42. 4°. L'axe de ces cercles paffe par leurs centres & eft perpendiculaire à leurs plans; & par conféquent il mefure la distance d'un cercle à l'autre, & celle du centre de la fphere & des poles à chacun des cercles.

43.5°. Il eft évident que le plus gran de tous les cercles paralleles eft celui qui a le même centre que la fphere, & qui par conféquent eft également éloigné des deux poles ; que deux cercles également diftans du centre de la sphere, l'un vers le pole A, l'autre vers le pole B, font égaux; enfin que les cercles paralleles qui font entre le centre de la sphere & un des poles, font d'autant plus petits qu'ils font plus près du pole.

Il faut à préfent chercher la mesure de la furface d'une fphere; pour cela nous nous fervirons du cone tronqué touchant lequel nous établirons deux Lemmes, en fuppofant toujours ce cone droit, fans qu'il foit néceffaire d'en avertir davantage.

LEMME I.

44. La furface convexe du cone tronqué est égale à un trapeze qui a pour hauteur le côté Bb du cone tronqué, & dont les bafes font paralleles entr'elles & égales aux circonférences des bafes fupérieure & inférieure du cone.

DEMONSTRATION.

que

la

Soit le cone entier BAC dont la partie inférieure Fig. 6a BbcC eft un cone tronqué. Nous avons fait voir furface convexe du cone entier eft égale au triangle EDF, qui a pour hauteur le côté du cone, & pour base la circonf. de la bafe du cone (on fuppofe ici ce triangle rectangle); par conféquent fi de ce triangle rectangle on ôte la furface du petit cone bAc, qui eft l'autre partie du cone entier, il reftera la furface du cone tronqué. Or la furface du petit cone bAc eft égale au petit triangle eDf, qui a pour hauteur le côté du petit cone, &

que

Fig. 6. dont la bafe eft parallele à celle du triangle EDF : car la furface d'un cone eft égale à un triangle qui a pour hauteur le côté du cone, & pour bafe la circonférence de la bafe. Or par l'hypothese la hauteur De du perit triangle eDf eft égale au côté Ab du perit cone, & d'ailleurs la bafe ef du triangle est égale à la circonférence de la bafe de ce cone: car à caufe des triangles femblables EDF & eDf, l'on a la proportion DE. De:: EF.ef De même à caufe des deux autres triangles femblables BAC & bAc du cone, la raifon des côtés AB & Ab est égale à la raifon des bafes BC & be, qui font les diametres des bafes du cone tronqué. Or la raifon de çes diametres eft égale à celle de leurs circonférences BCB & beb; par conféquent on a la feconde proportion AB, Ab:: BCB.bcb. Il eft vifible dans ces deux proportions les deux premieres raifons font égales, puifque par l'hypothese DEAB & De-Ab; par conféquent les deux dernieres raisons font auffi égales ; ce qui donne cette troifiéme proportion EF.ef:: BCB, beb, dont les antécédens font égaux par la fuppofition: d'où il fuit que les conféq. font auffi égaux (Liv. I art, 162); c'eft-à-dire, que la bafe du petit triangle eDf est égale à la circonférence de la bafe du petit cone Ac. Mais par l'hypothefe la hauteur du petit triangle eft encore égale au côté Ab du petit cone; donc la furface du petit triangle eft égale à celle du petit cone; ainfi l'autre partie du grand triangle eft égale à l'autre partie de la furface du cone entier, ou, ce qui eft la même chode, la furface du cone tronqué est égale à un trapeze, dont la hauteur eft le côté du cone tronqué, & dont les bafes font paralleles entr'elles, & égales aux circonférences des bafes du cone tronqué. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I

45. La furface convexe du cone tronqué eft égale au produit de fon côté Bb par une ligne moyenne pro

portionnelle arithmétique entre la circonférence de la Fig. Gi bafe fupérieure, & la circonférence de la base inférieure,

DEMONSTRATION,

On vient de faire voir que la furface du cone tronqué eft égale à un trapeze dont la hauteur eft le côté du cone tronqué, & dont les bafes font paralleles entr'elles, & égales aux circonférences des bafes du cone tronqué, Or la furface du trapeze eft égale au produit de fa hauteur par une ligne moyenne arithmétique entre les deux bafes (Liv. II. art. 143) donc la furface du cone tranqué eft égale au même produit,

COROLLAIRE IL

46. La furface convexe du cone tronqué eft égale au produit de fon côté Bb par la circonférence MNM également éloignée des deux bafes du cone,

Pour faire voir que ce Corollaire eft une fuite néceffaire du premier, il n'y a qu'à prouver que la circonféce MNM, que l'on fuppofe également éloignée des deux bafes fupérieure & inférieure du cone tronqué, eft moyenne proportionnelle arithmétique entre les circonférences de ces bafes. Pour cela confidérez que comme on a fait voir dans la démonftration du Lemme que la ligne ef parallele à la bafe du triangle EDF eft égale à la circonférence correfpondante du cone; an pourroit de même démontrer que toutes les lignes du triangle paralleles à la même bafe font égales aux circonférences correfpondantes qui compofent la furface du cone; par conféquent fi on tire du paint G, également éloigné des extrémités E & e, la ligne GH parallele à la bafe du triangle, elle fera égale à la circonf. MNM, également éloignée des deux bafes du cone tronqué. Or la parallele GH eft moyenne proportionnelle arithmétique entre les deux bafes EF & ef, comme on va le voir : ainfi

Fig. 6. la circonf. MNM du cone eft auffi moyenne arithmétique entre les circonférences fupérieure & inférieure qui font égales aux deux bafes du trapeze.

Fig. 7.

47. On a fuppofé dans ce fecond Corollaire que la parallele GH qui eft tirée du point G également éloigné des extrémités de la perpendic. Ee, étoit moyenne proportionnelle arithmétique entre les deux bafes EF & ef du trapeze. En voici la preuve : Soient tirées les perpendiculaires fK & HL ; ces perpendic. font égales, puifque la parallele GH eft tirée du point G également éloigné des extrémités de la ligne Ee d'ailleurs les triangles fKH, HLF font femblables à caufe des paralleles GH, EF: donc les côtés homologues KH & LF font auffi égaux ainfi la bafe EF furpaffe autant la ligne GH, que cette ligne GH furpaffe l'autre base ef ; donc GH eft moyenne proportionnelle arithmétique entre les deux bases.

Avant de paffer au fecond Lemme, il eft néceffaire de fçavoir ce que c'eft qu'un cylindre ou un autre corps circonfcrit à une fphere.

48. Le cylindre circonfcrit eft celui qui renferme la fphere; en forte qu'il ait pour bafe le grand cercle de cette fphere, & pour hauteur fon diametre.

49. De même un cube circonfcrit à une sphere, eft celui qui renferme la fphere; en forte que chacune de ses trois dimenfions eft égale au diametre de la sphere.

so. Pour le cone, on l'appelle circonfcrit à la fphere lorfqu'il la renferme, & que fa furface touche celle de la sphere dans une de fes circonférences, quoique ce cone ait une hauteur différente du diametre de la fphere.

51. Quand quelque corps, comme ceux dont nous venons de parler, eft circonfcrit à une sphere, cette fphere eft appellée infcrite par rapport au corps cir

confcrit.

52. Dans le Lemme fuivant nous fuppoferons une tangente, comme EF, dont les deux extrémités E & F

font également éloignéesdu point S qui touche la demi- Fig. 7. circonférence ADB. Nous fuppoferons une autre tangente GD qui aboutit à l'extrémité du rayon CD perpendic. à l'axe AB, autour duquel il faut concevoir que la demi-circonférence tourne avec les tangentes EF & GD. Cela pofé, on voit facilement 1°. que la demi-cir conf. décrit en tournant la furface d'une sphere. 2°.Que la tangente EF décrit la furface d'un cone tronqué circonfcrit à la fphere. 3°. Enfin que l'autre tangente GD décrit la furface d'une partie d'un cylindre circonfcrit à la même sphere.

53. Si on tire par les extrémités de la tangente EF les deux lignes paralleles GI & HN qui foient perpendic. à l'axe AB, auffi-bien que le rayon CD ; & qu'on tire du point E la perpendic. EL entre les deux paralleles, elle marquera la hauteur du cone circonfcrit, & fera égale à GH, qui eft auffi perpendic, entre les deux mêmes paralleles. Nous n'avons pas befoin dans le Lemme fuivant de toute la furface cylindrique décrite par GD, mais feulement de la partie décrite par GH, que nous allons démontrer égale à la furface du cone décrite par la tangente EF.

54. Remarquez que les trois lignes GI, HN &.CD qui font fuppofées perpendic. à l'axe AB, font nécef fairement paralleles entr'elles (Liv. I. art. 96), & que la tangente GD & l'axe AB font auffi des lignes paral leles, parce qu'elles font perpendic. au rayon CD.

55. On peut encore remarquer qu'on a prolongé la tangente EF & l'axe AB jufqu'au point K, où ces lignes fe rencontrent, afin de faire voir fenfiblement que la ligne KF décrit, en tournant avec la demi-circonférence, la fuperficie d'un cone circonfcrit à la fphere, & que par conféquent la tangente EF décrit la furface d'un cone tronqué.

LEMME II.

56. La furface du cone tronqué circonfcrit décrite par la