BD, fon prend BG égale à la partie BE de la fécan- Fig. 74 Si on veut retenir cette démonstration, il faut prendre garde qu'elle dépend du changement appellé dividendo, & de la fubftitution de certaines lignes à la place d'autres qui font égales à celles que l'on fübftitue. On peut auffi couper la tangente BD en moyenne & extrême raifon d'une autre maniere, en tirant la ligne EH parallele à AD: car pour lors à caufe des paralleles AD & EH le rapport de BH à HD fera égal (151) à celui de BE à EA. Ainfi puifque la fécante BA est divifée en moyenne & extrême raifon au point la tangente BD eft pareillement divifée en moyenne & extrême raifon au point H, en forte que BD. HD:: HD. BH. E, PROBLEME I. 1 170.. Trois lignes, comme A, B, C, étant données, Fig. 75, trouver une quatriéme proportionnelle D. Tirez deux lignes indéfinies telles que EH & EK qui faffent tel angle qu'il vous plaira ; prenez fur une de ces lignes la partie EF égale à la ligne donnée A, & fur l'autre la partie EG égale à la feconde ligne B; tirez la ligne FG: prenez enfuite fur la ligne EF prolongée tant qu'il fera befoin, la partie FH égale à la troisiéme li Fig. 75. gne C qui eft donnée, & tirés HK parallele à FG, la li gne GK renfermée entre les deux paralleles FG & HK fera la quatriéme proportionnelle cherchée : car à cause des paralleles FG, HK, on a la proportion ( EF. EG:: FH. GK, ou bien A. B:: C. D. (151) 170 B. Remarque. Quand on opere fur le terrein & que les lignes données contiennent plufieurs toifes, il faut fe fervir de l'arithmetique en faifant la regle de trois. Par exemple, fi les trois lignes données font 12, 15 & 20 toifes on multipliera les deux nombres 15 & 20 l'un par l'autre, & on divifera le produit 300 par 12, le quotient 25 fera la quatriéme ligne cherchée, 'Avant le calcul il eft bon de reduire les trois nombres qui expriment les lignes à une plus petite efpece, par exemple, à des pouces, furtout quand quelqu'une des trois lignes contient des pouces outre les toifes. Cette remarque a auffi lieu pour le problême fuivant. PROBLEME IK 171. Deux lignes, comme A & B, étant données, trouver une troifiéme proportionnelle que nous nommerons encore D; en forte qu'on ait la proportion A. B:: B. D. Ce problême fe réfout de la même maniere que le premier, avec cette différence que la troifiéme ligne FII de la Figure 75, doit être égale à la feconde EG; & alors la ligne GK comprife entre les deux paralleles eft la troifiéme proportionnelle cherchée. PROBLEME IIJ. 172. Deux lignes, comme A & C, étant données, trouFig. 76. ver une moyenne proportionnelle entre ces deux lignes don nées. Tirez une ligne indéfinie telle que DF, fur laquelle prenez DG égale à la ligne donnée A, & la ligne GF égale à la ligne donnée C; divifez la fomme DF en deux également au point ; & de ce même point comme centre, & de l'intervalle OD, décrivez un cercle: enfuite du point G élevez la perpendiculaire GE jusqu'à Fig. 76, la circonférence : elle fera la moyenne proportionnelle cherchée entre A & C. C'est une fuite évidente du fecond Corollaire (165). du Théorême fecond. 172 B. Remarque. Il faut refoudre ce Problême par l'Arithmetique lorfque l'on opere fur le terrein, & que les deux lignes données contiennent plufieurs toifes. Pour cet effet on multipliera l'un par l'autre les deux nombres qui expriment les toifes, ou les pieds, ou les pouces, &c, des lignes données, & on tirera la racine quarrée du produit : cette racine fera la moyenne proport. qu'on cherche (arith. Liv. 1 1 art. 42.)On peut auffi employer la même methode fur le papier pourveu qu'on ait une échelle de parties égales, c'est-à-dire une ligne divifée en parties égales, il y a une échelle de cette forte fur le compas de proportion qui fe trouve dans les étuis de Mathématique. Il est vrai que la racine qu'on tire n'eft prefque jamais exacte, mais on approche tant qu'on veut de la veritable foit par la méthode de l'approximation des racines, foit en reduifant à de très-petites efpeces les toifes ou les pieds que contiennent les deux lignes prifes fur le terrein, PROBLEME IV. 173. Divifer une ligne donnée en des parties semblables Fig.77. qu proportionnelles à celles d'un autre ligne donnée. Soit la ligne CD divifée en trois parties: fçavoir, CE, EF, FD; foit auffi donnée la ligne droite AB qu'il faut divifer en parties femblables à celles de CD. Tirez la ligne ab égale à AB & parallele à CD: enfuite par les extrémités de la ligne donnée CD, & celles de la parallele ab, tirez deux lignes, lefquelles iront fe rencontrer dans un point comme K: enfin menez de ce point K des lignes droites aux points de divifions de la ligne donnée CD; elles couperont la parallele égale à AB en parties proportionnelles ou femblables à celles de la ligne donnée CD. Cette pratique a été démontrée dans le fepriéme Corollaire (159) du premier Théorême. 174. On peut par ce problème divifer une ligne donnée en tant de parties égales qu'on voudra: fuppofons, par exemple, qu'on veuille divifer la ligne AB en cinq parties égales, il faut tirer une ligne droite indéfinie Fig. 78. telle que MN, fur laquelle vous prendrez avec le compas cinq parties égales de quelle grandeur vous voudrez, telles que MC, CD, DE,EF,FG;enfuite vous tirerez la ligne a b égale à AB qui foit parallele à la ligne indéfinie MN: & faites le refte comme dans le Problême. Il est évident que la ligne ab fera partagée en cinq parties égales. Fig. 79. PROBLEME V. 175. Couper une ligne, comme BD, en moyenne & ex trême raison. Sur une extrémité de la ligne donnée BD, par exem ple, fur l'extrémité D, élevez la perpendiculaire CD égale à la moitié de la ligne BD : enfuite du point C comme centre & de l'intervalle CD, décrivez une circonférence; & puis de l'autre extrémité B de la ligne donnée BD, tirez la fécante BA qui paffe par le centre du cercle, & coupe la circonférence au point E: prenez BG égale à la partie extérieure BE de la fécante. Jedis que la ligne BD fera coupée en moyenne & extrême raifon au point G ; c'eft-à-dire, qu'on aura la proportion, BD. BG:: BG. GD. Pour démontrer cette proportion, il faut remarquer que la ligne BD eft une tangente (112), puifqu'elle eft par la conftruction perpendiculaire à l'extrémité du rayon CD. 2°. Que la fécante BA paffant par le centre, la partie intérieure EA eft un diametre, & par conféquent double du rayon CD. Or par la conftruc |