diametres, des rayons, des cordes, des finus, des tangentes, & des fécantes d'arcs femblables, on a plufieurs raifons égales; fçavoir, la raifon des diametres, celle des rayons, celle des circonférences, celle des arcs femblables, celle des cordes, celle des finus, celle des tangentes, & celle des fécantes ; toutes ces raifons, dis-je, font égales entr'elles.

99. Il faut remarquer que dans un même cercle les différentes cordes ne font pas entr'elles comme les arcs qu'elles foutiennent par exemple, quoique l'arc AEB foit double de l'arc AE ; cependant la corde AB n'est pas double de la corde AE, puifque la corde AB n'est pas fi grande que les deux cordes égales AE & BE prifes enfemble. Les finus de différens arcs ne font pas non plus entr'eux comme ces arcs. Il en eft de même de leurs tangentes & de leurs fécantes.

THEOREME V.

100. Le côté de l'exagone régulier infcrit dans un cercle, ft égal au rayon du cercle.

DEMONSTRATION.

Fig. 39.

Du centre C, foient tirés les rayons CA & CB fur Fig. 40. les extrémités du côté AB de l'exagore je dis que ce côté est égal au rayon ; car dans le triangle ACB, l'angle C a pour fa mefure l'arc AB, qui eft de 60 degrés, puifqu'il eft la fixième partie de la circonférence : donc les deux autres angles A & B pris ensemble valent 120 degrés. Or ces deux angles font égaux, parce qu'ils font oppofés à des côtés égaux, fçavoir, aux rayons CA & CB; donc chacun de ces angles eft de 60 degrés ; donc les trois angles du triangle ACB font égaux; donc les côtés font auffi égaux; par conféquent le côté AB de l'exagone est égal au rayon, Ce qu'il falloit démontrer.

Le côté de l'exagone régulier eft une corde qui foutient un arc de 60 degrés. Ainfi la corde de 60 degrés eft égale au rayon.

Fig. 40.

COROLLAIRE. I.

05

101. Il fuit du Théorême que le périmetre de l'exagone régulier infcrit dans un cercle, contient fix fois ou eft fix fois plus grand que le rayon du cercle; & par conféquent ce périmetre eft trois fois plus grand que le diametre. Or la circonférence du cercle eft plus grande que le périmetre de l'exagone inferit ; ainsi la circonférence du cercle eft plus de trois fois plus grande que fon diametre, c'eft-à-dire, que le rapport de la circonférence au diametre eft plus grand que celui de 3 à 1, ou de 21 à 7. Archimede a prouvé qu'il eft encore un peu plus grand que la raifon de 21 à 7, qui eft la même que celle de 223 à 71: il eft même plus grand que la raifon de 210 à 7 qui eft égale à celle de ;;; à 106: mais Archimede a auffi fait voir que ce rapport de la circonférence au diametre eft moindre que la raifon de 22 à 7 : & Metius a démontré depuis, qu'il eft même plus petit que la raifon de 355 à 113, laquelle eft égale à celle de 21 à 7: il eft cependant plus grand que celle de 21 a7: ainfi le rapport exact de la circonférence au diametre, que plufieurs grands Géometres ont cherché inutilement, eft entre ces deux raifons, fçavoir, celle de 21 à 7 ou de 355 à 113, & celle de 21 à 7, qui font des limites fort étroites: il eft moindre que la premiere, & plus grand que la feconde. Tout cela eft prouvé dans un fupplément qui eft à la fin de nos Elémens de Mathématiques in-4°.

112

12544

12656

12543

Si on veut fçavoir la différence des deux fractions &, il faut les réduire au même dénominateur & on trouvera les deux fuivantes 12 & 11, qui ne différent entr'elles que de, c'est-à-dire, de la 12656me partie de l'unité;par conféquent les deux nombres 21 & 21 ne différent aufli que de la même quantité.

102. De ce que les rapports de 22 à 7 & de 355 à 113 font plus grands l'un & l'autre que la raifon de

la circonférence au diametre, il fuit que les rappports Fig. 40. renversés, c'est-à-dire, ceux de 7 à 22 & de 113 à 3 5 5. font chacun plus petits que la raifon du diametre à la circonférence, parce que les conféquens 22 & 355 étant trop grands, ils rendent les rapports trop petits: au contraire le rapport de 106 à 333 eft plus grand.

112

Dans l'ufage on fuppofe ordinairement que le rapport de 7 à 22 eft égal à celui du diametre à la circonférence: on peut auffi fe fervir de celui de 106 à 333.: & fi on veut avoir un rapport encore plus approchant du véritable, on prend celui de 113 à 355, qui est égal à celui de 7 à 21, puifque fi on arrange les termes de ces deux rapports en proportion, & qu'on multiplie les extrêmes l'un par l'autre, & les moyens de même, on trouvera que le produit des extrêmes eft égal à celui des moyens. On s'affurera de la même maniere que le rapport de 106 à 333 eft égal à celui de 7 à 2110. Il eft plus grand que celui du diametre à la cir conférence, mais il en approche plus que celui de 7 à 22, & moins que celui de 113 à 35 5.

COROLLAIRE II,

102 B. Le rayon perpend, à une corde de 120 degrés eft coupé en deux parties égales par cette corde. Soit le rayon OF (Figure 44) perpendiculaire à la corde AE que je fuppofe de 120 degrés : ce rayon coupera l'arc AFE en deux également (Liv. I. Art. 104): Barc AF eft donc de 60 degrés : ainfi la, corde AF est égale au rayon OA; donc le triangle OAF eft ifocele; ou plutôt il eft équilateral: par conféquent la corde AE tirée du fommet de l'angle A, & perpendiculaire à la base OF la coupe en deux parties égales (24).

THEOREME VI

103. Il n'y a que trois fortes de polygones réguliers, dont les angles puiffent remplir exactement l'espace qui eft autour Kun point, comme C, (Fig. 41.) Savoir, fix, triangles

Fig. 41. équilatéraux, quatre quarrés, & trois exagones réguliers.

DEMONSTRATION.

1°. Six angles de triangles équilateraux ou réguliers peuvent remplir l'efpace autour d'un point : car tous les angles qu'on peut faire autour d'un point valentenfemble quatre angles droits, puifqu'ils ont pour mefure la circonférence dont ce point eft le centre. Or fix angles de triangles équilateraux valent quatre angles droits, puifque chacun vaut le tiers de deux angles droits, c'eft-à-dire 60 degrés. Par conféquent en met tant fix triangles réguliers autour d'un point, de maniere que ce point foit le fommet commun d'un angle de chaque triangle, tout l'efpace autour du point fera exactement rempli.

2o. Quatre angles de quarrés rempliffent auffi tout l'efpace autour d'un point, parce que chacun de ces angles eft droit ; & par conféquent les quatre valent quatre angles droits.

3°. Trois angles d'exagones réguliers peuvent auffi remplir l'efpace autour d'un point: car chacun des angles de l'exagone régulier vaut 120 degrés : ainfi la fomme de trois angles vaut 360 degrés ou quatre anglés droits.

Pour ce qui eft des angles des pentagones réguliers, ils ne peuvent remplir tout l'efpace qui eft autour d'un point: car chacun des angles du pentagone régulier eft de 108 degrés: donc fi on prend trois de ces angles ils feront moins de 360 degrés ; & fi on en prend quatre ou davantage, ils feront plus de 360 degrés.

Enfin les figures régulieres qui ont plus de côtés que l'exagone, ne peuvent par leurs angles remplir exactement l'efpace autour d'un point: car plus les polygones réguliers ont de côtés, plus les angles compris entre ces côtés font grands. Or chacun des angles de l'exagone régulier vaut 120 dégrés ; par conféquent l'anglede l'eptagone régulier, par exemple, vaut plus de 120

degrés: donc trois de ces angles pris ensemble valent plus de 360 degrés. Il en eft de même des autres polygones réguliers qui ont plus de fix côtés.

Il paroît par ce Théorême, dont la découverte eft attribuée à un ancien Géometre appellé Proclus, que l'on ne peut employer pour carreler une falle, une chambre, &c. que trois fortes de carreaux réguliers, fçavoir, ceux de trois côtés, ceux de quatre & ceux de fix: ces derniers font plus d'ufage, parce que leurs angles étant plus grands, ils font moins fujets à fe caffer. Par la raifon contraire on ne fe fert gueres de carreaux triangu`laires, c'est-à-dire, de trois côtés.

104.

PROBLEM E. I.

Trouver la valeur de l'angle au centre, & celle de Pangle à la circonférence d'un polygone régulier, par exemple, d'un pentagone.

1°. Pour l'angle au centre, divifez la circonférence, Fig. 42. c'est-à-dire, 360 degrés, par le nombre des côtés du polygone, & le quotient fera la mesure de l'angle au centre: ainfi pour avoir la valeur de l'angle au centre du pentagone, il faut divifer 360 par 5, & le quotient 72 marquera que l'angle ACB eft de 72 degrés. Cela eft évident, puifque l'angle au centre d'un pentagone a pour mefure la cinquième partie de la circonférence du cercle dans lequel il peut être infcrit.

2o. L'angle de la circonférence, comme ABD, peut être facilement connu après avoir trouvé la valeur de l'angle au centre: car dans le triangle ACB, l'angle au centre plus les deux angles fur le côté AB, c'eft-à-dire, les trois angles du triangle font égaux à deux angles droits. Or l'angle ABD eft égal aux deux angles fur le côté AB pris ensemble, puifque chacun des deux, n'est que la moitié de l'angle à la circonférence (80): donc l'angle au centre & l'angle à la circonférence joints enfemble, valent deux angles droits; & par cor féquent fi de 180 degrés, qui font la mesure de deux angles droits,