide EAFB, qui a la même base que le prifme, fçavoir, le triangle EBF, & qui a auffi la même hauteur, puifqu'elle a le même côté AB. Pareillement fi on conçoit qu'un plan coupe le reste du prifme par l'angle F, en paffant par les diagonales FA & FC, il en réfultera deux autres pyramides, dont l'une eft AFCD, qui a pour bafe le triangle CAD, qui eft l'autre bafe du prifme, & qui a auffi même hauteur que le prifme, puifqu'elle a le même côté DF. L'autre pyramide qui refulte de la derniere fection est ECAF, dont la figure eft fort irréguliere. Or les deux premieres

Fig. 11. pyramides EAFB & AFCD font de même bafe & de même hauteur, puifqu'elles ont chacune même base & même hauteur que le prifme : donc ces deux pyramides font égales entr'elles d'ailleurs fi on compare la feconde pyramide AFCD avec la troifiéme ECAF, & qu'on prenne pour bafe de la feconde, le triangle FDC, & pour bafe de la troifiéme le triangle CEF, on trouvera que ces deux pyramides font égales : car 1°. les triangles qu'on a pris pour bafes font égaux, puifque ce font des moitiés du parallelog. CEFD, qui eft une des faces. du prifme, & qui a été divifé également par la diagonale CF. 2°. Ces deux pyramides ont même hauteur, puifqu'elles finiffent au même point A. Donc la troifiépyramide eft auffi égale à la premiere : ainfi les trois pyramides font égales entr'elles; par conféquent une de ces trois pyramides, par exemple, la premiere, qui a même bafe & même hauteur que le prifme, n'eft que le tiers du prifme. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I

95. Toute pyramide eft le tiers d'un prifme de même base & de même hauteur: par exemple, une pyramide pentagonale eft le tiers d'un prifme pentagonal de même base & de même hauteur.

DEMONSTRATION.

Si d'un point pris dans la bafe du prifme, on conçoit des lignes tirées au fommet des angles, qui divifent le pentagone qui fert de bafe, en cinq triangles, & que le prifme pentagonal foit divifé en cinq prifmes triangulaires, qui aient chacun pour base un des triangles du pentagone: fi on conçoit de même que le pentagone qui eft la base de la pyramide, eft divifé en cinq triangles parfaitement égaux à ceux de la base du prifme, & que la pyramide pentagonale eft partagée en

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cinq pyramides triangulaires de même hauteur que la pyramide pentagonale, qui aient chacun pour bafe un des triangles du pentagone, pour lors chacune des pyramides triangulaires fera le tiers du prifme triangulaire correfpondant, comme on l'a démontré dans le Théorême par conféquent la pyramide pentagonale qui eft la fomme des cinq pyramides triangulaires, eft le tiers du prifme pentagonal, ou de la fomme des cinq prifmes triangulaires. Ce qu'il falloit démontrer.

On voit clairement que la même démonstration peur s'appliquer à toute pyramide, qu'elle que foit la bafe, en la comparant avec un prifme qui ait même bafe &

même hauteur.

COROLLAIRE II.

96. Le cone n'étant qu'une pyramide dont la bafe eft un polygone d'une infinité de côtés, & le cylindre n'étant qu'un prifme, il s'enfuit que le cone eft le tiers du cylindre de même base & de même hauteur.

97. On peut remarquer à l'occafion du premier Corollaire, que la fomme de plufieurs prifmes de même hauteur eft égale à un feul prisme dont la base est égale à celle de tous les autres prifmes pris ensemble, & la hauteur égale à celle de ces mêmes prifmes. Pareillement la fomme de plufieurs pyramides de même hauteur eft égale une feule pyramide dont la base est égale à la fomme des bafes des autres pyramides, & la hauteur égale à celle de ces pyramides. Cela paroît affez clairement après tout ce qu'on a dit jufqu'ici.

Il est évident qu'on peut dire la même chose des lindres & des cones.

cy

Nous allons propofer une autre démonftration pour faire voir que toute pyramide eft le tiers d'un prifme de même base & de même hauteur. Elle ne fuppofe point de figure difficile à imaginer comme la précédente.

97 B. Pour cette démonstration nous fuppoferons

d'abord

que deux pyramides de même hauteur font entre elles comme leurs bases. Que l'on conçoive ces deux pyramides divifées dans le même nombre d'éléles élémens de l'une feront à ceux de l'autre dans le même rapport que les bafes : cela a été prouvé dans la démonftration de l'art. 90. Par conféquent les pyramides de même hauteur font auffi comme les bafes. Ce rapport eft encore facile à appercevoir dans les prifmes de même hauteur.

97 C. Voici une autre propofition dont nous avons encore befoin. Une pyramide quarrée dont la hauteur eft la moitié du côté de la bafe, eft le tiers du prifme quarré de même base & de même hauteur. Il faut concevoir un cube divifé en fix pyramides égales qui aient toutes leur fommet au centre du cube, & dont chacune ait pour base une des faces du cube: chacune de ces pyramides eft la Gxième partie du cube. Par conféquent fi on retranche la moitié de ce cube par un plan paral lele à la base, la pyramide de même bafe & de même hauteur que le prifme quarré qui restera, fera le tiers de ce prifme; parce que cette pyramide eft une de celles du cube.Or la hauteur de cette pyramide quarrée eft la moitié du côté de fa base. On peut donc dire en général qu'une pyramide quarrée dont la hauteur est la moitié du côté de la bafe, ou, ce qui revient au même qui a le côté de fa base double de la hauteur, eft le tiers d'un prifme quarré de même base & de même hauteur.

97 D. Cela pofé foit une pyramide quelconque par exemple pentagonale, je dis qu'elle eft le tiers d'un prifme pentagonal de même bafe & de même hauteur. Car foit une autre pyramide quarrée qui ait la même hauteur & dont la base foit un quarré dont le côté foir double de la hauteur: cette pyramide fera le tiers d'un prisme quarré de même bafe & de même hauteur. (97C ). Les deux pyramides ayant l'une & l'autre la même hauteur, font entre elles comme leurs bases. (97 B) c'està-dire que la raifon de la pyramide pentagonale à la py

ramide quarrée eft égale à celle de leurs bafes. Pareillement la raifon des deux prifmes pentagonal & quarré eft égale à celle de leurs bafes. Or la derniere raifon de ces deux proportions eft la même parce que les bafes des prifmies font les mêmes que celles des pyramides. Par conféquent les deux premieres raifons de ces proportions font égales ; c'eft-à-dire que les deux pyrami des font entre elles comme les deux prifmes & alternando. La pyramide pentagonale eft à fon prifme, comme la pyramide quarrée eft au fien. Or la pyramide quarrée eft le tiers de fon prifme: donc la pyramide pentagonale eft auffi le tiers du fien..

THÉORÊME IV.

98. Une fphere eft égale à une pyramide ou à un cone qui a pour hauteur le rayon de la sphere, & une base égale à la Surface de la fphere.

DEMONSTRATION.

On peut concevoir que la fphere eft composée d'une infinité de pyramides qui ont leur fommet au centre de la fphere, & dont chacune a pour base une partie infiniment petite de la furface de la fphere. Or la fomme de toutes ces pyramides eft égale à une feule pyramide ou à un cone, qui auroit une hauteur égale à celle de toutes les pyramides; fçavoir, le rayon de la fphere, & dont la bafe feroit égale à la fomme de toutes les bafes des pyramides ( 97 ), c'est-à-dire, égale à la furface de la fphere: donc une fphere eft égale à une pyramide ou à un cone qui a pour hauteur le rayon, & pour bafe la fuperficie de la sphere. Ce qu'il falloit démontrer.

Après tout ce que nous venons d'établir fur l'égalité des corps folides, on entendra facilement ce qu'il y a à dire far leur mefure; c'eft pourquoi nous en traiterons en peu de mots.

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