même côté de la fécante, font égaux : car la gran-
deur des angles dépend de l'inclinaifon des lignes. Or
les deux paralleles font également inclinées fur la fécante
EF (88); par conféquent les angles H & D
que les pa-
ralleles forment fur EF font égaux. Par la même raifon
l'angle extérieur P & l'angle intérieur B, qui font au-
deffous des paralleles du même côté de la fécante, font
auffi égaux. On peut faire voir de la même maniere
que les angles G & C de l'autre côté de la fécante font
égaux entr'eux; comme auffi les angles O & A: c'eft fur
cette propofition qu'eft fondée la démonftration du
Théoréme fuivant.

Ces Angles, dont l'un eft extérieur, & l'autre intérieur du même côté de la fécante, nous les nommerons correfpondans, parce qu'ils font fitués de la même maniere par rapport aux deux paralleles.

THEOREME I.

91. Si deux lignes font paralleles, 1o. Les angles alter nes internes font égaux. 2o. Les angles alternes externes font égaux. 3°. Les deux angles intérieurs du même côté de la fécante pris ensemble valent deux angles droits. 4°. Les deux angles extérieurs du même côté de la fécante pris enfemble valent auffi deux angles droits.

DEMONSTRATION.

Soient les deux paralleles IL & MN, il faut prouver en premier lieu que les angles alternes internes A & D font égaux. L'angle A eft égal à l'angle H, parce qu'ils font oppofés au fommet: l'angle D eft auffi égal à l'angle H, comme on vient de le faire voir; par conféquent les Angles A & D font égaux. On prouveroit de même que les deux autres angles alternes internes B & C font égaux, à caufe que chacun des deux est égal à l'angle G.

2o. Les angles alternes externes G & P font egaux : car l'angle Geft égal à l'angle B, parcequ'ils font oppo

Fig. 31.

fés au fommet. D'ailleurs l'angle P eft auffi égal à l'angle B, puifqu'ils font correfpondants: donc les deux angles G & P font égaux. On prouveroit de même que les deux angles alternes externes H & O font égaux, parce que chacun d'eux eft égal à l'angle A.

3°. Les deux angles intérieurs B & D du même côté de la fécante valent enfemble deux angles droits : car les deux angles collateraux H & B pris ensemble valent deux droits (54): donc fi à la place de l'angle H on prend l'angle D qui lui est égal, la fomme des angles B Fig. 31. & D vaudra auffi deux angles droits. On prouveroitde même que les deux angles intérieurs A & C valent enfemble deux angles droits, parce que les deux angles G

Fig. 32.

& A valent deux droits.

4°. Les deux angles extérieurs H & P du même côté de la fécante valent enfemble deux angles droits: car les deux angles collateraux D & P pris ensemble valent deux angles droits (54): donc fi à la place de l'angle intérieur D on prend l'angle extérieur H qui lui eft égal, la fomme des angles H & P vaudra auffi deux angles droits. On peut prouver de même que les deux angles extérieurs G & O valent enfemble deux angles droits, parce que les deux angles C & O valent deux droits.

COROLLAIRE.

92. Les lignes IL & MN étant fuppofées paralleles, fi la ligne EF eft perpendiculaire fur une parallele MN, elle eft auffi perpendiculaire à l'autre : car la fécante EF étant perpendiculaire fur MN, l'angle EFN eft droit ; par conféquent l'angle alterne FEI eft auffi droit: d'où il fuit que la ligne EF eft perpendiculaire fur IL. Fig. 31.

93. On a fait voir que fi deux lignes comme IL & MN font paralleles, les angles correfpondans H & D, formés fur ces paralleles du même côté de la fécante, font égaux. Mais on peut dire réciproquement que fi les deux angles H & D font égaux, les deux lignes IL &

MN,

MN, font paralleles. Car fi les angles font égaux, il Fig. 31. faut que ces deux lighes foient également inclinées vers le point E fur la fécante EF. Or les deux lignes IL & MN ne peuvent être également inclinées vers le même point E fur la fécante EF,fans être paralleles, c'est-à-dire, également diftantes l'une de l'autre dans toute leur longueur ; car il eft évident qu'une de ces lignes, par exemple, MN, ne peut s'approcher ou s'éloigner de IL par une de fes extrémités, à moins qu'elle ne foit plus ou moins inclinée fur la fécante que l'autre ligne IL. Par la même raison fi l'angle extérieur P & l'angle intérieur B font égaux, les lignes IL & MN font paralleles. On peut faire voir de la même maniere que fi les deux angles G & C font égaux entre eux ou les deux autres O & A, les lignes IL & MN font paralleles.

Cette propofition peut encore fe prouver par l'art. 90. Car fi la ligne MN n'étoit pas parallele à IL, quand les angles D & H font égaux, une troifiéme ligne qu'on fuppoferoit parallele à IL, & qui couperoit la fécante EF au même point que MN, feroit avec EF un angle qui ne feroit pas égal à l'angle H, puifqu'il feroit différent de celui que forme MN avec la même fécante. Or cela eft contraire à l'art. 90.

94. Nous avons dit que les deux lignes IL & MN ne peuvent être également inclinées & vers le même point E fur une troifiéme EF fans être paralleles mais deux lignes peuvent être également inclinées vers différens points fur une troifiéme, fans que ces deux lignes foient paralleles. Cela paroît par la Fig. 33, dans laquelle les deux lignes IL & MN peuvent être également inclinées fur EF, quoiqu'elles ne foient pas paralleles, l'une étant inclinée vers E & l'autre vers F.

THEOREM E. IL.

95. Deux lignes fout paralleles, 1°. Si les angles alternes internes font égaux. 2°. Si les angles alternes externes font égaux. 3°. Si les deux intérieurs du même côté de laféII. Partie

Fig. 31. cante valent enfemble deux angles droits. 4°. Si les deux extérieurs du même côté de la fécante valent enfemble deux angles droits. Ce Théorême eft la propofition inverfe ou réciproque du premier.

DÉMONSTRATION.

Soient les deux lignes IL & MN coupées par la fé cante EF. Il faut prouver en premier lieu, que fi les angles alternes internes A & D font égaux, ces lignes font paralleles. L'angle H eft toujours égal à l'angle A, à caufe qu'ils font oppofés au fommet: donc fi les angles A & D font égaux entre eux, les deux angles correfpondans H & D font auffi égaux; & par conféquent les lignes IL & MN font paralleles (93). On peut prouver la même chofe par rapport aux autres angles alternes internes B & C, qui ne peuvent être égaux, à moins que l'angle extérieur G ne foit égal à l'angle intérieur C.

2o. Si les angles alternes externes G & P font égaux, les lignes IL & MN font paralleles : car l'angle B eft néceffairement égal à l'angle G: donc fi les deux angles G & P font égaux, les deux angles correfpondans B & P font auffi égaux ; & par conféquent les lignes IL & MN font paralleles (93). On peut prouver la même chofe par rapport aux deux angles alternes externes H & O qui ne peuvent être égaux, à moins que l'angle intérieur A ne foit égal à l'angle extérieur

O.

3°. Si les angles intérieurs B & D du même côté de la fécante valent ensemble deux angles droits, les lignes IL & MN font paralleles : car les angles collateraux H & B pris enfemble valent deux droits (54): par conféquent fi les angles B & D valent autfi deux droits, il faut que les angles correfpondans H & D foient égaux entre eux : ainfi les lignes IL & MN font paralleles. On peut prouver la même chofe par rapport aux deux autres angles intérieurs A & C, qui ne peuvent valoir

deux droits, à moins que l'angle extérieur G ne foit égal à l'angle intérieur C.

4°. Si les deux angles extérieurs H & P. du même côté de la fécante valent enfemble deux angles droits les lignes IL & MN font paralleles car les deux angles collateraux D & P valent deux droits (54); donc fi les angles H & P valent auffi deux droits, il faut que l'angle extérieur H foit égal à l'intérieur D ; par conféquent les deux lignes IL & MN font paralleles. On peut prouver la même chofe par rapport aux deux angles externes G & O, qui ne peuvent valoir deux angles droits à moins que l'angle extérieur G ne foit égal à l'intérieur C du même côté de la fécante.

On voit que la démonftration des quatre cas de ce Théorême ne confifte qu'à prouver que dans l'hypothefe de chacun de ces cas, les angles correfpondans font égaux; & cela fuffit: car quand les angles corref pondans font égaux, les lignes font néceffairement paralleles.

COROLLAIRE.

96. Si la ligne EF eft perpendiculaire aux deux au- Fig. 32; tres IL & MN, ces deux lignes font paralleles car EF étant perpendiculaire fur IL & fur MN, les angles alternes internes EFN & FEI font chacun droits, & par conféquent égaux ; donc les lignes IL & MN font paralleles.

Les deux lignes IL, MN ne peuvent être toutes deux perpendiculaires fur EF fans que cette ligne EF foit perpendiculaire fur les deux premieres. On peut donc dire en général que fi deux lignes font perpendiculaires fur une troifiéme, elles font paralleles entre elles. Cette propofition n'est pas différente du Corollaire précé

dent.

97. Si deux lignes paralleles, telles que CD & AB, Fig: 34: