64. Une ligne eft oblique fur une autre lorfqu'elle Fig. 20. panche d'un côté : telle eft la ligne FK. 65. Puifque la ligne perpendiculaire ne panche ni d'un côté ni de l'autre, il s'enfuit felon ce que nous avons dit (56) qu'elle forme deux angles égaux & droits: au contraire la ligne oblique étant inclinée d'un côté, elle forme deux angles inégaux qui font fupplémens l'un de l'autre. 66. On peut dire auffi réciproquement que fi une ligne tombant fur une autre forme des angles droits, & par conféquent égaux, elle eft néceffairement perpendiculaire fur cette feconde : car faifant des angles égaux, elle n'incline ni d'un côté ni de l'autre ; ainfi elle est perpendiculaire fuivant la notion que nous venons de donner de cette ligne : & fi la ligne qui tombe fur une autre forme des angles inégaux, elle eft oblique fur la feconde, parce que pour lors elle incline d'un côté. 67. Remarquez qu'une ligne ne peut être perpendiculaire à une autre, que cette feconde ne foit auffi perpendiculaire à la premiere. Car fi on prolonge la perpendiculaire comme dans la Figure 19, la perpendiculaire prolongée ACE faifant des angles droits fur la ligne BD, cette feconde ligne fait auffi néceffairement des angles droits fur la premiere ACE; & par conféquent elle lui eft perpendiculaire. De même lorfqu'une ligne eft oblique à une autre, cette feconde eft auffi oblique à la premiere; ce qui paroîtra évidemment, fi on prolonge la premiere au-delà du point de rencontre. 68. Une ligne étant perpendiculaire à une autre, i Fig. 21. un des points de la premiere eft également éloigné de deux points de la feconde, tous les autres points de la perpendiculaire font également éloignés de ces deux points: par exemple, la ligne AC étant perpendiculaire fur BD, fi le point A eft également éloigné de B Fig. 21. & de D, tous les autres points de la ligne AC font auffi également éloignés de B & de D: car fi le point E ou tout autre point de la perpend. n'étoit pas également éloigné de B & de D, il est évident que la ligne AC feroit inclinée d'un côté, par conféquent elle ne feroit plus perpendiculaire fur BD; ce qui eft contre la fuppofition. Si au lieu du point A on avoit fuppofé le point C également éloigné de B & de D, on auroit prouvé de la même maniere que le point A ou le point E eft également éloigné des deux points B & D. Il en eft de même de tous les autres points de la perpendiculaire. 69 Il fuit de là que fi une ligne, comme AC, eft perpendiculaire à une autre telle que BD, & qu'un de fes points foit également éloigné des deux points B & D de cette autre ligne, la perpendiculaire prolongée paffe par tous les points également éloignés de B & de D: car on vient de faire voir que pour lors tous les autres points de la perpendiculaire font à égale diftance de B & de D. Or cela pofé, il faut qu'elle paffe par tous les points également éloignés de B & de D (10.) 70. Mais fi une ligne, comme AC, n'étoit pas fupdémontrer pofée perpendiculaire fur une autre, pour qu'elle eft effectivement perpendiculaire, il ne fuffiroit pas de faire voir qu'un de fes points, comme A, est également éloigné des deux points B & D de la feconde ligne BD; il faudroit démontrer que deux points, comme A & E, de la ligne AC font chacun également éloignés des deux points B & D ; auquel cas la ligne AC feroit certainement perpendiculaire fur la ligne BD, puifqu'ayant deux de fes points également éloignés de B & de D, tous les autres points feroient également diftans des mêmes points B & D, & ainfi elle n'inclingroit ni d'un côté ni de l'autre ; par conféquent elle feroit perpendiculaire. THEOREM E. I. 71. On ne peut tirer qu'une feule perpendiculaire d'un même point fur une ligne donnée, comme AB. DEMONSTRATION. Le point duquel on tire la perpendiculaire eft ou hors Fig, 22.° de la ligne, ou dans la ligne même. Or dans l'un & dans l'autre cas, on ne peut tirer qu'une feule perpen diculaire d'un point fur une même ligne. PREMIER Cas. Soit, par exemple, le point C hors de la ligne AB, je dis que de ce point on ne peut abbaiffer que la feule perpendiculaire CD, Pour le démontrer je prends dans la ligne AB deux points, comme A & B, dont le point C foit également diftant : cela pofé, je raisonne ainsi : La ligne CD étant perpendiculaire fur AB, & fon point C étant également éloigné de A & de B, tous les autres points de la perpendiculaire CD doivent être auffi également éloignés de A & de B (68); donc le point Deft également éloigné de A & de B. Or de là il s'enfuit que nulle autre ligne, telle que CF, tirée du point C ne peut être perpendiculaire fur AB car fi CF étoit perpendiculaire fur AB, fon point C étant également diftant de A & de B, tout autre point de la ligne CF feroit également diftant de A & de B(68), Or le point F n'eft point également diftant de ces deux points, parce que le point D étant également éloigné de A & de B, il faut que le point F qui eft entre D & B, foit plus près de B que de A. Donc la ligne CF n'eft pas perpendiculaire fur AB. Il en eft de même de toute autre ligne tirée du point C. SECOND CAS. Si l'on prend le point D dans la ligne AB, je démontre de même que de ce point on ne peut élever que la feule perpendiculaire CD fur AB: car fi du point D, qui eft également éloigné de A & de B, on élevoit une autre ligne que DC, elle feroit à droite ou à gauche de la perpendiculaire DC; ainfi cette perpendiculaire DC paffant par tous les points également diftans de A & de B (69), les points de cette autre li gne tirée du point D ne pourroient être à égale diftance de ces deux points A & B ; par conféquent cette autre ligne ne pourroit être perpendiculaire fur AB(68). COROLLAIRE. 72. Deux lignes qui font chacune perpendiculaires à une troifiéme, ne peuvent jamais fe rencontrer, quoique prolongées à l'infini : car fi ces deux lignes fe rencontroient, il y auroit deux perpendiculaires tirées du même point; fçavoir, du point de rencontre fur la troifiéme ligne : ce qui vient d'être démontré impoffi- ' bie. THEOREME II.. 73 La perpendiculaire eft plus courte que l'oblique tirée du même point fur la même ligne. DEMONSTRATION. Fig-22. Soit la ligne CD perpendiculaire fur AB, & la ligne CF tirée du même point fur la ligne AB. Je dis que CD eft plus courte que CF. Pour le démontrer il faut prolonger CD jufqu'au point H; en forte que HD foit égale à CD, & tirer l'oblique HF qui eft néceffairement égale à l'autre oblique CF; car la ligne CH étant perpendiculaire fur AB, cette ligne AB eft auffi perpendiculaire fur CH (67). Or fon point D eft également diftant des deux points C & H, puifque HD eft égale à CD: par conféquent tout autre point, comme F, de la perpendiculaire AB (68) eft également diftant de C & de H ; donc HF eft égale à CF. Cela pofé, je raisonne ainfi : La ligne droite CDH eft plus courte que la ligne brifée CFH (5); donc la moitié de CDH eft plus courte que la moitié de CFH. Or la moitié de CDĤ est CD & la moitié de CFH eft CF; donc la perpendiculaire CD eft plus courte que l'oblique CF. Ce qu'il falloit dé montrer. COROLLAIRE. 74. Puifque la perpendiculaire eft la plus courte li gne que l'on puiffe tirer d'un point fur une ligne ; il s'enfait que la perpendiculaire eft la mesure de la distance d'un point à une ligne par exemple, la perpendiculaire CD eft la mesure de la diftance du point Cà la ligne AB. THEORÊME III. 75. De toutes les obliques tirées du même point fur une ligne, la plus éloignée de la perpendiculaire eft la plus longue ; & celles qui en font également éloignées font égales. DEMONSTRATION. Du point C foient tirées fur la ligne AB les obliques Fig. 22. CF & CG du même côté de la perpendiculaire, & de l'autre côté l'oblique CE autant éloignée de la perpendiculaire que CF. 1°. L'oblique CG eft plus longue que l'oblique CF. Pour le démontrer il faut prolonger la perpendiculaire CD jufqu'au point H, en forte que HD foit égale à CD, & du point H tirer les lignes HF & HG : il eft facile de faire voir comme dans le Theorême précédent, que ces deux lignes font égales aux obliques CF & CG; ainfi CF eft la moitié de CFH, & CG eft la moitié de CGH. Or il est évident que CGH eft plus longue que CFH, parce qu'elle fe détourne davantage de la voie la plus courte, qui eft CDH (5); donc l'oblique CG eft auffi plus longue que l'oblique CF. ; 2°. Les obliques également éloignées CF & CE font égales: car ayant tiré la ligne HE, il est évident que les deax lignes CFH & CEH font égales, puifqu'elles s'écartent également de la ligne droite CDH ; par conféquent leurs moitiés CF & CE font auffi égales. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE. 76. D'un même point, comme C, on ne peut tirer que deux lignes égales fur une autre ligne, telle qua |