deux autres lignes égales ; fçavoir FEA & FEB ou FB : or FA eft plus courte que la ligne brifée FEA (5); donc FA eft auffi plus courte que FB ; donc le point F n'est pas également diftant des points A & B. On peut démontrer la même chofe de tous les autres points qui font à côté de la ligne CD; par conféquent cette ligne étant prolongée, paffera par tous les points également éloignés de A & de B.

AVERTISSEMENT. Lorsqu'un nombre est renfer mé entre deux parentheses, c'est une citation, c'est-àdire, qu'il fignifie que la propofition qui le précéde ou qui le renferme eft prouvée par l'article défigné par le nombre. Ainfi après avoir dit dans l'article précédent Fig. 4 que la ligne FA eft plus courte que FEA, on a mis (5) pour faire connoître que cette propofition eft prouvée par l'article 5.

Fig. 5.

DE LA LIGNE CIRCULAIRE.

Entre les lignes courbes nous ne confidererons dans ces élémens que la ligne circulaire, qui n'eft autre chofe que la circonférence entiere, ou quelque partie de la circonférence d'un cercle.

11. On peut définir la circonférence d'un cercle une ligne courbe qui termine une surface plane de tous côtés, & dont tous les points font également diftans d'un point qu'on nomme centre. Il y a cette différence entre le cercle & la circonférence; que le cercle eft l'efpace renfermé dans la circonférence, & la circonférence eft la ligne courbe qui termine cet efpace. Cependant on fe fert fouvent du terme de cercle, pour fignifier la circonférence, excepté dans la Géometrie.

12. Toute partie de la circonférence eft appellée are: ainfi AD, EIF, GLH font des arcs.

13. Toute ligne droite comme EF, terminée de part & d'autre par la circonférence, eft appellée cerde & quelquefois foutendante.

4. Si la corde paffe par le centre on la nom me

diametre, comme AB..

2

15. Une ligne tirée du centre à la circonférence est appellée rayon; comme CD, CA, CB.

16. Les Géometres divifent la circonférence de tout cercle en 360 parties égales, qu'ils appellent degrez.

Chaque degré fe divife en foixante parties égales, qu'on appelle minutes; chaque minute fe divife en foixante parties égales, qu'on nomme fecondes ; & chaque feconde en foixante tierces, & ainfi de fuite à l'infini: enforte que par degré il ne faut pas entendre une grandeur abfolue, mais feulement la trois cens foixantiéme partie de quelque circonférence que ce foit, grande ou petite : ainfi la plus petite circonférence a autant de degrés que la plus grande : mais elle les a plus petits à proportion; de même que chaque grandeur telle qu'elle foit, grande ou petite, a deux moitiés proportionnées à leur tout.

17. Si du même centre on décrit plufieurs circonférences, elles font appellées concentriques, auffi - bien que les cercles qu'elles renferment comme dans la Figure 9.

18. Tous les rayons d'un cercle font égaux ; c'eft une fuite de ce que le centre eft également diftant de tous les points de la circonférence.

19. Tous les diametres d'un cercle font égaux: car chaque diametre eft compofé de deux rayons, & par conféquent puifque tous les rayons font égaux, tous les diametres le font auffi.

20. Dans deux cercles égaux, les rayons & les diametres de l'un font égaux aux rayons & aux diametres de l'autre.

21. Tous les diametres divifent le cercle & la circonférence en deux parties égales: car tous les points de la circonférence étant également diftans du centre, la courbure de cette circonférence eft uniforme

c'est-à-dire qu'elle eft par-tout égale ; & par conféquent de quelque maniere que foit fitué le diametre, il partage toujours le cercle & la circonférence en deux parties égales.

22. Dans le cercle les cordes égales foutiennent des arcs égaux; & réciproquement les arcs égaux font foutenus par des cordes égales par exemple, fi les corFig. 5. des EF & GH font égales, il faut que les arcs EIF & GLH qu'elles foutiennent, foient égaux : & fi ces arcs font égaux, il faut que les cordes EF & GH foient égales: car puifque la courbure de la circonférence est uniforme ou égale dans toutes fes parties, il eft néceffaire que les cordes égales foutiennent des arcs égaux, & que les arcs égaux foient foutenus par des cordes égales. 23. On peut dire pareillement que dans deux cercles égaux les cordes égales foutiennent des arcs égaux, que les arcs égaux font foutenus par des cordes égales par exemple, fi les cordes EF & effont égales, il faut que leurs arcs foient égaux; & fi ces arcs font égaux, les cordes font égales. Cela paroîtra clairement, fi l'on conçoit que la premiere circonférence foit pofée fur la feconde, enforte que la corde EF foit appliquée fur l'autre corde e f: car il eft évident que les arcs feront pofés exactement l'un fur l'autre, & qu'ils font par conféquent égaux, auffi-bien que les cordes.

Fig. 5.

&

24. Remarquez que quand on parle d'un arc foutenu par une corde, il faut toujours entendre celui qui eft le plus petit: par exemple, fi on parle de l'arc foutenu par la corde EF, il faut entendre l'arc EIF, & non pas l'arc ELF, à moins qu'on ne marque expreffément ce dernier.

24B. Le Diametre eft la plus longue de toutes les cordes par exemple, le Dianietre AB eft plus long que la corde EF: car foient tirés les deux rayons CE, CF ; le diametre eft égal à ces deux rayons pris erfemble (19).

Or ces deux rayons font plus grands que la corde EF (5) qui eft une ligne droite tirée du point E au point F. De plus il eft évident que de deux cordes inégales, comme EF, & OP, la plus longue foutient un plus grand arc que l'autre, foit dans le même cercle, foit dans des cercles égaux. Réciproquement fi deux arcs. font inégaux, la corde qui foutient le plus grand arc eft plus longue que celle qui foutient le plus petit. Cela eft également vrai de deux arcs inégaux pris du même cercle ou de cercles égaux.

25. Dans un cercle les cordes égales font également éloignées du centre, & réciproquement les cordes également éloignées du centre font égales. C'est encore une fuite évidente de la parfaite uniformité de la cir

conférence.

26. Pareillement dans deux cercles égaux, les cordes égales font également éloignées des centres ; & réciproquement les cordes également éloignées des centres font égales.

Après avoir donné les notions des lignes tant droites que circulaires, & avoir expofé plufieurs propofitions évidentes, fondées fur la nature même de ces lignes, il est à propos de réfoudre plufieurs problêmes fur cette

maticre.

PROBLEME I.

27. D'un point donné, comme C, pour centre, & d'un Fig. 5. intervalle aussi donné, comme CA, décrire une circonfé

rence.

Ouvrez le compas de l'intervalle donné CA, mettez une de fes pointes fur le point donné C, faites enfuite tourner l'autre pointe en tenant toujours la premiere immobile fur le point C; la ligne courbe que la feconde pointe décrira par ce mouvement, fera la circonférence cherchée

Il est évident par cette opération que du même centre & du même intervalle on ne peut décrire qu'un cercle, & que tous les cercles qui font décrits du même intervalle font égaux.

PROBLEME II.

Fig. 6. 28. Trouver une ligne droite qui ait tous fes points également diftans de deux autres points donnés comme A & B.

Des deux points donnés A & B, & d'un même intervalle pris à difcrétion, décrivez des arcs qui fe coupent en un point que nous appellerons C. Décrivez auffi des mêmes points donnés A & B, & de la même ouverture du compas, deux autres arcs qui fe coupent au-deffous en D; tirez la ligne CD, chacun de fes points fera également éloigné des deux points A & B; car ayant tiré les lignes AC & BC, elles feront rayons de cercles égaux, puifque C eft le point d'interfection de deux arcs qui ont pour centres les points A & B, & qui ont été décrits de la même ouverture du compas: donc ces lignes font égales ; par conféquent le point C eft également éloigné de A & de B. Par la même raifon le point D eft également éloigné de A & de B; ainfi la ligne CD a deux points, fçavoir C & D, également diftans de A & de B: donc tous les autres points de la ligne CD font auffi (8) également diftans de A & de B.

29. Quand nous avons dit qu'il falloit décrire les deux derniers arcs d'une même ouverture du compas, nous n'avons pas prétendu dire qu'ils fuffent décrits de la même ouverture que les deux premiers ; mais feulement que les deux derniers arcs devoient être décrits P'un & l'autre d'une même ouverture du compas, laquelle peut être égale à celle dont on s'eft fervi pour les deux premiers arcs, ou différente.

On peut obferver ici que les lignes ponctuées font celles que l'on tire feulement pour la démonstration :