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LIVRE SECOND.

DES SURFACES ET DES FIGURES

PLANES.

IGURE en général eft un efpace renfermé de tous côtés. Il y en a de deux fortes; les unes font terminées par des lignes ; les u

tres font terminées par des furfaces celle-ci font des folides dont nous parlerons dans le troifiéme Livre; les autres qui font terminécs par des lignes font des furfaces dont nous devons traiter ici. Or on diftingue trois efpeces de ces figures, les planes, les courbes, & les mixtes.

2. Les figures planes font des furfaces unies qui n'ont ni enfoncement, ni élévation, ni courbure: telle eft fenfiblement la furface des miroirs ordinaires. On peut dire auffi que la figure plane eft celle fur laquelle une ligne droite étant appliquée ou couchée de quelque maniere que ce foit, tous fes points touchent la furface plane. On fuppofe ici que la ligne droite n'eft pas prolongée au-delà de la furface.

3. Les Figures courbes font celles dont les points font inégalement élevés ou enfoncés: telle eft la furface d'une boule.

4. Les figures mixtes font celles qui font en partie planes, & en partie courbes.

Les figures planes, qui font les feules dont nous parlerons dans ce fecond Livre, font encore de trois Tortes les rectilignes, qui font terminées par des lignes droites ; les curvilignes, qui font terminées par des lignes courbes ; & enfin les mixtilignes, qui font terminées par des lignes dont les unes font droites, & les autres courbes.

6. Remarquez donc qu'il y a de la différence entre une furface ou fuperficie courbe, & une fuperficie curviligne ; puifqu'une furface plane peut être curviligne, quoiqu'elle ne puiffe être courbe: un cercle, par exemple, eft une furface curviligne, quoiqu'elle ne foit pas

courbe.

Dans les figures rectilignes auxquelles on peut rapporter les deux autres efpeces de figures planes, il y a trois chofes principales à confiderer, les côtés, les angles & la furface. Nous confidererons d'abord les figures par rapport aux côtés & aux angles qu'ils forment, & enfuite par rapport aux furfaces que ces côtés renferment.

DES FIGURES

PLANES,

confidérées felon leurs côtés & leurs angles.

Si une figure n'est terminée que par des lignes droi tes, il faut qu'il y en ait au moins trois ; c'est pourquoi l'angle n'est pas une figure.

7. On a donné aux figures rectilignes les plus fimples certains noms qu'il ne faut pas ignorer la figure de trois côtés s'appelle triangle, celle de quatre s'appelle quadrilatere ou tetragone, celle de cinq s'appelle pentagone, celle de fix exagene, celle de fept eptagone, celle de huit octogone, celle de neuf enneagone, celle de dix decagone, celle de onze, endecagone, celle de douze dodecagone, celle de mille chiliogone, celle de dix mille myriogone, celle de plufieurs côtés fe nomme indéfiniment polygone.

8. Une figure eft réguliere ou irréguliere. La régulièrè eft celle dont tous les côtés & les angles font égaux. La figure irréguliere eft celle dont tous les angles ou tous les côtés ne font pas égaux. Si tous les côtés d'une figure font égaux, elle eft appellée équilaterale ; & fi tous les angles d'une figure font égaux on la nomme équiangle: il paroît donc que fi une figure eft équilaterale & en même-tems équiangle, pour lors elle est réguliere.

9. Quand on compare deux figures ensemble, files côtés de l'une font égaux aux côtés de l'autre refpectivement, c'est-à-dire, chacun à chacun, on dit qu'elles font équilaterales entr'elles: fi les angles de l'une font égaux aux angles de l'autre refpectivement, elles font nommées équiangles entr'elles: fi de plus dans ce dernier cas les côtés homologues ou correfpondans font proportionnels, on appelle ces figures femblables. Ainfi toutes les figures femblables font équiangles entr'elles : mais nous prouverons dans la fuite (52) que les figures équiangles entr'elles ne font pas toujours femblables. Si les côtés comparés font égaux auffi-bien que les angles, les figures font appellées toutes égales, ou égales en tout, ou parfaitement égales.

10. De toutes les figures curvilignes, nous ne confidererons dans ces Elémens de Géométrie que le cercle; & des figures mixtilignes, nous ne parlerons que de celles qui ont rapport au cercle : telle eft celle qu'on nomme fegment, dont nous avons donné la notion (Liv. I. Art. 121), & celle qu'on appelle secteur de cercle.

11. Un fecteur de cercle eft une certaine portion de cercle comprise entre deux rayons, & l'arc terminé par ces deux rayons: par exemple, l'efpace marqué par A. AVERTISSEMENT. Lorfque dans ce fecond Livre, on citera quelque article du premier, on mettra entre deux parantefes Liv. I. Art. & enfuite le nombre de l'Article cité : par exemple pour citer l'Art. 150.

au premier Livre, on mettra (Liv. I. Art. 10). Mais quand on voudra citer un article de ce fecond Livre, on mettra feulement le nombre de l'article cité, comme on l'a fait dans le premier Livre. On obfervera la même chose dans le troifiéme Livre ; c'est-à-dire, que quand on voudra citer un article du premier ou du fecond Livre, on mettra entre deux parantefes Liv. I. Art. ou Liv. II. Art. mais lorsqu'il s'agira de citer un article du troifiéme Livre, on marquera feulement le nombre de l'article cité.

DES TRIANGLES.

12. Dans tout triangle il y a trois côtés & trois angles. On prend ordinairement pour base du triangle le côté inférieur ; mais on peut prendre pour bafe tout autre côté du triangle ; par exemple, le côté AC eft la base du triangle ABC; mais cela n'empeche pas que Fig. z l'on ne puiffe auffi confidérer le côté AB ou le côté BC comme base.

13. La ligne perpendiculaire qu'on mene de la pointe d'un angle fur la bafe, fe nomme la hauteur du triangle: telle eft la ligne BH. Il peut arriver que cette perpendiculaire tombe en dehors du triangle; & pour lors, afin d'avoir la hauteur, il faut prolonger la bafe du côté où tombe la perpendiculaire : par exemple, fi du point E du triangle DEF, on abbaiffoit la perpendiculaire Fig. 3 EH fur la bafe DF; il eft clair qu'elle tomberoit en dehors du triangle, & qu'il faudroit prolonger cette base au-delà du point D, afin que la perpendiculaire la ren

contrât.

14. Le triangle peut être confidéré ou par rapport à fes côtés, ou par rapport à fes angles : fi on le confidére par rapport à fes côtés, il y en a de trois efpeces: car ou fes trois côtés font égaux, & on l'appelle équilateral; tel est le triangle ABC, Fig. 2; ou il n'a que deux côtés égaux, comme dans la Fig. 4, & on l'appelle ifocele ;

Fig. 5.

ou bien enfin fes trois côtés font inégaux, comme dans la Fig. 5, & on l'appelle fcalene.

15. Lorfque le triangle eft confidéré par rapport aux angles, on en diftingue encore de trois fortes; le triangle rectangle qui a un angle droit ; tel est le triangle MNO Fig. 5; l'amblygone ou obtufangle qui a un angle obtus; tel eft le triangle EDF Fig. 3 ; & l'oxygone ou acutangle qui a fes trois angles aigus, comme dans la Fig. 2, ou dans la Fig. 4. Le triangle amblygone & le triangle oxygone font auffi appellés obliquangles, parce que tous leurs angles font obliques.

Nous démontrerons dans la fuite, qu'il eft impoffible qu'il y ait dans un triangle deux angles qui foient ou tous deux droits, ou tous deux obtus, ou un droit & un obtus.

Nous fuppofons qu'il fe peut toujours faire qu'une circonférence paffe par les fommets des trois angles de chaque triangle: cela fuit évidemment de ce qu'on peut décrire une circonférence qui paffe par trois points donnés, pourvû qu'ils ne foient pas en ligne droite (Liv. I. art. 32.) Cela pofé, on démontre facilement le Théorême fuivant, qui eft un des plus beaux & des plus utiles de toute la Géométrie.

THEOREME I. ET

FONDAMENTAL.

16. Les trois angles d'un triangle pris ensemble font égaux à deux angles droits, ou, ce qui eft la même chofe, ces trois angles ont pour mesure la demi-circonférence.

DÉMONSTRATION.

Par la fuppofition qu'on a faite, tout triangle, comme ABC, peut être conçu infcrit dans un cercle ; alors l'angle A aura pour mefure la moitié de l'arc BC, l'angle B aura pour mefure la moitié de l'arc CA, & l'angle C aura pour mefure la moitié de l'arc AB (Liv. I. art. 124). Or ces trois arcs font la circonférence entiere; donc les trois moitiés de ces trois arcs, font la demicirconférence;