Fig. 7. AE & FH par la fuppofition, on a la proport. ( Liv. I. art. 152) DH. AH:: FD. FE; par confequent fi on double les deux termes de la premiere raifon, la proportion fubfiftera toujours; on aura donc la proportion, le double de DH, qui eft DB, eft au double de AH : FD.FE: c'est-à-dire, que la fomme des côtés AB & AC eft à leur différence, comme la tang. de la moitié de la fomme des angles B & C eft à la tangente de la moitié de leur différence. Ce qu'il falloit démon

Fig. 8.

trer.

THEOREM E. III.

39. Dans un triangle fcalene, comme BAC, c'est-àdire, dont les trois côtés font inégaux, le grand côté BC eft à la fomme des deux autres AB & AC, comme la différence de ces deux eft à la différence des fegmens du grand côté divisé par la perpendiculaire AD tirée de l'angle opposé A.

Du point A, comme centre, & de l'intervalle du moindre côté AC, décrivez une circonférence, & prolongez le côté AB au-delà du point A, jufqu'à la rencontre de la la circonférence. i°. Le petit côté AC étant égal à la ligne AF, parce que ce font des rayons du même cercle, il s'enfuit que la ligne BF eft égale à la fomme des côtés AB & AC. En fecond lieu BG eft la différence des côtés AB & AC, parce que le petit côté AC eft égal à AG. Enfin la perpendiculaire AD coupant la corde EC en deux parties égales au point D (Liv. I. art. 105), il est évident que BE eft la différence des fegmens BD & DC du grand côté BC. Il faut donc prouver que le grand côté BC eft à BF fomme des deux autres, comme leur différence BG eft à BE différence des deux fegmens du grand côté : ce qui fe réduit à cette proportion, BC. BF:: BG. BE.

DEMONSTRATION.

Confiderez que les deux lignes BC & BF font deux

fécantes extérieures, qui font tirées du même point B ; par conféquent la fécante BC & fa partie BE hors du cercle, font réciproques à l'autre fécante BF & à la partie BG hors du cercle (Liv. I, Art. 166). On a donc la proportion, BC. BF: BG. BE. Ce qu'il falloit dé

montrer.

Problêmes généraux pour la pratique de la Trigonométrie.

40. De ces trois Théorêmes, nous allons déduire quatre Problêmes généraux defquels dépend la pratique de la Trigonométrie & de l'arpentage. Ces quatre Problêmes répondent à quatre Théorêmes fur la comparaifon de deux triangles que nous avons démontré égaux (Liv. II, Art. 27, 29, 30 & 33), lorfque de ces cinq chofes, fçavoir, trois côtés & deux angles, il y en a trois dans un triangle égales aux trois correfpondantes d'un autre triangle. Or puifque trois de ces cinq chofes ne peuvent être égales dans deux triangles, à moins qu'ils ne foient égaux en tout, il s'enfuit que ces trois chofes, c'eft-à-dire, ou deux angles & un côté, ou deux côtés & un angle, ou enfin les trois côtés déterminent un triangle; c'eft pourquoi connoiffant deux angles & un côté, ou deux côtés & un angle, ou les trois côtés d'un triangle, on peut connoître tout le refte. Nous en allons donner la méthode dans les quatre Problêmes fuivans.

41. Il faut néanmoins obferver que fi on ne connoît que deux côtés & un angle aigu oppofé à un de ces côtés, on ne peut trouver le refte du triangle, parce que deux triangles peuvent être inégaux, quoique ces trois chofes foient égales dans les deux triangles; c'eft pourquoi pour rendre les triangles égaux dans ce cas, il faut y ajoute une quatriéme condition marquée dans le fixiéme Théorême fur les triangles (Liv. II. art. 30.

41 B. Les trois analogies démontrées dans les trois Théorêmes précédents fuffifent pour la réfolution des

Fig. 9.

quatre Problêmes fuivans : c'eft pourquoi nous allons les remettre devant les yeux du Lecteur afin qu'il fe les rappelle aifément dans le befoin.

1o. Dans tout triangle les finus des angles font proportionnels aux côtés opposés à ces angles.

2o. Dans un triangle qui n'eft pas équilatéral la fomme de deux côtés inégaux eft à leur différence comme la tangente de la moitié de la fomme des angles oppofés à ces côtés eft à la tangente de la moitié de la différence des mémes angles.

3°. Dans un triangle fcalene le grand côté eft à la fomme des deux autres comme la différence de ces deux côtés eft à celle des deux fegmens du grand côté divisé par une perpendiculaire tirée du fommet de l'angle oppofé.

La premiere de ces trois analogies fert pour réfoudre un triangle dont on connoît les angles & un côté, ou bien deux côtés & un angle oppofé à un de ces côtés. La feconde fert à refoudre un triangle dont on connoît deux côtés & l'angle compris entre deux. La troifiéme enfin tend à trouver les angles d'un triangle dont on connoît les trois côtés. Nous allons voir ces ufages dans les quatre Problêmes fuivans.

PROBLEM E. I.

42. Connoiffant deux angles & un côté d'un triangle, trouver les deux autres côtés.

Soit le triangle BAC dont on connoiffe les deux angles B & C, & le côté BC. Pour trouver les deux autres côtés AB, & AC, confiderez d'abord, que puifqu'on connoît deux angles de ce triangle, on connoîtra facilement le troifiéme, parce que la fomme des trois vaut 180 degrés : enfuite cherchez le finus de chacun de ces angles dans la table des finus, & faites l'analogie ou proportion fuivante fondée fur le premier Théorême: le finus de l'angle A eft au côté BC, comme le finus de l'angle Ceft au côte AB; laquelle proportion fe marque en cette maniere SA.BC:: SC. AB. Or les trois pre

miers

miers termes de cette proportion font connus; par con- Fig. 9. conféquent on pourra trouver le quatrième, qui eft le côté AB.

Pour avoir le côté AC, il faut faire la proportion fuivante, SA.BC:: SB. AC; dont les trois premiers termes font auffi connus.

A la place de ces deux proportions, on peut prendre leurs alternes, qui font SA. SC:: BC. AB, & SA. SB: BC. AC.

Si on fuppofe l'angle B de 45 degrés 24 minutes, & l'angle C de 71 degrés 42 minutes; l'angle A fera néceffairement de 62 degrés 54 minutes. Si on fuppofe auffi le côté BC de 2160 toifes, la proportion, SA. BC:: SC. AB, marquée dans le Problême, fe réduira à celle-ci, 89021.2160 :: 94943.x, dont le premier terme 89021 eft le finus de l'angle A, le fecond 2160 eft le côté BC fuppofé de 2160 toifes, le troifiéme terme 94943 eft le finus de l'angle C senfin le quatriéme x repréfente le côté AB qu'il faut chercher la regle de trois. Or en fáifant cette regle, on trouve pour quotient prefque 2304 Ainfi le côté AB contient environ 2304 toifes.

par

43. Comme le calcul eft très-long & fort difficile par cette méthode, il faut fe fervir des logarithmes. Or les log. des trois premiers termes de la premiere proportion SA.BC:: SC. AB font 994949, 333445, 997746. Il faut donc ajouter les deux moyens 333445 997746, & de la fomme 1331191 retrancher le premier log. 994949, le refte fera 336242. Ainfi ce nombre eft le log. du côté AB. On cherchera ce nombre dans la Table des log, des nombres naturels, & on trouvera qu'il approche plus du log. de 2304 que de tout autre. Par conféquent le côté AB contient prefque 2304 toifes.

Nous avons fupprimé les deux derniers chifres des log.des trois premiers termes de la proportion SA. BC:: SC. AB: car le log. du finus de l'angle A-524 54' eft 99494938 felon les tables; le log. de BC2160 eft

8.9.33344538 ; & le log. de l'angle C-71 42 minutes eft 99774609. On peut toujours faire cette fuppreffion fans erreur fenfible (33 S.) afin d'abréger le calcul.

Pour trouver le côté AC on fe fervira pareillement des log. de la feconde proportion SA. BC:: SB. AC, qui font, pour les trois premiers termes, 994949, 333445, 985250, dont le premier étant retranché de 1318695 qui eft la fomme des deux autres, le refte fera 323746: c'est le log. de AC. Or en cherchant dans la table on trouvera que ce nombre eft le log. de 1728. Ainfi le côté AC contient 1728 toifes.

44. Remarquez que fi un angle étoit obtus, par exemple, de 120 degrés, on ne trouveroit pas cet angle dans la table, c'eft pourquoi pour avoir le finus de cet angle, il faudroit chercher fon fupplément, qui eft l'angle de 60 degrés, lequel a le même finus que l'angle dont il eft fupplément, comme on l'a fait voir ( 7 ).

45. Remarquez encore que fi on veut que le terme cherché foit le fecond extrême, ou le quatriéme terme de la proportion, il faut lorfqu'on cherche un côté, commencer la proportion par le finus de l'angle oppofé à un côté connu ; & fi on cherche un finus, il faut commencer la proportion par le côté oppofé à un angle connu: c'eft pourquoi, comme il s'agiffoit dans le Problême précédent de connoître un côté, nous avons commencé la proportion par le finus de l'angle A, dont la bafe ou le côté oppofé BC étoit fuppofé connu.

PROBLEME I I.

46. Connoiffant deux côtés d'un triangle & l'angle compris entre ces côtés, trouver les deux autres angles & le troifiéme côté.

Soit le triangle BAC dont on connoiffe le côté AB, côté AC & l'angle A compris entre ces côtés. Afin de trouver les deux angles B & C, il faut faire l'analogie fuivante qui a été démontrée dans le fecond Théo