33. REMARQUE. Il paroît par les Problêmes précédens qu'on a fouvent befoin de tirer des racines quarrées: or il arrive prefque toujours qu'on ne peut faire exactement l'extraction de la racine quarrée, parce qu'il refte ordinairement quelque chofe après l'opération; de là vient que la plupart des finus tels qu'on les trouve dans les tables, ne font pas abfolument exacts: mais pour rendre l'erreur infenfible, on a fuppofé le rayon divifé en un grand nombre de parties : ce nombre eft ordinairement 10,000,000, ou au moins 100000. Or il eft facile de faire voir par un exemple, que quand on ne peut tirer exactement la racine, l'erreur eft moindre à proportion, lorfqu'on opere fur un grand nombre, que lorfqu'on opere fur un petit. Suppofons qu'on veuille tirer la racine quarrée de 10150 & celle de 22, on trouvera que celle de 10150 eft 100, & que celle de 22 eft 4 : mais ni l'une ni l'autre de ces racines n'est exacte, il s'en faut à peu près une unité. Or il est évident que 1 eft moindre par rapport à 100 que par rapport à quatre, puifque i n'eft que la centiéme partie de 100, & qu'il eft le quart de 4. Voici quelques Théorêmes qui appartiennent encore à la construction des Tables.

THEOREME I.

33 B. Le rayon eft moyen proportionnel entre le finus d'un arc & la fécante de fon complément.

DEMONSTRATION.

Prenons pour exemple l'arc DG, dont le complé- Fig. 4. ment est AD: je dis que le rayon ou sinus total est moyen proportionnel entre DF finus de l'arc DG & CB fécante du complément AD: car DF=CE. Or CE. CA:: CD ou CA. CB, à caufe des triangles rectangles CED & CAB qui font femblables.

Il fuit de-là que le quarré du rayon eft égal au rec

Fig. 4. tangle ou au produit du finus d'un arc par la fécante du

complément de cet arc.

THEOREME II.

33 C. Le rajon eft moyen proportionnel entre la tangente d'un arc & la tangente de fon complément.

DEMONSTRATION.

AE, fig. 2, eft la tangente de l'arc AG, & DL eft la tangente du complément DG. Or je dis que le rayon CA eft moyen proportionnel entre AE & DL : car les deux triangles rectangles EAC & CDL font femblables à caufe des deux angles alternes ACE & CLD entre les paralleles CA & DL: on aura donc la proportion, AE.CD:: CA ou CD. DL. Le quarré du rayon eft donc égal au produit de la tangente d'un arc par celle de fon complément.

Ces deux propofitions font d'un grand ufage pour les Tables de logarithmes, des finus, des tangentes, & des fécantes. En voici deux autres que nous ajoutons, dont l'une détermine la grandeur de la tangente de 45 degrés, & l'autre celle de la fécante de 60 degrés.

THEOREME. III.

33 D. La tangente de 45 degrés eft égale au rayon.

DEMONSTRATION.

Suppofons que dans la fig. 2 de l'arc AG foit de 45 degrés je dis que la tangente AE eft égale au rayon CA: car dans le triangle rectangle CAE, l'angle C qui a pour mefure l'arc AG, eft de 45 deg. aina l'angle AEC eft auffi de 45 deg. Par conféquent les deux côtés AE & AC oppofés à ces angles font égaux. 3 THEORÊME

THEOREME IV.

33 E. La fécante de 60 degrés eft égale au diametre.

DEMONSTRATION.

Suppofons l'arc AD, fig. 4, de 60 deg. il faut prou ver que la fécante CB eft égale au diametre. La partie CD eft un rayon: ainfi il refte à faire voir que l'autre partie DB eft égale au rayon. Pour cela il faut tirer la corde AD qui eft égale au rayon, puisqu'elle foutient un arc de 60 deg. par conféquent le triangle ACD eft équilatéral : donc chacun de fes angles, comme CAD vaut 60 deg. ainfi l'angle DAB complément de CAD eft de 30 deg. De même l'angle B eft de 30 deg. par ce qu'il eft compl. de l'angle C, qui vaut 60 deg. ainfi le triangle ADB eft ifocele, & les deux côtés DA & DB font égaux. Par conféquent DB eft égal au rayon : donc la fécante CB est égale au diametre.

DE LA NATURE DES LOGARITHMES & de leurs ufages.

Préfentement on ne fe fert plus guéres des finus, des tangentes & des fécantes pour les calculs de la Trigonométrie. On a heureusement fubftitué à leur place les logarithmes des nombres qui expriment les parties de ces lignes. Nous allons faire fentir en général l'avantage qu'on retire des logarithmes, après cela nous en expliquerons en peu de mots la nature & l'ufage.

que

33 F. Tout le monde fçait combien l'Addition eft plus facile que la Multiplication, & la Soustraction la Divifion; ainfi pour faire fentir tout d'un coup l'utilité des logarithmes, il fuffit de dire que par leur moyen on réduit la Multiplication en Addition, & la Divifion en Souftraction, en un mot les logarithmes font fi utiles pour abréger les calculs, que l'on fait fouvent dans

II. Partie.

Q

moins d'une heure par leur fecours, ce que l'on feroit à peine dans un jour en ne les employant pas.

33 G. Les logarithmes font des nombres en proportion arithmétique correfpondans à d'autres nombres en proportion géométrique : ainfi fi on conçoit que les quatre nombres 4, 6, 10, 12, 6, 10, 12, qui font en proportion arith. répondent à ces 4 autres 20, 40, 50, 100, qui font en proport. géométrique, les quatre premiers feront les log. des quatre derniers. Si au lieu d'une proportion on suppose une progreffion géométrique les log. des termes qui la compofent feront auffi en progreffion arithmétique. Soit la progreffion géométrique

1.2.4.8.16.32.64. &c. & qu'on prenne 1 & 3 pour les logarithmes des deux premiers termes, les log. des termes fuivans feront 5,7,9, 11, 13. &c. On voit bien que ces nombres 1,3,5,7,9, 11, 13, font en progreflion arithmétique : afin de fçavoir quels font les termes de la progreffion arithmétique qui répondent à ceux de la progreflion géom. on difpofe les uns à côté des autres en deux colomnes comme on les voit dans les Tables, ou bien, on met les uns fous les autres en cette 1.2.4.8.16.32.64. On choifit quelle 1.3.5.7.9.11.13° progreffion arithmétique on veut pour répondre à une progreffion géométrique : ainfi au lieu de celle que nous venons d'employer on pourroit prendre celle-ci :o. 1.2.3.4.5.6.dont zero eft le premier terme.

maniere

33 H. Dans les Tables on prend la progreffion géométrique 1. 10.100.1000.10000.100000. 1000000, &c. & la progreffion arith.o.10000000. 20000000. 30000000.40000000. 50000000. 60000000. Voici pourquoi on prend de fi grands nombres pour les termes de la progreffion arithmétique. Il ne faut pas feulement avoir les logarithmes des termes qui compofent la progreffion géométrique qu'on vient de rapporter, mais auffi ceux des nombres intermidiaires. Or il y a d'autant plus de ces nombres que les termes de la pro

greffion géométriques font plus éloignés du premier : il y a 8999 nombres entre 1000 & 10000 : il y en a 89999 entre 10000 & 100000 : il y en a 899999 entre 100000 & 1000000,ainfi de fuite: D'ailleurs les logarithmes des nombres intermédiaires entre deux termes, font auffi des nombres intermédiaires entre les logarithmes de ces termes, par exemple, les logarithmes des nombres entre les termes 100000 & 1000000 font entre leurs log, 50000000 & 60000000, c'est-à-dire qu'ils font plus grands que le premier & moindres que le fecond. On voit par-là qu'il faut un très-grand nombre de logarithmes intermédiaires entre ceux des termes de la progreffion géométrique qui font fort éloignés du premier ; & par conféquent les log. de ces termes doivent être très-différens entr'eux. Quant aux termes qui font près du premier, il faut auffi un grand nombre de logarithmes intermédiaires à caufe des fractions, comme fi on vouloit avoir du moins à peu près les logarithmes de 15, de 153, de 152. On verra dans la fuite pourquoi la progreflion arith. commence par zero.

33 I. Quoique nous difions que les logarithmes font des nombres en proportion arithmétique, il ne s'enfuit pas que fi on prend quatre log. dans une table ils foient toujours en proportion arithmétique. Si on choifit,

, par exemple, les log. de 4, 8, 10, 12 ils ne feront pas en proportion arithmétique : car cette proportion ne doit fe trouver entre les logarithmes que quand les nombres auxquels ils appartiennent font en proportion géométrique. Or les nombres 4, 8, 10, 12 ne font pas en proportion géométrique : & par conféquent leurs logarithmes ne doivent pas faire une proportion arithmétique.

33 k. Le premier des chiffres qui compofent les log. de tous les nombres depuis l'unité jufqu'à 10,000,000, ooo exclufivement, eft appellé caractéristique. Dans le log. de ce nombre & de ceux qui font plus grands, la caractéristique contient plufieurs chifres. En général it