Fig. 3. côté FM, qui eft la moitié de BF. D'ailleurs on trouvera le côté ME en cette maniere: On prendra le quarré du rayon CF, qui eft l'hypotenufe du triangle rectangle CMF; on ôtera de ce quarré celui du côté FM: le refte fera le quarré de l'autre côté CM : fi donc on tire la racine quarrée de ce refte, on aura CM. Il fau dra ôter CM du rayon CE, le refte fera ME. Quand on aura FM & ME, on en prendra les quarrés, & on les ajoutera ensemble, la fomme fera égale au quarré de l'hypotenufe EF : par conféquent, fi on extrait la racine quarrée de cette fomme, on aura la corde cherchée EF. Si, par exemple, on connoît que la corde de 76 degrés eft de 123132 parties, on trouvera que celle de 38 degrés eft de 65114. PROBLEME III. 28. Connoiffant la corde d'un arc, trouver celle du tiers & de la cinquième partie de cet arc. On connoît la corde AB de l'arc ALB, il faut trouver la corde AL de l'arc AIL, que je fuppofe le tiers de l'arc ALB. Il eft certain que cette corde AL eft plus grande que le tiers de la corde AB. On prend donc un nombre un peu plus grand que le tiers de AB, & on cherche par l'art. 26 qu'elle fera felon cette fuppofition la corde de l'arc ALB. Si on trouve le même nombre que celui qui défigne la corde AB, le nombre qui à été pris pour la corde AL eft effectivement cette corde: mais fi en cherchant la corde d'un arc triple de AIL on trouve un nombre différent de celui de la corde AB, il faudra faire cette regle de trois, Si la corde trouvée AB, c'eft-a-dire, le nombre trouvé en la cherchant, vient du nombre qu'on a fuppofé pour la corde AL, combien la véri table corde AB donnera-t-elle pour la corde AL. 29. Cette regle de trois fuppofe cette proportion, La corde trouvée AB eft à la corde fuppofée AL, comme la véritable corde AB eft à la vraie corde AL, laquelle pro- Fig. 3. portion n'est pas tout-à-fait exacte mais il n'y aura point d'erreur fenfible dans le calcul en faifant l'application de la regle à de petits arcs. On ne s'en fert que pour trouver la corde du tiers d'un arc de 7 degrés 30 min. ou de quelque autre arc plus petit. Au refte on peut toujours s'affurer fi le nombre trouvé eft effectivement la corde du tiers de l'arc dont on connoît la corde ; on peut, dis-je, s'en affurer en cherchant par l'art. 26. qu'elle eft la corde d'un arc triple: car le nombre qu'on trouvera doit être le même que la corde connue. On emploiera la même méthode pour trouver la corde de la cinquième partie d'un arc, en prenant un nombre un peu plus grand que la cinquième partie de la corde connue. La corde de 76 deg. étant de 123132 parties, on trouvera que celle de 25° 20′, qui eft le tiers de 76a contient 43856 parties, & que celle de 154 12', qui eft le cinquiéme de 76 deg. contient 26452 parties. On fuppofe toujours le rayon de 100000. SCHOL I E. 30. On peut aifément trouver par les Problêmes précédens les cordes de tous les arcs depuis celui de deux minutes jufqu'à celui de 90 deg. La corde de 60 deg. eft égale au rayon, que je fuppofe de 100000 parties On trouvera donc la corde de 30" (27) : enfuite celle de 15a, puis celle de 7° 30′. Quand on aura trouvé la corde 7430, on cherchera celle du tiers, c'eft-à-dire, de 2d 30. Enfuite on cherchera la corde de la cinquième partie, qui eft 30'. Cette corde étant connue, on trouvera celle du tiers ou de 10/. La corde de 10' donnera celle de 2', en cherchant la corde de la cinquième partie de 10'. On trouvera auffi par les Problêmes précédens les cordes des arcs de 4', de 6, de 8, de 12, de 14, de 16, de 18, & des autres arcs, de 2 minutes en Fig. 3. côté FM, qui eft la moitié de BF. D'ailleurs on trouvera le côté ME en cette maniere : On prendra le quarré du rayon CF, qui eft l'hypotenufe du triangle rectangle CMF; on ôtera de ce quarré celui du côté FM: le refte fera le quarré de l'autre côté CM : fi donc on tire la racine quarrée de ce reste, on aura CM. Il faudra ôter CM du rayon CE, le refte fera ME. Quand on aura FM & ME, on en prendra les quarrés, & on les ajoutera ensemble, la fomme fera égale au quarré de l'hypotenuse EF: par conféquent, fi on extrait la racine quarrée de cette fomme, on aura la corde cherchée EF. Si, par exemple, on connoît que la corde de 76 degrés eft de 123132 parties, on trouvera que celle de 38 degrés eft de 65114. PROBLEME III. 28. Connoiffant la corde d'un arc, trouver celle du tiers & de la cinquième partie de cet arc. On connoît la corde AB de l'arc ALB, il faut trouver la corde AL de l'arc AIL, que je fuppofe le tiers de l'arc ALB. Il eft certain que cette corde AL eft plus grande que le tiers de la corde AB. On prend donc un nombre un peu plus grand que le tiers de AB, & on cherche par l'art. 26 qu'elle fera felon cette fuppofition la corde de l'arc ALB. Si on trouve le même nombre que celui qui défigne la corde AB, le nombre qui a été pris pour la corde AL eft effectivement cette corde: mais fi en cherchant la corde d'un arc triple de AIL on trouve un nombre différent de celui de la corde AB, il fau dra faire cette regle de trois, Si la corde trouvée AB, c'est-à-dire, le nombre trouvé en la cherchant, vient du nombre qu'on a fuppofé pour la corde AL, combien la véritable corde AB donnera-t-elle pour la corde AL. 29. Cette regle de trois fuppofe cette proportion, La corde trouvée AB eft à la corde fuppofée AL, comme la véritable corde AB eft à la vraie corde AL, laquelle pro- Fig. 3. portion n'est pas tout-à-fait exacte: mais il n'y aura point d'erreur fenfible dans le calcul en faifant l'application de la regle à de petits arcs. On ne s'en fert que pour trouver la corde du tiers d'un arc de 7 degrés 30 min. ou de quelque autre arc plus petit. Au refte on peut toujours s'affurer file nombre trouvé eft effectivement la corde du tiers de l'arc dont on connoît la corde; on peut, dis-je, s'en affurer en cherchant par l'art. 26. qu'elle eft la corde d'un arc triple: car le nombre qu'on trouvera doit être le même que la corde connue. On emploiera la même méthode pour trouver la corde de la cinquième partie d'un arc, en prenant un nombre un peu plus grand que la cinquième partie de la corde connue. La corde de 76 deg. étant de 123132 parties, on trouvera que celle de 25° 29', qui eft le tiers de 76, contient 43856 parties, & que celle de 154 12', qui eft le cinquième de 76 deg. contient 26452 parties. On fuppofe toujours le rayon de 100000. SCHOL I E. 30. On peut ailément trouver par les Problêmes précédens les cordes de tous les arcs depuis celui de deux minutes jufqu'à celui de 90 deg. La corde de 60 deg. eft égale au rayon, que je fuppofe de 100000 parties On trouvera donc la corde de 30 (27): enfuite celle de 15d, puis celle de 74 30'. Quand on aura trouvé la corde 730', on cherchera celle du tiers, c'est-à-dire, de 2d 30. Enfuite on cherchera la corde de la cinquiéme partie, qui eft 30'. Cette corde étant connue, on trouvera celle du tiers ou de 10/. La corde de 10' donnera celle de 2', en cherchant la corde de la cinquiéme partie de 10. On trouvera auffi par les Problêmes précédens les cordes des arcs de 4', de 6, de 8, de 12, de 14, de 16, de 18, & des autres arcs, de 2 minutes en Fig. 1. Fig. 4. 2 minutes, jusqu'à 90 deg. les moitiés de toutes ces cordes feront les finus des 45 premiers degrés de minute en minute. Or quand on aura les finus des 45 premiers degrés, on trouvera ceux de tous les autres degrés jufqu'à 90 par le Problême fuivant. PROBLEME IV. 31. Connoiffant le finus d'un are, trouver fon cofinus, ou le finus de fon complément. On connoît GH finus de l'arc GA: il s'agit de trouver GL finus de l'arc GD compl. de GA. Dans le triangle rectangle CHG on connoît deux côtés, fçavoir Phypotenufe CG, qui eft un rayon de 100000 parties & le côté GH. Il faut retrancher le quarré de GH du quarré de CG, le refte fera le quarré de CH. Si donc on tire la racine quarrée de ce refte, on aura le côté CH égal à GL finus de l'arc GD complement de l'arc GA. PROBLEME. V. 32. Trouver les tangentes & les fécantes des arcs dont on connît les finus. Soit l'arc AD dont il faut trouver la tangente AB & la fécante CB, en fuppofant que lon connoît le finus DE. Je confidere que dans le triangle rectangle CED, on connoît deux côtés; fçavoir, le rayon CD qui eft l'hypotenuse, & le finus ED; par conféquent on trouvera facilement le troifiéme côté CE. Après quoi confiderant que ce triangle rectangle CED est semblable au triangle rectangle CAB à caufe de l'angle C qui eft commun, je ferai la proportion fuivante, CE.CA:: DE. AB, dont les trois premiers termes étant connus, je trouverai le quatrième par la regle de trois. On connoîtra la fécante CB en faifant cette autre proportion, CE. CA :: CD. CB: dont les trois premiers termes font auffi connus, puifque CD eft égal à CA. |