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c'eft-à-dire, BC.FG:: BC. BA. Or la raison de BC à

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BA n'est pas de nombre à nombre; donc celle de BC à FG n'eft pas non plus de nombre à nombre, ou, ce qui est la même chose, les deux quarrés BC & FG font incommenfurables.

COROLLAIRE II.

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203. Il fuit de ce premier Corollaire que les lignes BC & FG font auffi incommenfurables: car fi ces deux lignes étoient comme nombre à nombre, par exemple, comme s est à 4, il est évident que leurs quarrés feroient comme 25 eft à 16; & par conféquent ces quarrés feroient commenfurables : ce qui eft contraire au premier Corollaire.

Ce que l'on vient de dire des lignes BC & FG dans ces deux Corollaires, convient auffi aux lignes FG & BA comparées ensemble, puisque la raifon de BC à FG eft égale à celle de FG à BA.

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Art. I.

LIVRE TROISIÈME

DES SOLIDE S.

ANS le premier Livre nous avons parlé de la ligne qui eft l'étendue en longueur; dans le fecond nous avons traité de la furface, qui eft l'étendue en longueur & en largeur. Il nous reste à parler du corps ou folide, qui eft l'étendue confiderée avec les trois dimenfions, longueur, largeur & profondeur.

Il y a des folides qui ne font terminés que par des plans, d'autres par une ou plufieurs furfaces courbes, d'autres enfin font terminés par des furfaces dont les unes font planes & les autres courbes. Ceux du premier genre font appellés en général polyedres.

Entre les corps de différentes figures, on considére principalement les Prifmes, les Cylindres, les Pyrami→ des & les Cones.

1. Un Prisme eft un corps qui a une groffeur égale dans toute fa longueur, & dont les bafes fupérieure & inférieure font des polygones entierement égaux fi elles font paralleles.

2. Une Pyramide eft un corps dont la base eft un polygone, & qui finit en pointe.

3. Le Prifme & la Pyramide prennent différens noms fuivant le nombre des côtés de la bafe ; fi la bafe eft un triangle, le prisme eft appellé triangulaire ; si c'est un

-pentagone, le prifme eft appellé pentagonal, ainfi de fuite. C'eft la même chofe de la pyramyde. Il y a une efpece de prifme, qu'on appelle parallelepipede, c'est celui dont la base eft un parallelog. Cette dénomination ne convient pas à la pyramide.

4. Le Cylindre eft un corps rond dont la groffeur eft égale dans toute fa longueur, & dont les bafes font des cercles égaux en fuppofant ces bafes perpendiculaires au côté; telle feroit une colomne dont la groffeur feroir Ipar par tout la même.

5. Un cone eft un corps qui finit en pointe, & dont la base eft un cercle.

6. On peut regarder le cylindre comme un prifme', dont la bafe eft un polygone régulier d'une infinité de côtés. Et de même le cone eft une pyramide dont la base eft un polygone régulier d'une infinité de côtés.

En parlant des prifmes & des cylindres, nous fuppo ferons toujours que la base fupérieure eft parallele à l'inférieure.

7. Dans un cylindre, la ligne tirée du centre de la bafe fupérieure au centre de la bafe inférieure, eft appellée l'axe du cylindre ; & dans le cone, la ligne tirée du fommet ou de la pointe du cone au centre de la base, eft auffi appellée l'axe du cone. On peut de même concevoir des axes dans les prifmes & les pyramides dont les bafes font des polygones réguliers.

8. Lorfque les axes font perpendiculaires aux bafes, les prifmes, les cylindres, les pyramides & les cones font appellés droits; au contraire ces corps font appellés obliques, lorfque les axes font obliques fur les bafes.

8 B. Quoique la bafe d'un prifme ne foit point un polygone régulier, & que ce prifme n'ait point d'axes, cependant il peut être droit, pourvu que les rectangles qui lui fervent de faces foient perpendiculaires à la bafe. 9. Les parallelog. qui font autour du prifme, & les triangles qui font autour de la pyramide, font fouvent appellés les côtés du prifme & de la pyramide : mais com

me on appelle auffi côtés les lignes qui terminent ces parallelog. ou ces triangles; afin d'éviter l'équivoque, nous ne nous fervirons du terme de côtés, que pour défigner des lignes par exemple, nous appellerons une ligne tirée du fommet d'un cone à la circonférence de fa bafe, côté du cone: quant aux parallelog. des prif& aux triangles des pyramides, nous les appelle

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rons les faces de ces corps.

10. Dans les folides terminés par des plans, comme font les prifmes & les pyramides, on remarque des angles folides. On entend par angle folide un efpace folide terminé en pointe par plufieurs angles plans qui ont un fommet commun: telle eft la pointe d'une pyramide : tels font auffi les coins d'un dez à jouer.

Outre les quatre principaux folides dont nous avons parlé, on diftingue encore d'autres efpeces de corps qu'on nomme réguliers: il n'y en a que cinq efpeces terminées par des furfaces planes.

13. On entend ici par corps régulier, celui dont toutes les faces font des polygones réguliers, égaux & femblables, & dont tous les angles folides font formés par un égal nombre d'angles plans. Il y en a cinq, comme nous venons de le dire : fçavoir, le tetraedre, compris fous quatre triangles égaux & équilateraux ; l'octaedre; compris fous huit triangles égaux & équilateraux ; l'icofaedre, compris fous vingt triangles égaux & équilateraux, l'exaedre ou le cube, compris fous fix quarrés égaux; & le dodecaedre, compris fous douze pentagones égaux & réguliers.

On démontre dans l'ouvrage dont nous faisons l'abrégé, qu'il ne peut y avoir que ces cinq efpeces de corps réguliers.

15. Si on applique deux tetraedres égaux l'un contre l'autre, le folide que forment ces deux corps joints en femble, n'eft pas régulier, quoiqu'il foit terminé par fix triangles égaux & équilateraux, parce que des cinq angles folides dont ce corps eft compofé, il y en a trois

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qui font terminés par quatre angles plans, & les deux autres, fçavoir, ceux qui font oppofés aux bafes appliquées l'une contre l'autre, ne font formés que par trois angles plans : c'eft pourquoi ceux qui définiffent le corps régulier en difant que c'eft celui qui eft terminé par des polygones réguliers, égaux & femblables, donnent une définition peu exacte: il faut ajouter que chaque angle folide du corps régulier eft formé par un égal nombre d'angles plans de ces polygones.

Nous partagerons ce troifième Livre en deux parties. Dans la premiere nous parlerons de la furface des folides, & dans la feconde, nous traiterons de leur folidité.

DE LA SURFACE DES SOLIDES.

16. Si une ligne, comme Aa, que l'on fuppofe per- Fig. ra pendiculaire à la bafe d'un prifme droit tourne autour de cette bafe en demeurant toujours perpendiculaire, elle décrira la furface convexe ou laterale du prifme, c'est-à-dire, le contour fans y comprendre les deux ba- Fig. 2 fes. De même, fi une ligne, comme A4, demeurant toujours perpendiculaire à la bafe d'un cylindre droit, parcourt la circonférence de cette bafe, elle décrira la furface du cylindre.

17. S'il s'agit d'une pyramide on d'un cone, il faut Fig. 3 concevoir une ligne attachée au fommet A, laquelle & 4• tourne autour de la pytamide ou du cone, elle décrira la furface de ces folides.

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18. On peut encore avoir une notion plus fenfible de Fig. 14 la furface du prifme droit, en imaginant une bande de papier collée tout autour du prifme. Il est évident que fi l'on ôtoit cette bande & qu'on la développât, il roîtroit un rectangle qui auroit la même hauteur que le prifme, & qui auroit pour bafe une ligne droite égale au perimetre de la bafe du prifme: ce rectangle, qui eft néceffairement égal à la furface du prifme, peut être

II. Partie.

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