eirconférence; par conféquent les trois angles du triangle pris ensemble, ont pour mesure la demi-circonférence; ils font donc égaux à deux angles droits. Ce qu'il falloit démontrer.

On peut encore démontrer ce Théorême de la maniere fuivante.

Tirez par le point C une ligne DE parallele à la base Fig. 7. AB; alors les deux angles alternes a & A formés par l'oblique CA, entre les paralleles feront égaux: pareilment les deux angles alternes b & B formés par l'oblique CB, feront auffi égaux. Or les trois anglesa, C, b pris enfemble font égaux à deux angles droits (Liv. I. art. 57): par conféquent, fi à la place des deux angles a & b, on prend les deux autres A & B qui leur font égaux ; les trois angles A, C, B pris ensemble valent auffi deux angles droits.

Ce Théorême eft la fameufe trente-deuxième propofition du premier Livre d'Euclide.

COROLLAIRE I

17. Si on prolonge un des côtés, comme AB, d'un Fig. 8. triangle, l'angle extérieur CBD ou g fera égal aux deux intérieurs oppofés m & o pris enfemble: car l'angle extérieur g joint à l'angle n vaut deux angles droits (Liv. 1. art. 54). De même les angles m & o joints au même angle n, valent auffi deux angles droits (16). Par con féquent l'angle extérieur geft égal aux angles intérieurs oppofés m & o pris enfemble. On peut prouver de la même maniere qu'en prolongeant le côté BC, l'angle extérieur ACE ou heft égal aux intérieurs oppofés m & pris ensemble. Pareillement fi on prolonge le côté CA, l'angle extérieur BAF ou k, fera égal aux deux intérieur o & n.

COROLLAIRE IL

18. Dans chaque triangle, dès que l'on connoît deux angles, on peut facilement connoître le troifiéme : car II Partie.

Fig. 8. le troifiéme eft toujours le fupplément à 180 degréss par exemple, fi l'on connoît deux angles, dont l'un foit de 40 degrès, & l'autre de So, on eft affuré que le troifiéme eft de 60 degrés, parce que les deux premiers pris ensemble, valent 120 degrés or le fupplément de 120 degrès à 180 eft 60. pour trouver le troifiéme angle ik n'y a qu'à retrancher la fomme des deux angles connus de 180 degrés.

19. Si dans un triangle on ne connoîtque la valeur d'un angle, on pourra bien connoître la fomme des deux autres angles; mais on ne pourra connoître la valeur de chacun en particulier : ainfi fi l'angle connu étoit de so degrés, on fçauroit bien que la fonime des deux aupas tres eft de 130 degrés ; mais on ne connoîtroit combien de degrés feroient l'un & l'autre de ces deux angles féparément.

COROLLAIRE III.

de

20. Lorfque deux angles d'un triangle font égaux à deux angies d'un autre triangle chacun à chacun, ou que la fomme des deux dans le premier eft égale à la fomme des deux dans le fecond, pour lors le troifiéme angle du premier triangle eft égal au troifiéme angle du fecond: & fi un angle du premier triangle eft égal à un angle du fecond, la fomme des deux autres dans le premier eft égale à la fomme des deux autres dans le fecond. Cela paroit clairement, tant par le Théorême fondamental, que par ce que l'on vient de dire dans le fecond corollaire.

COROLLAIRE IV.

21. Chaque triangle ne peut avoir qu'un angle droit, ou un feul obtus; de forte que fi un angle eft droit ou obtus, les deux autres font néceffairement aigus: autrement les trois angles pris enfemble, feroient plus grands que deux angles droits.

COROLLAIRE V.

21 B. Dans un triangle rectangle les deux angles aigus font complements l'un de l'autre, c'est-à-dire, , que la fomme de ces deux angles vaut un angle droit autrement les trois pris ensemble ne vaudroient pas deuxangles droits. Par conféquent fi un de ces angles aigus eft de 45 degrés, l'autre vaut auffi 45 degrés.

THEOREME II.

22. Lorfque dans un triangle il y a des côtés égaux, les angles oppofés à ces côtés font auffi égaux; & réciproquement s'il y a des angles égaux, les bafes ou côtés opposés font égaux.

DEMONSTRATION.

Soit le triangle ACB, dont le côté AC foit fuppofé Fig. 6. égal au côté BC, je dis 1°. que l'angle en B oppofé au côté AC eft égal à l'angle en A oppofé au côté BC car les côtés AC & BC étant égaux, les arcs AC & BC qui font foutenus par ces côtés, feront égaux, parce que les cordes égales foutiennent des arcs égaux; donc la moitié de l'arc AC, eft égale à la moitié de l'arc BC: or ces moitiés font les mefures des angles en B & en A (Liv. I.art. 124); donc ces angles font égaux. Ce qu'il falloit démontrer en premier lieu.

II. PARTIE. Si l'angle en B eft égal à l'angle en A, les côtés oppofés AC & BC font égaux car fi les deux angles en B & en A font égaux, leurs mefures, c'eft-àdire, la moitié de l'arc AČ, & la moitié de l'arc BC font égales; donc les arcs entiers AC & BC font auffi égaux. Or les arcs égaux font foutenus par des cordes égales; donc les cordes ou côtés AC & BC font égaux Ce qu'il falloit démontrer.

C

Il est évident, que fi les trois côtés d'un triangle étoient égaux, les trois angles feroient auffi égaux; &

Fig. 6. que fi les trois angles étoient égaux, les trois côtés lo feroient auffi.

Fig. 9.

THEOREME III.

23. Lorfque dans un triangle il y a des côtés inégaux, le plus grand angle eft oppofé au plus grand côté, & le plus petit angle eft oppofé au moindre côté.

DEMONSTRATION.

op

Si dans le triangle ACB l'angle en A eft plus grand que chacun des deux autres, le côté BC qui lui eft pofé eft le plus grand de tous car fi l'Angle en A eft plus grand, il faut que l'arc BC dont il a la moitié pour mefure, foit auffi plus grand que chacun des arcs AB & AC ; & par conféquent la corde ou le côté BC fera plus grand que les autres côtés. Ce qu'il falloit démon

trer.

On prouvera de même, que fi l'angle en C eft le que chaplus petit, le côté oppofé AB eft auffi moindre cun des côtés AC & BC.

THEORÊME. IV.

24. Lorsqu'un triangle eft ifocele ou equilateral, fi du Sommet de l'angle compris entre les côtés égaux, on abbaifSe une perpendiculaire fur la base : 1o. Cette base fera coupée en deux parties égales. 2°. L'angle compris entre les côtés égaux fera auffi partagé également.

du fommet de

Soit le triangle ifocele ACB, & que l'angle C, on tire la perpendiculaire CD fur la bafe AB; je dis 1°. que cette perpendiculaire coupe la bafe en deux parties égales. 2°. Qu'elle partage auffi l'angle C en parties égales. Pour le démontrer, il faut du point C comme centre & de l'intervalle CA ou CB décrire une circonférence, & prolonger la perpendiculaire CD jufqu'à la rencontre de la circonférence en E: cela pofé, le Théorême eft facile à prouver.

I. PARTIE. La bafe AB eft une corde du cercle dont le point Ceft le centre, & par conféquent la ligne CD qui eft fuppofée perpendiculaire à la corde, la coupe néceffairement en deux parties égales (Liv. I.

art. 103).

II. PARTIE. La perpendiculaire CDE étant tirée du centre, & coupant la corde AB en deux parties égales, coupe auffi (Liv. I. art. 104) l'arc AEB, foutenu par la corde, en deux parties égales, fçavoir, AE & BE. Or AE eft la mefure de l'angie ACE, & BE eft la mesure de l'angle BCE; donc ces angles font égaux : ainfi la perpendiculaire coupe l'angle Čen deux parties égales. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE.

25. Si on tire du point C une ligne qui divife l'angle C en deux parties égales, il est clair qu'elle ne différera pas de la perpendiculaire CD: par conféquent fi une ligne divife en deux parties égales l'angle compris entre les côtés égaux d'un triangle ifocele, elle fera perpendiculaire à la bafe, & la coupera en deux parties égales. Il est évident par la même raifon, que fi une ligne tirée de cet angle coupe la bafe en parties égales, elle fera perpendiculaire à la base, & divifera l'angle en deux également.

25 B. Il paroit donc par ce Corollaire & le Théorê me que quand une ligne qui est tirée du fommet de l'angle compris entre les côtés égaux d'un triangle ifocele, a une de ces trois conditions, être perpendicu laire fur la bafe, couper la base en deux parties égales & partager en deux également l'angle compris entre les côtés égaux, elle a auffi les deux autres.

26. On peut diftinguer fix chofes dans un triangle; fçavoir, trois côtés & trois angles : mais parce que deux angles étant donnés & déterminés, le troifiéme l'eft