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Des mesures des Corps ou Solides.

99. Les mefures des corps font des toifes cubiques, des pieds cubiques, des pouces cubiques, &c. Une toife cubique eft un cube compris fous fix faces, dont chacune eft une toife quarrée. De même le pied cubi que eft un cube compris fous fix faces dont chacune est un pied quarré.

THEOREM E.

100. Les prifmes & les cylindres droits ou obliques font égaux au produit de leur base par leur hauteur.

DÉMONSTRATION.

Soit un prifme dont la base ait fix pieds quarrés & la hauteur trois pieds en longueur ; je dis que la folidité de ce prifme eft de 18 pieds cubiques ( 18 eft le produit de la base par la hauteur.)

Pour le démontrer, il faut concevoir que le prifme eft partagé en autant de tranches paralleles à la base, qu'il y a de pieds dans la hauteur, c'est-à-dire, en trois dans cet exemple, dont chacune ait un pied de hauteur. Cela étant, il est évident que les trois tranches ayant la même bafe que le prifme, chacune contient autant de pieds cubiques que la bafe contient de pieds quarrés, c'eft-à-dire, fix; par conféquent les trois tranches prifes enfemble contiennent trois fois fix ou dix-huit pieds cubiques: donc la folidité d'un prifme eft égale au produir de fa bafe par fa hauteur. On peut appliquer la même démonftration au cylindre.

COROLLATRE I.

101. Les pyramides & les cones for hanx au produit de leur bafe par le tiers de leur :

...... fait

de

de ce que les pyramides & les cones font le tiers des prifmes & des cylindres de même base & de même hau

teur.

COROLLAIRE II.

par

102. La fphere eft égale au produit de fa furface le tiers de fon rayon; car une fphere est égale à un cone qui a pour hauteur le rayon, & pour base la fuperficie de la fphere (98).

Ce que nous venons de dire fur la mesure des folides peut fervir à trouver la folidité de tous les corps, parce qu'ils peuvent être réduits en pyramides, de même que les figures planes peuvent être réduites en triangles. Nous allons parler à préfent du rapport de folides.

DU RAPPORT DES SOLIDES.
confiderés felon leur folidité.

103. Pour connoître le rapport des folides, on fe fert des produifans. On entend par produifans d'un folide des lignes qu'il faut multiplier pour avoir sa solidité.

104. Il y en a trois ; car d'abord on multiplie deux lignes l'une par l'autre, afin d'avoir une furface: enfuite il faut multiplier cette furface par une troifiéme ligne, & le produit eft la folidité du corps. Par exemple, dans un prifme, tel qu'eft celui de la Fig. 12, les deux premiers produifans font la longueur CD, & la largeur BC, c'eft-à-dire, les deux lignes qu'il faut multiplier pour avoir la bafe, & le troifiéme eft la profondeur où la hauteur AB du prifme.

105. Lorfqu'il s'agit d'une pyramide, le troifiéme produifant n'eft pas la hauteur entiere, mais feulement le tiers de la hauteur, parce que pour avoir la folidité d'une pyramide, on ne multiplie la bafe que par le tiers de la hauteur. Il en eft de même pour le cone.

106. On peut auffi ne confidérer que deux produi

II. Partie

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fans dans le folide; fçavoir, une furface telle qu'eft la bafe du corps, & la ligne par laquelle on multiplie la furface, afin d'avoir la folidité du corps dans ce cas on regarde la furface comme un feul produifant. Nous verrons que pour trouver le rapport des corps, il eft quelquefois utile de ne confiderer que deux produifans, & que d'autre fois il en faut confiderer trois.

Pour entendre ce que nous dirons fur le rapport des folides, il faut fe fouvenir des raifons triplées : nous allons en répéter quelque chofe.

107. Une raifon triplée eft celle qui eft composée de trois raifons égales, ou, ce qui eft la même chofe, c'eft le produit de trois raifons égales. Or pour avoir le produit de trois raifons, il faut multiplier les trois antécedens l'un par l'autre, & multiplier de même les trois conféquens : par exemple, fi on a les trois raifons égales,,, en multipliant les trois antécédens & les trois conféquens, on aura les produits 12 & 96, dont la raifon eft triplée des trois premieres.

108. Afin qu'une raifon foit triplée, il n'eft pas ceffaire que les raifons compofantes foient exprimées. par différens termes, elles peuvent être toutes trois exprimées par les mêmes termes; par exemple, au lieu des trois raifons compofantes,,, on auroit pû prendre les fuivantes,,, dont la raifon triplée eft,

on

27

109. De-là, il fuit que la raifon qui eft entre deux cubes eft triplée de celle qui eft entre les racines: par exemple, la raifon des cubes 27 & 216 eft triplée de celle des racines 3 & 6. De même la raifon des cubes b3 & d3 eft triplée de celle des racines b & d. La maniere la plus ordinaire de s'énoncer pour exprimer cette propriété des cubes, eft de dire que les cubes font en raifon triplée des racines.

Avant de propofer les Théorêmes qui regardent le rapport des corps folides, il faut expofer ici un Lemme pareil à celui que nous avons démontré fur les polygones femblables (Liv. II. Art. 160 & 161).

LEMME.

10. Lorfque deux corps font femblables, les trois produifans de l'un font proportionnels aux trois produifans ho→ mologues de l'autre ; en forte que fi on appelle les trois produifans du premier, A, B, C, & les trois produifans du Second, a, b, c, on aura les proportions A. a:: B.b: C..

Cette propofition fe démontre de la même maniere que nous avons prouvé (Liv. II, Art. 160 & 161.) que deux polygones femblables quelconques ont leurs produifans proportionnels. Suppofons donc deux corps femblables, par exemple, deux globes; je dis que quoique l'on ne fçût pas quels font leurs produifans, il est cependant évident que les produifans de l'un font des lignes correfpondantes aux produifans de l'autre ; & par conféquent les produifans du premier font proportionnels à ceux du fecond (73); en forte que fi les trois produifans d'un globle font la circonférence d'un de fes grands cercles, le diametre & le tiers du rayon, les trois produifans de l'autre globe font auffi la circonférence d'un de fes grands cercles, le diametre & le tiers du rayon. Il en eft de même de tous les corps femblables, réguliers ou irréguliers.

111. Remarquez que les produifans de deux corps femblables étant des lignes correfpondantes, ou, ce qui eft la même chofe, des lignes femblablement tirées, il s'enfuit que dans deux corps femblables les produifans font proportionnels à toutes les lignes femblablement tirées : c'est-à-dire, qu'un produifant d'un corps eft au produifant homologue de l'autre, comme une ligne du premier eft à une ligne femblablement tirée du fecond. Tout cela érant préfuppofé, nous allons d'abord confiderer les folides, comme ayant feulement deux produifans.

Si on ne confidére que deux produifans dans les folides, fçavoir, la bafe & la hauteur, ce que nous avons

dit des furfaces, en parlant de leur rapport, convient auffi aux folides; c'est pourquoi il n'eft pas néceffaire de nous étendre beaucoup.

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112, Les prifmes font entr'eux comme les produits de leur bafe par leur hauteur.

DEMONSTRATION.

Si l'on prend deux prifmes, le premier eft égal aù produit de fa bafe par fa hauteur ; & de même le fecond eft égal au produit de fa base par fa hauteur: par conféquent le premier prifme eft au fecond, comme le produit de la bafe du premier par fa hauteur, eft au produit de la base du fecond par fa hauteur.

COROLLAIRE I.

113. Les prifmes qui ont des bafes égales, font comme leurs hauteurs: car lorfque des produits compofes de deux racines en ont une commune, ils font entr'eux comme les racines inégales. Or les prifmes font fuppofés ici avoir une racine commune; Içavoir, la bafe: donc ils font entr'eux comme les hauteurs qui font les racines inégales. Réciproquement fi les prifmes font comme leurs hauteurs, ils ont des bafes égales car puifqu'ils font comme leurs hauteurs quand les bafes font égales, il eft évident que fi les bases font inégales, ils ne peuvent plus être comme leurs hauteurs.

COROLLAIRE II.

114. Les prifmes qui ont des hauteurs égales, font comme les bafes. C'eft la même démonstration que celle du Corollaire précédent. Réciproquement fi les prif

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