SECONDE PARTIE

ABREGE 'DES ELEMENS

DE

GEOMETRIE

NOTIONS

L

PRELIMINAIRES.

A GEOMETRIE eft une partie des Mathématiques, qui traite de l'étendue & de fes différens rapports.

Cette Science ne confidere pas l'étendue en tant qu'elle eft revêtue des qualités fenfibles,, telles que font la dureté, la fluidité, la lumiere, les couleurs, &c. Mais fon véritable objet eft l'étendue confiderée en tant qu'elle a trois dimenfions, longueur largeur & profondeur.

L'étendue en longueur confiderée fans largeur & fans profondeur, fe nomme Ligne.

II Partie

L'étendue en longueur & en largeur confiderées enfemble indépendamment de la profondeur, se nomme Surface.

L'étendue en longueur, en largeur & en profondeur confiderées enfemble, fe nomme Solide, & quelquefois Corps

On appelle Point une partie d'étendue que l'on confidere comme n'ayant aucune étendue : telle est l'extréfuité d'une ligne.

:

Remarquez qu'il n'y a point d'étendue qui ne foit jointe avec les trois dimenfions; fçavoir, longueur, largeur & profondeur ; & qu'il n'y a pas de point fans étendue mais cela n'empêche pas qu'on ne puiffe confiderer quelques-unes de ces dimenfions fans les aures: par exemple, on peut confiderer la longueur fans la largeur & la profondeur ; & de même on peut confi derer la longueur & la largeur, fans faire attention à la profondeur : enfin on peut confiderer le point fans aucune dimenfion.

Il y a donc feulement trois efpéces d'étendues, la ligne, la furface & le folide ou corps"; c'eft pourquoi nous diviferons la Géometrie en trois Livres.

Dans le premier, nous traiterons des lignes. Dans le fecond, nous parlerons des furfaces. Dans le troifiéme, nous traiterons des folides. Enfin, après ces trois Livres nous donnerons un Traité de Trigonométrie, qui fera connoître sensiblement l'utilité de la Géometrie.

LIVRE PREMIE R.

No

Ous fuppoferons dans ce Livre & dans le fuivant que toutes les lignes & toutes les furfaces dont nous parlerons, font fur le même plan. Un plan eft une

furface unie qui n'a ni enfoncement, ni élévation, ni courbure; telle eft fenfiblement la furface d'une glace bien polie, & celle d'une table bien unie.

Il y a trois fortes de lignes, la droite, la courbe & la mixte.

ART. 1. La ligne droite eft celle dont tous les points Fig. 1. font dans la même direction: telle eft la ligne AB.

2. La ligne courbe eft celle dont tous les points ne font pas dans la même direction: telles font les lignes

AEB & ADB.

3. La ligne mixte eft celle qui eft en partie droite & Fig. en partie courbe : telle eft la ligne ABCD.

Après ces notions, on peut regarder les trois propo fitions fuivantes, comme des axiomes qui n'ont pas be foin de démonstration.

I.

4. On ne peut tirer qu'une feule ligne droite d'un Fig. 1 point à un autre point; mais on en peut tirer une infinité de courbes cela paroît par la premiere Figure, dans laquelle il est évident qu'on ne peut tirer que la feule ligne droite AB, du point A au point B, quoiqu'on puiffe tirer du premier point au fecond plusieurs lignes courbes, comme AEB & ADB.

I I.

5. La ligne droite eft la plus courte que l'on puiffe mener d'un point à un autre point: par exemple, la ligne AB, tirée du point A au point B, eft plus courte que chacune des trois lignes AEB, ADB & ACB; c'eft pourquoi la ligne droite eft la mefure exacte de la diftance qui eft entre deux points. La ligne ACB compofée de deux lignes droites qui ont différentes directions "peut être appellée une ligne brifée. On pourra donc dire qu'une ligne droite eft plus courte qu'une ligne brifée qui aboutit aux mêmes points que la droite.

III.

6. La pofition d'une ligne droite ne dépend que de

deux points ; en forte que fi on connoît la pofition de deux points, on connoît auffi celle de la ligne entiere: nous nous fervirons fouvent de cet axiome dans la fuite ; c'eft pourquoi il eft à propos de l'expliquer en peu de mots pour le faire bien concevoir.

Il est évident que plufieurs lignes droites peuvent Fig. 3. paffer par un même point; par exemple, la ligne CD & la ligne AB paffent toutes les deux par le point E; on en peut même faire paffer une infinité d'autres par ce point; ainfi un feul point ne détermine pas la pofition ou la direction d'une ligne droite : mais fi on prend deux points comme E & F, il n'eft pas poffible de faire paffer par ces deux points d'autres lignes droites que Fig. 3. CD: car il eft clair que toutes les lignes droites qui pafferoient par les deux points E & F, feroient couchées fur la ligne CD ; & par conféquent elles ne feroient pas différentes de cette ligne : donc deux points fuffifent pour déterminer la pofition d'une ligne droite.

AVERTISSEMENT. Lorfqu'on ne trouvera point de figure citée pour un article, il faudra regarder celle qui aura été citée en dernier lieu à la marge. Ainfi dans le Corollaire fuivant nous nous fervirons de la troisiėmę figure qui vient d'être citée.

7. Il fuit du dernier axiome que deux lignes droites ne peuvent fe couper que dans un feul point car fi deux lignes telles que AB & CD qui fe coupent au point E, fe coupoient encore en un autre point, comme chaque point d'interfection eft commun aux deux lignes, ces deux lignes auroient deux points communs, & par conféquent la pofition d'une ligne droite ne dépendant que de deux points, les deux lignes auroient tous les autres points communs, & ne feroient qu'une feule ligne droite; ce qui eft contre la fuppofition ou l'hypothese ainfi deux lignes droites ne peuvent fe couper qu'en un feul point.

Ce Corollaire feroit évidemment faux, fi on ne con

deroit pas les lignes fans largeur; car fi les lignes étoient regardées comme ayant de la largeur, il eft clair que le point d'interfection auroit de l'étendue, & pourroit par conféquent être divifé en deux autres points qui feroient communs aux deux lignes..

8. Il fuit encore du même axiome que fi deux points, comme C & D, d'une ligne droite font également éloignés de deux autres A & B, chaque point de la ligne CD fera à égale distance de ces deux points A & B ;. ainfi E est également diftant de A & de B : c'eft la même chofe des autres points de la ligne CD. C'est une fuire bien claire du troifiéme axiome..

9. Remarquez que quand on fuppofe que les deux Fig. points C & D font également diftans des deux autres points A & B, on ne veut pas dire que les points C & D font également diftans de A, & qu'ils le font auffi. également de B; mais on veut dire que le point C en particulier eft également éloigné de A & de B ; & pareillement que le point D eft autant éloigné de A, qu'il eft éloigné de B.

10. Les deux points.C & D de la ligne CD étant Fig.4 encore fuppofés, chacun également éloignés de A & de B, non-feulement tous les points de la ligne CD font également diftans des deux points A & B ; mais de plus, fi elle eft prolongée de part & d'autre, elle paffera par tous les points également éloignés de A & de B: enforte qu'il ne peut y avoir aucun point à côté de la ligne CD qui foit également distant des points A & B: foit, par exemple le point F qui eft à côté de la ligne CD, je dis qu'il n'eft point également diftant de A de B, ou, ce qui eft la même chofe, que les lignes FA & FB tirées du point F aux points A & B, ne font point égales : car les deux lignes EA & EB font égales, parce que tous les points de la ligne CD font également. éloignées de A & de B ; par conféquent fi on ajoûte FE à chacune de ces deux lignes égales, on aura encore

A