Fig. 34. font comprises entre deux autres lignes paralleles, comme AC & BD, les deux premieres font égales, & les deux autres comprises entre les premieres font aussi égales entre elles: & de plus les angles oppofés, comme A & D fong égaux.

DEMONSTRATION.

I. PARTIE. Les deux lignes CD & AB font égales: car les lignes également inclinées entre paralleles font égales (86). Or les lignes CD & AB font entre les paralleles AC & BD; & d'ailleurs elles font également inclinées entre ces paralleles (88), puifqu'elles font paralleles elles-mêmes; par conféquent elles font égales. On démontrera de la même maniere que les deux paralleles AC & BD font égales.

II. PARTIE. Les angles oppofés, comme A & D, font égaux entr'eux : car l'angle A joint à l'angle B vaut deux angles droits (91), parce que ce font deux angles intérieurs du même côté de la fécante AB, entre les paralleles AC & BD. Pareillement l'angle D joint à l'angle B, vaut aussi deux angles droits, à caufe des deux autres paralleles CD & AB (91); par conféquent les deux angles oppofés A & D font égaux entre eux. On démontrera de la même maniere que les deux angles oppofés B & C font égaux, en les joignant chacun avec l'angle A ou D.

98. De ce que nous avons dit, on peut conclure qu'il y a plufieurs marques pour connoître fi deux lignes font paralleles.

1o. Si deux perpendiculaires comprises entre ces deux lignes font égales; car dans ce cas il y aura deux points d'une ligne qui feront également éloignés de l'autre ligne spar conféquent tous les autres points de la premiere feront également diftans de la feconde ; ainfi ces deux lignes feront paralleles.

2. Si une même ligne eft perpendiculaire à l'une & à l'autre (96)

1

Si les angles, tels que H & D formés fur l'une & Tautre ligne du même côté (93) par une troifiéme, font égaux.

4°. Si les angles foit alternes internes, soit alternes externes, font égaux (95).

5°. Si les angles, foit intérieurs, foit extérieurs du même côté de la fecante pris ensemble, font égaux deux droits (95).

PROBLEME.

Fig. 31

99. Par un point donné C, tirer une parallele à une li- Fig.5 gne donnée telle que AB.

Du point C & d'un intervalle pris à difcrétion, tirez l'arc indéfini BD : enfuite du point B & de la même ouverture du compas décrivez l'autre arc AC, & prenez avec le compas fur le premier arc qui eft indéfini, une partie BD égale à AC: enfin tirez une ligne droite qui paffe par les deux points C & D : elle fera parallele à AB.

Cela eft évident: car ayant tiré la ligne CB, il paroît que les angles alternes ABC & BCD font égaux puifqu'ils ont pour mefures les arcs égaux AC & BD: & par conféquent les deux lignes AB & CD font paralleles (95).

Nous avons confidéré jufqu'ici les lignes droites, ou en elles-mêmes, ou les unes par rapport aux autres, foit qu'elles fe rencontrent, foit qu'elles ne fe rencontrent jamais. Nous allons les confidérer dans la fuite en tant qu'elles ont rapport à la circonférence d'un cercle.

DES LIGNES DROITES.

confidérées par rapport au Cercle.

Les lignes droites qui ont rapport au cercle, font tirées ou d'un point hors du cercle & de la circonférence,

ou d'un point en dedans du cercle, ou d'un point de la

circonférence même.

100. Dans le premier cas, lorfqu'une ligné eft tirée d'un point hors du cercle, fi elle coupe la circonférence, elle eft appellée fecante extérieure: mais fi elle touche la circonférence fans la couper, quoiqu'elle foit prolongée, on l'appelle tangente.

Les lignes AB & AD de la Figure 37 font des fecantes extérieures & la ligne ABD, Figure 43, eft une tangente.

101. Dans le fecond cas, lorfque la ligne droite eft tirée d'un point en dedans du cercle, elle eft appellée fecante intérieure ; telles font les lignes AB & AD de la Figure 39 mais fi la ligne eft tirée du centre même jufqu'à la circonférence, elle prend le nom de rayon, comme nous avons dit.

102. Dans le troifiéme cas, c'eft-à-dire, lorfque la la ligne droite eft tirée d'un point de la circonférence, & qu'elle eft auffi terminée par la circonférence, on la nomme corde ; & fi la corde paffe par le centre, elle prend le nom de diametre ; c'eft ce que nous avons déja dit.

Il eft à propos d'obferver ici que tout arc eft concave d'un côté; fçavoir vers le centre, & convexe de l'autre: c'eft pourquoi fi on prend un point hors du cercle il eft vifible que la partie de circonférence la plus proche de ce point, eft convexe à fon égard, & que la plus éloignée eft concave : par exemple, dans la Figure 37 l'arc FH eft convexe par rapport au point A, & l'arc BE eft concave.

THEORÊME I.

103. Une ligne qui coupe une corde peut avoir trois conditions: 1°. Paffer par le centre: 2°. Couper la corde en deux parties égales: 3°. Etre perpendiculaire à la corde. Or deux de ces conditions tant pofées, la troifiéme s'enfuit néceffairement.

१

DEMONSTRATION.

I CAS. Si une ligne, comme EF, paffe par le centre, Fig. 36 & qu'elle coupe la corde AB en deux parties égales elle eft perpendiculaire à cette corde car fi elle passe par le centre, fon point C, qui eft le centre même, eft également éloigné des deux points de la circonférence A & B, qui font les extrémités de la corde d'ailleurs puifque par l'hypothefe la ligne EF coupe la corde en deux parties égales, le point d'interfection D eft encore également diftant des deux extrémités A & B; il y a donc deux points dans la ligne EF également diftans des deux extrémités de la corde; & par conféquent cette ligne eft perpendiculaire à la corde (70).

II CAS. Si la ligne EF paffe par le centre, & qu'elle foit perpendiculaire à la corde, elle coupe la corde en deux parties égales : car puifque la ligne EF paffe par le centre, fon point C eft également éloigné des deux points A & B de la circonférence; ainfi cette ligne étant fuppofée perpendiculaire, tous les autres points. doivent être également éloignés des deux mêmes points (68); par conféquent fon point d'interfection D eft auffi également éloigné des deux extrémités A & B de la corde, c'est-à-dire, que la corde eft coupée en deux parties égales.

III. CAS. Enfin fi la ligne EF coupe la corde en deux parties égales, & qu'elle foit perpendiculaire à la corde, elle paffe par le centre : car la ligne EF coupant la corde en deux parties égales, le point d'interfection D eft également diftant des deux extrémités A & B de la corde: mais d'ailleurs cette ligne eft fuppofée perpendiculaire à la corde; donc étant prolongée, elle paffe par tous les points du même plan également diftans de A & de B (69) Or le centre eft également éloigné des deux points A & B qui font dans la circonférence; par conféquent la perpendiculaire EF paffe par le centre. Ce qu'il falloi idémontrer,

Fig. 36.

Fig. 37.

104. Remarquez que dans ces trois cas, la ligne EF coupe le grand arc AEB & le petit arc AFB chacun par le milieu : car dans tous ces cas la ligne EF a deux points, fçavoir C & D également éloignés des deux points A & B; ainfi tous les autres points font auffi également diftans des deux mêmes points A & B ; par conféquent le point E est également diftant de A & de B ; les cordes EA & EB font donc égales; ainfi les arcs EA & EB qu'elles foutiennent, font auffi égaux; donc le grand arc AEB eft coupé par le milieu : pareillement le point F eft également diftant de A & de B ; par conféquent le petit arc AFB eft auffi coupé par le milieu.

COROLLAIRE.

105. Il fuit de ce Theorême & de la remarque, que tout rayon, comme CF, perpendiculaire à une corde, coupe cette corde & fon arc, chacun en deux parties égales. Il fuit auffi que le rayon qui coupe la corde en deux parties égales, eft perpendiculaire à cette corde.

THEOREME 1 I.

106. Si on tire d'un même point A plufieurs lignes, com38. & 39. me AB, AD, AE, terminées à la circonfèrence, la plus longue eft celle qui paffe par le centre ; & la plus courte eft celle qui eft terminée à un point plus éloigné de B extrémité de la ligne qui paffe par le centre.

Le point A peut être ou hors du cercle, (Fig. 37) ou dans la circonférence (Fig. 38, ) ou au dedans dų cercle (Fig. 39). Il faut prouver dans ces trois cas que la ligne AB qui paffe par le centre, eft la plus longue de toutes,& que la ligne AE eft la plus courte. Pour cela il faut tirer des rayons au point D & au point E : une feule démonftration fuffira pour les trois Figures.

AVERTISSEMENT. Lorfqu'une démonftration s'applique à plufieurs Figures, il eft bon, en la lifant, de n'en regarder d'abord qu'une : & après avoir bien conçu la démonftration, on l'applique enfuite aux